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TomS
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 TomS Verfasst am: 19. Dez 2023 17:44 Titel: FAQ - Quantenverschränkung, GHZ, KS etc. |
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Im Folgenden geht es um Quanten-Verschränkung, spukhafte Fernwirkung, Bell-Zustände etc. Dabei möchte ich jedoch nicht auf die Bellsche Ungleichung hinaus, sondern auf neuere Ergebnisse, die ohne Ensembles und Wahrscheinlichkeiten auskommen, d.h. je einzelnem Quantensystem gelten. Damit ist die notwendige mathematische Argumentation m.E. deutlich einfacher zu durchschauen als die Bellsche Ungleichung. Wenn im folgenden von Messung die Rede ist, kommt dennoch kein Zufallselement ins Spiel, da die Systeme geeignet konstruiert sind, so dass die zu messenden Eigenschaften immer scharfe Werte haben.
Einstieg in Form eines Rätsels:
Drei magische Objekte, nummeriert als
werden gefunden. An jedem der drei Artefakte können zwei Eigenschaften
jeweils entweder vorliegen (+1) oder nicht vorliegen (-1); d.h. es existiert eine Test-Funktion
 \to 1, -1)
die für jede Kombination der Eingaben entweder +1, d.h. "Eigenschaft e am Objekt n liegt vor" oder -1, d.h. "Eigenschaft e am Objekt n liegt nicht vor" liefert.
Man betrachtet nun vier Gesamteigenschaften
die aus Kombinationen der Einzeleigenschaften x bzw. y der drei Objekte "zusammengesetzt" sind. Wiederum haben wir eine Test-Funktion
die für die Eingabe E entweder +1, d.h. "Gesamteigenschaft E liegt am System der drei Objekte vor" oder -1, d.h. " Gesamteigenschaft E liegt am System der drei Objekte nicht vor" liefert.
Das Vorliegen der Gesamteigenschaften ist wie folgt definiert: Eine dieser vier Gesamteigenschaften liegt genau dann vor, wenn entweder alle drei zugehörigen Einzeleigenschaften vorliegen, oder genau eine.
D.h. z.B. für yxy:
 = +1 \;\wedge\; C(\text{2},\text{x}) = -1 \;\wedge\; C(\text{3},\text{y}) = -1 \to C(\text{yxy}) = +1)
Die Definition "entweder alle drei oder genau eine" erlaubt eine sehr kompakte Berechnung mittels der Multiplikation des Ergebnisses der Einzeleigenschaften
 = \prod_n C(n,e_n) )
wobei n die Objekte nummeriert, und e_n die am n-ten Objekt zu prüfende Eigenschaften bezeichnet. Diese Berechnung ist der Grund, warum ich +1 und -1 wähle, nicht +1, 0 wie bei Bits oder QBits.
Zum Rätsel: Nehmen wir an, wir führen (wiederholt) folgendes Experiment an den drei Objekten durch: Man bringt die Objekte in Kontakt, trennt sie anschließend voneinander, und prüft das Vorliegen einer (zufällig ausgewählten) der vier Gesamteigenschaften anhand von zeitgleichen Beobachtungen der Einzeleigenschaften x, y, an den drei einzelnen Objekten. Man beachte, dass je Durchführung der Messung nie sowohl x als auch y am selben Objekt gemessen werden.
Es stellt sich heraus, dass für jede Durchführung des Experimentes gilt
 = +1 )
 = +1 )
 = +1 )
 = -1 )
d.h. xyy, yxy und yyx liegen immer vor, xxx dagegen nie.
Was erscheint an diesem Verhalten paradox?
Wie können die drei Objekte sowie das Gesamtsystem dennoch konstruiert werden?
Wo und warum ist meine Erklärung bei diesem real konstruierten System dann unzutreffend?
… es geht dann weiter mit der Auflösung …
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Dez 2025 09:20, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 20. Dez 2023 13:06 Titel: |
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Zunächst nochmal die zentralen Punkte:
Eine dieser vier Gesamteigenschaften liegt genau dann vor, wenn entweder alle drei zugehörigen Einzeleigenschaften vorliegen, oder genau eine.
Diese Definition erlaubt eine sehr kompakte Berechnung
Wir wissen, dass gilt
Damit gilt auch für das Produkt
 \,\cdot\, C(\text{yxy}) \,\cdot\, C(\text{yyx}) = +1 )
Nun kommt aber in diesem Produkt aus insgesamt neun Termen jeder y-Term für ein Objekt genau zweimal vor, d.h. quadratisch. Unabhängig vom tatsächlichen Wert y = +1 oder y = -1 ergibt das Quadrat immer +1, die Terme fallen also sämtlich weg. Jeder x-Term steht genau einmal da, d.h.
 \,\cdot\, C(\text{yxy}) \,\cdot\, C(\text{yyx}) = C(\text{xxx}))
Letztlich legen die Ergebnisse der ersten drei Messungen xyy, yxy und yyx das der vierten Messung xxx automatisch fest, und zwar auf dem Wert +1; und das ist ein Widerspruch zum oben genannten Ergebnis der Messungen, nämlich -1.
… später folgt eine einfache Konstruktion im Rahmen der Quantenmechanik, die auf -1 führt …
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Dez 2023 13:21 Titel: |
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Hier eine explizite Implementierung in Python
| Code: | # imports --------------------
import functools as ft
import itertools as it
import numpy as np
import scipy as sci
# 1. purely classical --------------------
# all purely classical representations for three objects with two distinct properties are constructed
# filter to first three of four properties is applied; for remaining objects all properties are displayed
print('\n 1. purely classical \n')
# indices for x- and y-properties in property vectors
sel_xyy = [0, 1, 1]
sel_yxy = [1, 0, 1]
sel_yyx = [1, 1, 0]
sel_xxx = [0, 0, 0]
# all four pairs of x- and y-properties of one object
prop_xy_pp = [+1, +1]
prop_xy_pm = [+1, -1]
prop_xy_mp = [-1, +1]
prop_xy_mm = [-1, -1]
# value of system property for three objects as product over individual properties
def get_property(s, p):
# product over all properties p[i] selected by s[i]; complies with # return p[0][s[0]] * p[1][s[1]] * p[2][s[2]]
return np.prod(np.array(p)[np.arange(len(s)), s])
def has_property(s, p):
return get_property(s, p) == +1
def has_all_properties(sels, props):
return all(has_property(s, props) for s in sels)
# generates all combinations of all individual properties over all three objects
def prop_123_gen():
# loop over all property vectors for 1st, 2nd and 3rd object
for props in it.product((prop_xy_pp, prop_xy_pm, prop_xy_mp, prop_xy_mm), repeat=3):
yield list(props)
# generates all combinations passing filter on first three properties xyy, xyx, yxx
def three_props_123_fil_gen():
for props in prop_123_gen():
if has_all_properties([sel_xyy, sel_yxy, sel_yyx], props) is True:
yield props
# driver code --------------------
# loop over all states fulfilling first three conditions
for props_123 in three_props_123_fil_gen():
e_vals = []
for sel in (sel_xyy, sel_yxy, sel_yyx, sel_xxx):
e_vals.append(get_property(sel, props_123))
print('properties =', e_vals, '; ', 'state =', props_123) |
mit dem Ergebnis
| Code: | 1. purely classical
properties = [1, 1, 1, 1] ; state = [[1, 1], [1, 1], [1, 1]]
properties = [1, 1, 1, 1] ; state = [[1, 1], [-1, -1], [-1, -1]]
properties = [1, 1, 1, 1] ; state = [[1, -1], [1, -1], [1, -1]]
properties = [1, 1, 1, 1] ; state = [[1, -1], [-1, 1], [-1, 1]]
properties = [1, 1, 1, 1] ; state = [[-1, 1], [1, -1], [-1, 1]]
properties = [1, 1, 1, 1] ; state = [[-1, 1], [-1, 1], [1, -1]]
properties = [1, 1, 1, 1] ; state = [[-1, -1], [1, 1], [-1, -1]]
properties = [1, 1, 1, 1] ; state = [[-1, -1], [-1, -1], [1, 1]] |
Der interessante Punkt ist diese Funktion:
| Code: | # generates all combinations passing filter on first three properties xyy, xyx, yxx
def three_props_123_fil_gen():
for props in prop_123_gen():
if has_all_properties([sel_xyy, sel_yxy, sel_yyx], props) is True:
yield props |
Es werden zunächst alle möglichen Zustände erzeugt, in dieser Funktion dann bzgl. des Vorliegens der ersten drei Gesamteigenschaften gefiltert; nur diese zulässigen Zustände werden zurück geliefert; wie man dem Output jedoch entnimmt, liefert der Filter für die ersten drei Gesamteigenschaften automatisch einen Filter für die vierten Eigenschaft, so dass nur das Ergebnis +1 zulässig ist.
Natürlich erscheint das zunächst unnötig aufwändig, da ich ja oben gezeigt habe, dass die selbe Argumentation letztlich in einer einzigen Gleichung steckt. Die Idee hinter dem Code besteht darin, die Zustände sozusagen mittels klassischer Logik explizit zu konstruieren. Später folgt dann die mathematische Konstruktion der quantenmechanischen Zustände, sowie wiederum deren Implementierung.
Als Ausblick: der zentrale Unterschied zwischen der klassischen und der Quantenmechanik besteht darin, dass man in der klassischen Mechanik implizit immer den Zustand eines Objektes mit einer Menge von Eigenschaften gleichsetzt, die man auch direkt messen kann; im Code stehen die Werte für die Einzeleigenschaften x und y je Objekt da. In der Quantenmechanik ist dieser Bezug deutlich flexibler: der Zustand eines Objektes wird nicht mittels beobachtbarer Eigenschaften kodiert.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 21. Dez 2023 13:00 Titel: |
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In der Quantenmechanik betrachtet man zunächst einen einzelnen Spin. Für diesen können mittels der drei Pauli-Matrizen *) Quanten-Eigenschaften definiert werden (das bedeutet zunächst Spin ½, also Fermionen; ähnliche Überlegungen gelten jedoch auch für Photonen mit Spin 1).
Zur Definition: Eine Quanten-Eigenschaft an einem Quanten-Objekt liegt genau dann vor, wenn der zugehörige Zustandsvektor ein Eigenzustand des Operators ist, der dieser Eigenschaft zugeordnet ist (dies kann völlig äquivalent auch mittels Projektoren formuliert werden).
Jede Pauli-Matrix a=x,y,z hat die Eigenwerte +1 und -1. Ein Objekt hat also genau dann die Quanten-Eigenschaft e, wenn es im entsprechenden Eigenzustand ist, d.h.
Wichtig ist, dass
d.h. es kann nicht ein gemeinsamer Eigenzustand zu zwei verschiedenen Pauli-Matrizen a ungleich b vorliegen.
Liegt kein Eigenzustand vor, so sprechen wir nicht davon, dass diese Eigenschaft +1 oder -1 nicht vorliegt, sondern dass es sinnlos ist, bzgl. einer definierten Eigenschaft irgendeine Aussage treffen zu wollen; das System befindet sich in einer Superposition, wobei beide Eigenschaften +1 und -1 beitragen.
Als nächstens müssen wir drei Objekte betrachten. Dazu verwenden wir sogenannte Tensorproduktzustände **) in der Reihenfolge erstes, zweites, drittes Objekt; das ersetzt die Nummerierung n=1,2,3. Interessieren wir uns beispielsweise für die Eigenschaft y des dritten Objektes, so wird daraus der Operator
Wichtig ist, dass Eigenschaften x und y im Folgenden nie am selben Objekt sondern immer an zwei verschiedenen Objekten betrachtet werden, z.B. die Eigenschaft x am ersten und y am dritten Objekt
Nun betrachtet man wieder die vier Eigenschaften xyy, yxy, yyx und xxx sowie die zugehörigen Operatoren l
(alle weiteren analog)
Interessanterweise vertauschen diese vier Operatoren untereinander, obwohl die einzelnen Operatoren je einzelnem Objekt i.A. nicht vertauschen. Am Beispiel xyy und xxx
 \otimes (\sigma_y \sigma_x) \otimes (\sigma_y \sigma_x) - (\sigma_x \, \sigma_x) \otimes (\sigma_x \sigma_y) \otimes (\sigma_x \sigma_y) )
Nun ist jedoch
und somit
(alle weiteren analog)
Witzigerweise vertauschen die vier Gesamteigenschaften des Systems, d.h. mehrere können gleichzeitig vorliegen, obwohl dies für die Einzeleigenschaften je Objekt nicht gilt.
Die Zielsetzung ist klar: Gesucht ist ein gemeinsamer Eigenzustand der vier Operatoren zu xyy, yxy, yyx und xxx, mit den vier Eigenwerten +1, +1, +1, -1.
Das leistet der Zustand ***)
 )
wobei ich
verwende, also Eigenzustände bzgl. der z-Pauli-Matrix.
Dieser GZH-Zustand liefert tatsächlich für xyy, yxy, yyx, xxx die Eigenwerte +1, +1, +1, -1. Exemplarisch die Berechnung für xyy und den ersten Term im GZH_Zustand:
(Rest analog)
Es liegt jedoch kein x-Eigenzustand für das dritte Objekt vor, denn
(Rest analog)
D.h. wir haben diese vier Quanten-Eigenschaft für ein geeignetes Quantensystem mathematisch konstruiert (und es wäre wohl kaum 2022 ein Nobelpreis dafür verliehen worden, wenn dies nicht auch experimentell präpariert und gemessen worden wäre) so dass dies explizit nicht klassisch funktionieren kann: jeder Versuch, einen Zustand als Menge aller bekannten klassischen Eigenschaften aufzufassen, scheitert; umgekehrt bietet die Quantenmechanik einen erweiterten Zustandsbegriff, in dem Zustand und (durch Messungen bestimmbare) Eigenschaften nicht unmittelbar miteinander identifiziert werden.
Der Nachweis dieser Quanten-Eigenschaften ist deswegen besonders interessant, weil er im Gegensatz zu anderen Tests an verschränkten bzw. Bell-Zuständen ohne Rückgriff auf stochastische Überlegungen auskommt; es ist ausreichend, dies experimentell an einem einzelnen System nachzuweisen.
Der GHZ-Zustand ist ein Beispiel für die Widerlegung des lokalen Realismus: dem Gesamtsystem kommen sicher Eigenschaften wie xyy, yxy, yyx und xxx zu, wobei gleichzeitig das Vorliegen einzelner, an den jeweiligen Objekten lokalisierbarer Eigenschaften x und y ausgeschlossen ist.
*) https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices
**) https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_Hilbert_spaces
***) https://www.physics.smu.edu/scalise/P5382fa15/Mermin1990a.pdf
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TomS
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| TomS Verfasst am: 26. Dez 2023 16:04 Titel: |
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Hier wieder die explizite Implementierung:
| Code: | # 2. quantum mechanical; appropriate states as simultaneous eigenstates --------------------
# all quantum mechanical representations for three entangled objects with quantum mechanical spins are constructed
# filter to first three of four properties is applied; for remaining objects all properties are displayed
# Pauli matrices --------------------
print('\n 2. quantum mechanical \n')
# Pauli matrices
# https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices
sigma_0 = np.matrix([[1, 0], [0, 1]])
sigma_x = np.matrix([[0, 1], [1, 0]])
sigma_y = np.matrix([[0, -1j], [1j, 0]])
sigma_z = np.matrix([[1, 0], [0, -1]])
# eigenvectors (not normalized!) for eigenvalues +1, -1 of the Pauli matrices
# https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices#Eigenvectors_and_eigenvalues
e_ket_z_p = np.array([1, 0])
e_ket_z_m = np.array([0, 1])
# tensor product for list of orguments, either all operators or all vectors
# https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_Hilbert_spaces
def tens_prod(*elems):
return ft.reduce(lambda x, y: np.kron(x, y), elems)
# operators for system properties
Sigma_xyy = tens_prod(sigma_x, sigma_y, sigma_y)
Sigma_yxy = tens_prod(sigma_y, sigma_x, sigma_y)
Sigma_yyx = tens_prod(sigma_y, sigma_y, sigma_x)
Sigma_xxx = tens_prod(sigma_x, sigma_x, sigma_x)
# GHZ eigenstates
ghz_pppm_ket = tens_prod(e_ket_z_p, e_ket_z_p, e_ket_z_p) - tens_prod(e_ket_z_m, e_ket_z_m, e_ket_z_m)
ghz_mmmp_ket = tens_prod(e_ket_z_p, e_ket_z_p, e_ket_z_p) + tens_prod(e_ket_z_m, e_ket_z_m, e_ket_z_m)
# handling eigenvalues and -vectors --------------------
# returns all simultaneous eigenkets for a given list of operators
# commutator [.,.] == 0 is not checked!!
def simul_eigen_ket_generator(ops):
rands = np.random.randint(1, 100, len(ops))
# diagonalize a random linear combination of the operators
rnd_lin_ops = np.sum(rands[:, np.newaxis, np.newaxis] * ops, axis=0)
_, e_kets = sci.linalg.eig(rnd_lin_ops)
for k in range(rnd_lin_ops.shape[0]):
e_ket = e_kets[:, k:k+1].T[0]
yield e_ket
# checks if valid pair of eigenvalue and eigenket for operator op
def is_eigen_ket(op, val, ket):
return np.allclose(np.matmul(op, ket), np.multiply(val, ket))
# checks if valid pair i.e. simultaneous eigenvalue and eigenket for all operators in ops
def is_sim_eigen_ket(ops, vals, ket):
return all(is_eigen_ket(op, val, ket) for op, val in zip(ops, vals))
# given one eigenket, for each op in ops the eigenvalues in e_list are checked and returned
def get_eigen_vals(ops, e_ket, e_val_list=(-1, +1)):
e_vals = []
for op in ops:
e_vals.extend([e for e in e_val_list if is_eigen_ket(op, e, e_ket)])
return np.array(e_vals)
# generates all simultaneous eigenkets for the four system properties
def ket_123_fil_gen():
for ket_123 in simul_eigen_ket_generator([Sigma_xyy, Sigma_yxy, Sigma_xyy, Sigma_xxx]):
if (is_sim_eigen_ket([Sigma_xyy, Sigma_yxy, Sigma_yyx], [+1, +1, +1], ket_123) is True):
yield ket_123
elif (is_sim_eigen_ket([Sigma_xyy, Sigma_yxy, Sigma_yyx], [-1, -1, -1], ket_123) is True):
yield ket_123
# driver code --------------------
# loop over all states fulfilling first three conditions
print('search over all states')
for e_ket in ket_123_fil_gen():
e_ket = np.sqrt(2.) * e_ket
e_vals = get_eigen_vals([Sigma_xyy, Sigma_yxy, Sigma_yyx, Sigma_xxx], e_ket)
print('properties =', e_vals.tolist(), '; ', 'state =', np.round(e_ket, 2).tolist())
print()
print('check GHZ states directly')
print('properties =', get_eigen_vals([Sigma_xyy, Sigma_yxy, Sigma_yyx, Sigma_xxx], ghz_pppm_ket).tolist(), '; ', 'state = ', ghz_pppm_ket.tolist())
print('properties =', get_eigen_vals([Sigma_xyy, Sigma_yxy, Sigma_yyx, Sigma_xxx], ghz_mmmp_ket).tolist(), '; ', 'state = ', ghz_mmmp_ket.tolist()) |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 03. Jul 2025 09:49 Titel: |
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Es ist interessanterweise möglich, das klassische Modell vollständig quantenmechanisch zu implementieren.
Dazu übersetzt man zunächst die Einzel- und Gesamteigenschaften in Operatoren
)
)
wobei erstere 4*4 Matrizen auf einem 4-dim. reellen Vektorraum sind, letztere 64*64-Mastrizen auf einem 64-dim. Vektorraum.
Die Eigenschaften selbst sind dann wieder in Zustandsvektoren kodiert.
D.h. die Formulierung des klassischen Problems im Rahmen des quantenmechanischen Formalismus führt mittels des Tensorproduktes auf den Hilbertraum
während das intrinsisch quantenmechanische Problem auf Basis der 2*2-Paulimatrizen zu einem 8-dim. Hilbertraum über den komplexen Zahlen (bzw. einem isomorphen 16-dim. Hilbertraum über den reellen Zahlen) führt
Das klassische System hat die Eigenschaft, dass alle Operatoren vertauschen, und dass immer alle Eigenschaften gleichzeitig definiert vorliegen. Ersteres folgt mittels
Letzteres bedeutet, dass die gesuchten Zustände gemeinsame Eigenzustände zu allen Operatoren für Einzel- und Gesamteigenschaften sind. Für letztere folgen wir die vier Eigenwerte und damit Eigenschaften +1, +1, +1, +1.
Der GHZ-Zustand ist dagegen nur ein gemeinsamer Eigenzustand zu den vier speziell ausgewählten Operatoren der Gesamteigenschaften, jedoch insbs. nicht zu den sechs Operatoren
D.h. im quantenmechanischen Fall liegt keine der Einzeleigenschaften je einem der drei Quantenobjekte vor.
Die Konstruktion des klassischen Systems verlangt, die Eigenschaften auseinanderspleißen, was zu einem größeren Hilbertraum führt, in dem die Eigenschaften unabhängig vorliegen können, während sie in den quantenmechanischen GHZ-Zuständen zusammengespleißt und dadurch nicht unabhängig voneinander sind.
Der formale Rahmen von Hilberträumen, Zuständen und Operatoren trägt demnach sowohl für klassische / lokal-realistische Eigenschaften als quantenmechanische / nicht-lokal-realistische Eigenschaften; die Unterschiede liegen in den Details der Modelle. Kern der GHZ-Konstruktion sind dabei nicht-vertauschende Operatoren sowie die Verschränkung, die in der klassischen Physik nicht zur Anwendung kommen.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Dez 2025 12:37 Titel: |
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Im folgenden diskutiere ich anhand dieser Operatoren das Kochen-Specker-Theorem.
Dieses gilt in Hilberträumen der Dimension drei und größer und kann anhand verschiedener Mengen diskutiert werden, wobei jede Menge untereinanander paarweise vertauschende Operatoren enthält; bei der Dimension, der Anzahl der zu betrachtenden Mengen und deren Elemente ist man teilweise flexibel, ich wähle im folgenden ein übersichtliches Beispiel mit Dimension = 4, Anzahl Mengen = 6 und Anzahl Operatoren je Menge = 3:
Die 6 Mengen sind definiert durch die 3 Zeilen und die 3 Spalten. Man beachte, dass je Menge alle Operatoren untereinander paarweise vertauschen und man daher je Zeile und Spalte (mindestens) einen für alle 3 Operatoren gemeinsamen Eigenvektor finden kann.
Dazu ein Beispiel:
Man betrachte die beiden ersten Operatoren der letzten Zeile. Es gilt
(\sigma_y \otimes \sigma_x) - (\sigma_y \otimes \sigma_x)(\sigma_x \otimes \sigma_y) = \sigma_x \sigma_y \otimes \sigma_y \sigma_x - \sigma_y \sigma_x \otimes \sigma_x \sigma_y )
Nun ist aber
und daher
 \otimes (-i\sigma_z) - (-i\sigma_z) \otimes (i\sigma_z) = 0 )
Für die ersten beiden Zeilen bzw. Spalten folgen die Eigenvektoren direkt, siehe z.B.
 |s_x\rangle \otimes |s_y\rangle = \sigma_x |s_x\rangle \otimes 1 |s_y\rangle = s_x |s_x\rangle \otimes |s_y\rangle )
Andere Kombinationen von Operatoren vertauschen nicht und haben daher keine gemeinsamen Eigenvektoren, z.B. ist
Betrachtet man nun die vier möglichen Eigenzustände zu
 |s_1 \rangle \otimes |s_2 \rangle = s_1 s_2 |s_1 \rangle \otimes |s_2 \rangle)
so folgt mittels der Auf- und Absteigeoperatoren
 (S_+ - S_i) )
dass der zweite Ket in eine Linearkombination geändert wird, d.h. dass kein Eigenvektor vorliegt.
Die Quantenmechanik besagt also, dass keine für alle neun Operatoren gleichzeitig zuschreibbaren Eigenvektoren und damit keine Eigenwerten möglich sind. Da mögliche Messwerte gerade den Eigenwerten entsprechend, können nicht alle Messwerte gleichzeitig scharf sein, einige müssen eine Unschärfe aufweisen.
Das Kochen-Specker-Theorem besagt, dass derartiges auch für lokale verborgene Variable unmöglich ist, d.h. dass keine gleichzeitige konsistente Zuschreibung der Werte +1 und -1 zu den einzelnen Größen und damit zu den neun Einträgen in der Tabelle möglich ist.
Betrachtet wir dazu nochmals die o.g. Tabelle und ergänzen sie um eine vierte Zeile und Spalte, die die Produkte aller darin enthaltenen Operatoren enthält, z.B. für die erste Zeile
 (1 \otimes \sigma_x) (\sigma_x \otimes \sigma_x) = \sigma_x^2 \otimes \sigma_x^2 = 1)
und damit
Der Schlüssel ist das Element der Tabelle ganz rechts unten.
Für das Produkt der Operatoren der letzten Zeile bzw. Spalte gilt
 (\sigma_y \otimes \sigma_x) (\sigma_z \otimes \sigma_z) = \sigma_x \sigma_y \sigma_z \otimes \sigma_y \sigma_x \sigma_z = (i \sigma_z \sigma_z) \otimes (- i \sigma_z \sigma_z) = +1)
 (\sigma_y \otimes \sigma_y) (\sigma_z \otimes \sigma_z) = -1)
Die Quantenmechanik besagt für mögliche Messungen an Eigenzuständen: es gibt eine gemeinsame Messung der drei Operatoren der letzten Zeile mit dem scharf definierten Eigenwert = Messerwert 1, und es gibt eine andere gemeinsame Messung der drei Operatoren der letzten Spalte mit dem Eigenwert = Messerwert -1. Da die insgs. fünf verwendeten Operatoren nicht alle vertauschen, liegen sicher verschiedene Eigenvektoren vor; die unterschiedlichen Eigenwerte und demnach Messwerte resultieren genau daraus und stellen im Rahmen der Quantenmechanik kein Problem dar.
Nehmen wir nun an, es gäbe geeignete lokale verborgene Variablen und damit eine gemeinsame Zuschreibung von festen klassischen Werten +1 und -1 zu allen möglichen Einzelmessungen und deren Kombinationen; ich bezeichne erstere mit a und b, die Kombinationen mit (.,.). Dies liefert die Tabelle
 \quad & (, b_x) \quad & (a_x, b_x) \\ (, b_y ) \quad & (a_y, ) \quad & (a_y, b_y) \\ (a_x, b_y) \quad & (a_y, b_x) \quad & (a_z, b_z) \\ \end{array})
Nun betrachtet man die Produkte aller vorhandenen Werte in einer Zeile bzw. Spalte, d.h. z.B. für die erste Zeile
da sämtliche Faktoren entweder +1 oder -1 sind.
Dies liefert ausgehend von dem quantenmechanischen Problem die erweiterte Tabelle
 \quad & (, b_x) \quad & (a_x, b_x) \quad & 1 \\ (, b_y ) \quad & (a_y, ) \quad & (a_y, b_y) \quad & 1 \\ (a_x, b_y) \quad & (a_y, b_x) \quad & (a_z, b_z) \quad & X \\ 1 \quad & 1 \quad & X\end{array})
mit
Die obige Voraussetzung einer für die gesamte Tabelle möglichen Zuschreibung von Werten +1 und -1 führt demnach auf einen Widerspruch, da dieselbe Zuschreibung für das selbe X nicht zugleich zwei verschiedene Werte +1 und -1 liefern kann. Eine gedachte gemeinsamen Zuschreibung reproduziert demnach sicher nicht zugleich alle quantenmechanisch möglichen Messergebnisse.
Diese zunächst rein algebraische Aussage (unabhängig von der praktischen experimentellen Realisierung) ist letztlich das Kochen-Specker-Theorem. Es wurde hier anhand eines speziellen Gegenbeispiels bewiesen, ist jedoch insofern allgemeingültig, als es für jeden Hilbertraum mit Dimension größer oder gleich drei bewiesen werden kann.
Das 3-dim. Modell ist nicht so einfach wie das hier betrachtete 4-dim. Modell. Im oben diskutierten Beispiel liegt eine spezielle Wahl vor, nämlich die der Pauli-Matrizen; i.A. betrachtet man aber keine Spin-Operatoren sondern orthogonale Projektoren. Für letzteres sind die Mengen der Operatoren nicht durch paarweise kommutierende Operatoren definiert, sondern durch Mengen von Projektoren deren Summe Eins ergibt. Letzteres tritt an die Stelle der Bedingungen, dass gewisse Produkte von Operatoren +1 oder -1 ergeben. Die zusätzliche Struktur der Spin-Algebra reduziert i.A. die Anzahl der zu betrachtenden Operatoren und Mengen. Für andere Darstellungen der SU(2) als die fundamentale mit dim rep = 2 und den Pauli-Matrizen funktioniert dies nicht, da die erlaubten Spinwerte auch die 0 umfassen, und da Produkte der Spin-Operatoren i.A. nicht wieder auf Spin-Operatoren führen. D.h. das o.g. Beweismuster für KS funktioniert nur für dim = 2^n, n > 1. GHZ und KS sind eng verwandt, nämlich dann, wenn dim = 2^n, n > 2 gilt, also für dim = 8, 16, 32 ... GHZ funktioniert nicht in 2² = 4, erst ab 8, s.o.
Ein Ausweg hin zu verborgenen Variablen ist die sogenannte "Kontextualität"; den Begriff haben wohl Philosophen ein geführt, er enthält letztlich nichts Neues. Im Rahmen der Quantenmechanik ist ein Mess-Kontext durch eine Zeile oder eine Spalte definiert, also durch einen Satz untereinander vertauschender und damit gleichzeitig messbarer Größen (bzw. analog für Projektoren - s.o.); Kontext-Abhängigkeit in der Quantenmechanik resultiert aus dem je Kontext eindeutigen, jedoch zwischen Kontexten verschiedenen Eigenvektor (analog für Projektoren). Klassisch gibt es keinen Eigenvektor, man könnte jedoch auf die globale Zuschreibung der verborgenen Variablen verzichten und diese ebenfalls nur je Kontext durchführen; dann existiert je Kontext tatsächlich eine Lösung. Nur, das ist auch schon das einzige; bereits die Definition der Kontexte gelingt ja nur auf Basis der quantenmechanischen Operatoren, und man kennt keine Theorie mit kontext-abhängigen verborgenen Variablen, die irgendwas über die Natur sagen würde …
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 28. Dez 2025 16:43 Titel: |
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Die o.g. Konstruktion für Kochen-Specker in dim = 2³ = 8 basierend auf den Operatoren für GHZ im ersten Beitrag lässt sich am übersichtlichsten wie folgt darstellen.
| Code: | \documentclass[tikz,border=10pt]{standalone}
\usetikzlibrary{intersections} % for computing intersection points
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line width=1pt]
\def\R{6}
% define 5 outer vertices as angles in order (top = 12:00 = 90°, left, left-bottom, right-bottom, right)
\foreach \name/\angle in {
vertYII/90,
vertXXX/162,
vertIYI/234,
vertIXI/306,
vertXYY/18
} {
\coordinate (\name) at (\angle:\R);
}
% define and draw named pentagram lines
\draw[red, name path=lineXYYYXXX] (vertXYY) -- (vertXXX);
\draw[blue, name path=lineYIIIYI] (vertYII) -- (vertIYI);
\draw[blue, name path=lineIYIXYY] (vertIYI) -- (vertXYY);
\draw[blue, name path=lineXXXIXI] (vertXXX) -- (vertIXI);
\draw[blue, name path=lineIXIYII] (vertIXI) -- (vertYII);
% define 5 inner named vertices as intersections
\path [name intersections={of=lineYIIIYI and lineXXXIXI, by=vertIIX}];
\path [name intersections={of=lineYIIIYI and lineXYYYXXX, by=vertYYX}];
\path [name intersections={of=lineIYIXYY and lineXXXIXI, by=vertXII}];
\path [name intersections={of=lineIYIXYY and lineIXIYII, by=vertIIY}];
\path [name intersections={of=lineXYYYXXX and lineIXIYII, by=vertYXY}];
% define style for each vertex
\tikzset{vertex/.style={
draw=none,
rectangle,
fill=white,
minimum width=25mm,
minimum height=6mm,
inner sep=0pt,
outer sep=0pt,
text width=20mm,
align=center
}}
% draw operators
\foreach \v/\t in {
vertYII/{$\sigma_y \otimes 1 \otimes 1$},
vertXXX/{$\sigma_x \otimes \sigma_x \otimes \sigma_x$},
vertIYI/{$1 \otimes \sigma_y \otimes 1$},
vertIXI/{$1 \otimes \sigma_x \otimes 1$},
vertXYY/{$\sigma_x \otimes \sigma_y \otimes \sigma_y$},
vertIIX/{$1 \otimes 1 \otimes \sigma_x$},
vertYYX/{$\sigma_y \otimes \sigma_y \otimes \sigma_x$},
vertXII/{$\sigma_x \otimes 1 \otimes 1$},
vertIIY/{$1 \otimes 1 \otimes \sigma_y$},
vertYXY/{$\sigma_y \otimes \sigma_x \otimes \sigma_y$}
} {
\node[vertex] at (\v) {\t};
}
\end{tikzpicture}
\end{document}
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| Beschreibung: |
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 03. Jan 2026 07:30 Titel: |
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Im Folgenden möchte ich zuerst einen formalen Ansatz zum Beweis des Kochen-Specker-Theorems diskutieren, die für beliebige Dimensionen größer gleich drei funktioniert; klassisch betrachte ich Bits, quantenmechanisch wären das Eigenzustände von QBits bzw. Rang-1 Projektoren. Ich zeige KS anhand eines übersichtlichen Beispiels für vier Dimensionen (hier kann man auch einen Bezug zu dem oben diskutierten Beweis mittels Spinmatrizen herleiten). Die Beweisidee ist zunächst allgemeingültig angelegt, QBits, vier Dimensionen etc. sind lediglich Spezialfälle.
Wir betrachten ein N-Tupel d.h. eine Liste von N boolschen Variablen
_{i \in \mathbb{N}^+_{\le N}}, \; v_i \in \{0, 1\} )
wobei ich die Schreibweise
verwende.
Diese Variablen gruppieren wir mittels Indexmengen
in K sogenannte Kontexte
_{i \in \mathbb{I}_k})
Für den Beweis dürfen Indexmengen nicht allesamt paarweise disjunkt sein, d.h.
Führen wir je Kontext weitere Bedingungen ein, die die Variablen v_i erfüllen müssen, so kann dies kontextfreie Wertebelegungen für diese Variablen unmöglich machen.
Dazu ein Beispiel: Betrachten wir drei boolsche Variablen u, v, w und drei Kontexte (u, v), (u, w), (v, w). Es gebe für alle drei Kontexte eine zusätzliche Bedingung, die besagt, dass genau eine Variable des Kontexts WAHR d.h. gleich Eins sein muss. Das führt auf folgende Überlegung:
Wenn (u, v) = (0, 1), dann (u, w) = (0, 1);
aus der letzten Gleichung folgt aber, wenn (u, w) = (0, 1), dann (v, w) = (0, 1);
also v = 0, im Widerspruch zur ersten Annahme; analog natürlich ausgehend von (u, v) = (1, 0).
D.h. aufgrund der Zusatzbedingung existiert keine Wertebelegungen, bei der die drei Variablen u, v, w kontextunabhängige Werte haben. Die Wertebelegungen
(u, v) = (0, 1)
(u, w) = (0, 1)
(v, w) = (0, 1)
ist kontextabhängig.
Das Kochen-Specker-Theorem fußt auf der Idee, Kontexte quantenmechanisch zu definieren und – ausgehend von einer im Rahmen der Quantenmechanik zulässigen Wertebelegung – zu zeigen, dass diese weder in der Quantenmechanik noch mittels verborgener Variablen kontextfrei möglich ist. Es handelt sich um einen Widerspruchsbeweis wie im Beispiel der drei Variablen u, v, w, d.h. man zeigt, dass jede kontextfreie Wertebelegung inkonsistent ist.
Die Entsprechung zwischen verborgenen Variablen mit kontextfreier definierter Wertebelegung und Quantenmechanik ist damit trivial, da wir ja voraussetzen, dass quantenmechanische und klassische Wertebelegung identisch sein sollen, d.h. dass klassische verborgene Variable alle quantenmechanischen Wertebelegungen reproduzieren. Der Widerspruchsbeweis erfolgt rein auf Basis der Wertebelegung und damit unabhängig von den Details Theorie, wie diese die Wertebelegung zustande bringt; auch das erkennt man am Beispiel der drei boolschen Variablen.
Schauen wir uns dieses Paper an:
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9706009
Bell-Kochen-Specker theorem: A proof with 18 vectors
Adan Cabello, Jose M. Estebaranz, Guillermo Garcia Alcaine
We present a state-independent' proof of the Bell-Kochen-Specker theorem using only 18 four-dimensional vectors, which is a record for this kind of proof. This set of vectors contains subsets which allow us to develop a state-specific proof with 10 vectors (also a record) and a probabilistic proof with 7 vectors which reflects the algebraic structure of Hardy's nonlocality theorem.
CEA betrachten einen 4-dimensionalen Hilbertraum und in diesem 18 Einheitsvektoren, die zu 9 Kontexten d.h. 9 Orthonormalbasen bestehend aus je 4 Vektoren gruppiert werden; da in 9 Kontexten insgs. 4*9 = 36 Vektoren vorliegen, wird zudem gefordert, dass jeder der 18 Vektoren in genau 2 Kontexten d.h. Basen vorkommt. Das ist die quantenmechanische Kontext-Definition.
Wir betrachten zunächst also 18 boolsche Variablen und 9 Kontexte zu je 4 Variablen.
Wir führen die Bedingung ein, dass je Kontext genau eine boolsche Variable den Wert Eins hat, d.h.
Über alle Kontexte folgt dann
Nehmen wir an, dass die Wertebelegung kontextfrei möglich ist, so hat jede boolsche Variable in allen Kontexten den selben Wert; da aber jede boolsche Variable in genau 2 Kontexten vorkommt, folgt
Das ist der gesuchte Widerspruch.
Die verbleibende Aufgabe besteht darin, dies in ein quantenmechanisches Problem zu übersetzen, d.h. die Basen zu konstruieren, die diese kontextspezifische Wertebelegung mit der geforderten Zusatzbedingung zulassen.
Zunächst jedoch die Verbindung zu verborgenen Variablen: Eine Abbildung F über einer Variablen lambda aus irgendeiner Menge Lambda definiere eine Wertebelegung
 ))
d.h. die Funktion f liefert für ein lambda und jedes i einen entsprechenden boolschen Wert v_i.
Wir können dies schreiben als
 )_{i \in \mathbb{I}_k} )
wobei für Äquivalenz eine Konsistenzbedingung gelten muss, nämlich dass die Funktion f für ein i, das in zwei verschiedenen Kontexten k, k' enthalten ist, den selben Wert liefert, d.h.
 = f(\lambda_{k^\prime}, i))
Ist dies immer mittels eines einzigen Wertes für lambda erfüllbar, so sprechen wir von kontextfrei.
Wäre dies nicht gegeben, erhielte also ein v_i für das selbe lambda je nach Kontext, verschiedene Werte, so könnte diese zunächst kontextfrei eingeführte Variable lambda nicht existieren; wir benötigen dann kontextabhängige lambda_k. Damit wäre die Annahme, die Kontexte entsprächen lediglich einer künstlichen Gruppierung falsch, tatsächlich wäre die Einführung untereinander bzgl. der Wertzuweisungen inkonsistenter Kontexte zwingend. Dies ist im Rahmen der Quantenmechanik der Fall, und es überträgt sich auch auf Theorien zu verborgenen Variablen, insofern diese die Wertzuweisungen der Quantenmechanik reproduzieren; d.h. auch diese Theorien verborgener Variablen können nicht kontextfrei sein.
Für CEA wissen wir, dass letzteres der Fall ist.
Nun betrachten wir die entsprechende Abbildung in der Quantenmechanik (wobei ich nicht die allgemeinsten Annahmen aus der Literatur diskutiere). Das Problem führt auf Eigenzustände n_i und Eigenwerte e_i bzgl. paarweise orthogonaler Projektoren E_i, die WAHR-FALSCH-Aussagen kodieren; das entspricht einer boolschen Funktion f, die Null bzw. Eins zurückliefert:
 = f(n_j, E_i) = \langle n_j| E_i | n_j \rangle = \delta_{ij} )
Für die Wertebelegungen soll außerdem gelten
 = \langle n_j| E_i \cdot E_{i^\prime} | n_j \rangle = \delta_{ij} \cdot \delta_{{i^\prime}j} )
 = \langle n_j| E_i + E_{i^\prime} | n_j \rangle = \delta_{ij} + \delta_{{i^\prime}j} )
Das entspricht im Wesentlichen dem logischen UND und ODER.
Die erste Gleichung gilt aufgrund der Orthogonalität, die zweite aufgrund der Linearität. Aufgrund der Orthogonalität gilt außerdem, dass die Projektoren paarweise vertauschen
und dass daher gemeinsame Eigenvektoren vorliegen, die eine Orthonormalbasis liefern.
Wir definieren nun quantenmechanische Kontexte innerhalb eines endlich-dimensionalen Hilbertraumes als maximalen Satz paarweise orthogonaler Projektoren:
_{i \in \mathbb{I}_k}, \; \sum_{i \in \mathbb{I}_k} E_i = 1 \;\wedge\; \forall E_i, E_j \in \mathbb{E}_k: \, E_i E_j = \delta_{ij} \, E_i )
Aus der Orthogonalität der Projektoren innerhalb eines Kontextes folgt, dass die Projektoren vertauschen und daher gemeinsame, paarweise orthogonale Eigenvektoren haben; zusammen mit der Vollständigkeit folgt, dass diese eine Orthonormalbasis definieren und somit den gesamten Hilbertraum aufspannen.
Für verschiedene Kontexte gilt, dass diese eine gewisse Mindestanzahl an Projektoren gemeinsam haben, und es i.A. nicht der Fall ist, dass Projektoren in verschiedenen Kontexten orthogonal sind (andernfalls wären die Kontexte nicht geeignet, damit KS zu zeigen).
Aufgrund der Vollständigkeit gilt für Projektoren und deren gemeinsame Eigenvektoren zu einem Kontext k, was bedeutet, dass genau eine Aussage innerhalb des Kontextes WAHR ist; diese Aussage habe eine Nummer, die für jeden Kontext k von einer Funktion J(k) geliefert wird, d.h.
}, i) = \left\langle n_{J(k)}| E_i | n_{J(k)} \right\rangle = \delta_{i, J(k)} )
Man erkennt, dass die Darstellung der Funktion f mittels Eigenvektoren entfallen kann, man erhält stattdessen eine gewöhnliche boolsche Funktion mit der Wertebelegung
_{i \in \mathbb{I}_k} = \left( \delta_{i, J(k)} \right))
Damit liegt für die o.g. Aussagen „… Kontexte quantenmechanisch zu definieren und zu zeigen, dass diese Wertebelegung weder in der Quantenmechanik noch mittels verborgener Variablen kontextfrei möglich ist“ und „… die Entsprechung zwischen verborgenen Variablen und Quantenmechanik ist trivial, da wir voraussetzen, dass quantenmechanische und klassische Wertebelegung identisch sein sollen, d.h. dass klassische verborgene Variable alle quantenmechanischen Wertebelegungen reproduzieren“ eine explizite Konstruktion vor – unter der Voraussetzung der Existenz geeigneter Projektoren.
CEA liefern diese in (1 – 9).
Der Beweis von KS ist mathematisch keine wirklich schwierige Aufgabe im Rahmen der linearen Algebra, und die Aussage von KS ist wenig überraschend. Bell schreibt in seinem Paper 1966 (in dem das Theorem im Wesentlichen gezeigt wird, das jedoch einige Jahre vor der Veröffentlichung liegen blieb)
“… [we have] tacitly assumed that the measurement of an observable must yield the same value independently of what other measurements must be made simultaneously.”
“These different possibilities require different experimental arrangements; there is no a priori reason to believe that the results ... should be the same. The result of an observation may reasonably depend not only on the state of the system (including hidden-variables) but also on the complete disposition of the apparatus.”
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