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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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 TomS Verfasst am: 25. Jul 2023 13:21 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem ist trotzdem, dass deine Lösung eine willkürliche Richtung auszeichnet. |
Was meinst Du damit? Inwiefern ist irgend eine Richting gegenüber irgend einer anderen ausgezeichnet? |
Du sprichst von einer Kraft; diese zeichnet entweder eine Richtung aus, oder sie verschwindet identisch.
Nimm' eine homogene, unendlich ausgedehnte Masseverteilung und berechne im Rahmen der Newtonschen Mechanik für einen Testkörper die Gravitationskraft oder meinetwegen für zwei Testkörper die Gezeitenkraft. Egal wie, ein Ergebnis ungleich Null mit ausgezeichneter Richtung ist sicher sinnlos (was nicht zwingend heißt, dass ein Ergebnis gleich Null nicht sinnlos wäre).
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 25. Jul 2023 13:46 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Egal wie, ein Ergebnis ungleich Null mit ausgezeichneter Richtung ist sicher sinnlos (was nicht zwingend heißt, dass ein Ergebnis gleich Null nicht sinnlos wäre). |
Das ist keine Antwort auf meine Frage. Wo siehst Du diese ausgezeichnete Richtung? Die Gezeitenkräfte haben überall und in alle Richtungen die gleiche Proportionaliät zum Abstand. Wodurch soll sich da eine Richtung auszeichnen?
Kannst Du ein Experiment beschreiben, mit dem man diese ausgezeichnete Richtung bestimmen kann?
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 679
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| Sonnenwind Verfasst am: 25. Jul 2023 15:59 Titel: |
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Da in dieser Aufgabenstellung nervige Unendlichkeiten auftreten, kann man sich ja mal eine lineare Kette von Gewichten vorstellen, z.B. jeden Meter ein Kilogramm. Da die Reihe 1/n² konvergiert, gibt es nur endliche Kräfte.
Welche Kraft wirkt denn auf eines der Gewichte?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 25. Jul 2023 16:03 Titel: |
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@DrStupid -
Das Problem ist, dass du mit der Gezeitenkraft argumentierst, ohne sichergestellt zu haben, dass deine Ausdrücke überhaupt existieren.
Was ich weiß ist, dass
i) in der Newtonschen Mechanik eine räumlich und zeitlich konstante Massendichte inkonsistent ist, d.h. wenn räumlich konstant dann nicht statisch (s.u.); und dass
ii) eine räumlich konstante Massendichte in ART (ohne Lambda) zwingend zu einem ebenfalls nicht-statischen FRW-Universum führt.
Was außerdem sicher nicht funktioniert ist das Schalentheorem (mit Birkhoff mag das funktionieren, das weiß ich nicht; evtl. kann Ich helfen, Schwarzschild nach FRW zu übertragen).
Für das Gravitationsfeld gilt
Dieser Ausdruck ist nicht Lebesgue- oder (uneigentlich) Riemann-integrabel, weil er nicht absolut integrabel ist; wäre letzteres der Fall, wäre er aus Symmetriegründen Null, was dir auch nicht hilft (das entspräche dem Fehler Newtons, auf den du selbst hingewiesen hast).
Da diese Voraussetzung nicht erfüllt ist, gehen Beweise mittels Koordinatentransformationen, Mehrfachintegralen etc. nicht durch. Wendet man das Schalentheorem auf unterschiedliche Zentren an, so macht man aber genau das, Kugelkoordinaten bzgl. eines ausgezeichneten Zentrums, Koordinatentransformationen und Mehrfachintegrale etc.
Das Schalentheorem existiert so also nicht.
Wenn die Massendichte nicht hinreichend schnell abfällt (tut sie natürlich nicht) ist das Problem also ill-posed. Setzt man geeignete Regulatoren für die Massendichte oder Randbedingungen für die Integrale an, kann man dies zwar beheben, jedoch brechen Randbedingungen oder Regulatoren die Symmetrie; wegen Homogenität und Isotropie ist dies die volle Galilei-Symmetriegruppe. Das gilt auch die Herleitung des Schalentheorem mittels Greensfunktionen oder Integralsätzen, da wiederum Randbedingungen eingeführt werden müssen.
Zusammenfassend: Die einfache Formulierung der Newtonsche Theorie ergibt mathematisch für konstante Dichte zunächst keinen Sinn. Die "korrekten" Ergebnissen kann man in verbesserten Formulierungen beweisen; sie haben aber ohne diesen Beweis in etwa denselben Status wie der mittels Newtonscher Theorie berechnete Wert des Schwarzschildradius - es ist Zufall, dass es passt (siehe das Argument von Newton bzgl. identisch verschwindender Kraft; es funktioniert halt nicht). Dass bei sauberer Argumentation Größen wie die Gezeitenkraft folgen, bei denen die o.g. gebrochenen Symmetrien wieder restauriert wird, glaube ich dir. Sie folgen bei dir aber aus undefinierten Größen.
Eine Lösung ist der erweiterte geometrische Formalismus der Newton-Cartan-Theorie; insoweit die übliche Formulierung konsistent ist, sind beide äquivalent). In der Newton-Cartan-Theorie zeigt man für Staub bzw. Flüssigkeiten, dass ein Universum räumlicher und zeitlicher statischer Dichte keine Lösung darstellt (s.o.).
Man findet jedoch auch deine o.g. Gleichung für den Skalenfaktor in einem materiedominierten Universum a la FRW.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 25. Jul 2023 16:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Für das Gravitationsfeld gilt
Dieser Ausdruck ist nicht Lebesgue- oder (uneigentlich) Riemann-integrabel, weil er nicht absolut integrabel ist; |
Das gilt für die Gravitationsbeschleunigung. Ich rede aber von der Gezeitenbeschleunigung
 = \rho \int_{R^3 } {d^3 y\left( {\frac{{y - x - r}}{{\left| {y - x - r} \right|^3}} - \frac{{y - x}}{{\left| {y - x} \right|^3}}} \right)} )
für einen endlichen Abstand r. Dieser Integrand geht im Unendlichen schneller gegen Null als 1/|y-x|².
Edit: Exponenten im Bruch korrigiert.
Zuletzt bearbeitet von DrStupid am 25. Jul 2023 17:02, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 25. Jul 2023 16:34 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Da in dieser Aufgabenstellung nervige Unendlichkeiten auftreten, kann man sich ja mal eine lineare Kette von Gewichten vorstellen, z.B. jeden Meter ein Kilogramm. Da die Reihe 1/n² konvergiert, gibt es nur endliche Kräfte. |
Es gibt zig Arbeiten zu diesen Themen, aus denen eben hervorgeht, dass Regulatoren die Symmetrie brechen, oder zu Uneindeutigkeiten führen.
Ich skizziere mal, wie's in einer Dimension aussieht.
So funktioniert's:
Poisson-Gleichung für das Gravitationspotential:
Lösung:
^2 + \phi_0)
mit zwei Integrationskonstanten (sic!), direkt ohne Greensche Funktion oder Integralsatz.
Kraft:
 )
Die Bewegungsgleichung F = ma d.h.
mit
hat die allgemeine Lösung
 = A \, \cos(\omega t + \delta) + x_0)
Auch hier muss man sich überlegen, wie man mit dem ausgezeichneten Ursprung x=0 bzw. den Minima der Oszillationen umgeht.
So nicht:
(das folgende entspräche in drei Dimensionen einem Ansatz zur Verwendung Greenscher Funktionen, Integralsätzen, Schalentheorem etc.)
Greensche Funktion der Poisson-Gleichung:
 = \delta(x-y))
 = \frac{1}{2}|x-y])
Formale Lösung der Poisson Gleichung
mittels der Greenschen Funktion
 = 4 \pi \, G \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, g(x-y) \, \rho(y))
und dem Beweis
 \, \rho(y) = 4 \pi \, G \, \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, \partial_x^2 \, g(x-y) \, \rho(y) = 4 \pi \, G \, \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, \delta(x-y) \, \rho(y) = 4 \pi \, G \, \rho(x))
Jedoch für die gewählte konstante Massendichte
 = 4 \pi \, G \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, g(x-y) \, \rho(y) = 4 \pi \, G \, \rho \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, \frac{1}{2}|x-y] = \infty)
Und genau sowas passiert auch in drei Dimensionen. D.h. man muss den Ansatz "reparierten", um zu den o.g. (dann letztlich beweisbar korrekten) Ergebnissen zu gelangen.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Jul 2023 20:54, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 25. Jul 2023 16:55 Titel: |
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[quote="DrStupid"]Da stimmt was mit den Exponenten im Bruch nicht.
Das Problem ist, dass du zunächst g definieren musst, was ja bereits nicht existiert; genauso, wie das Schalentheorem.
Ich bestreite ja gar nicht, dass man das reparieren kann, aber der einfache Ansatz und insbs. das Schalentheorem funktionieren eben nicht; dazu findest du auch diverse Literatur.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Jul 2023 17:20, insgesamt einmal bearbeitet |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 25. Jul 2023 17:11 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Da stimmt was mit den Exponenten im Bruch nicht. |
Ich habs oben korrigiert.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Und das Problem ist, dass du zunächst g definieren musst |
Wozu? Ich verwende g doch überhaupt nicht. Ich spreche die ganze Zeit von Gezeitenbeschleunigungen. Die sind z.B. über das Integral oben definiert und da fällt der Integrand in großen Entfernungen nicht mit 1/|y-x|², sondern mit 1/|y-x|³ ab.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | genauso, wie das Schalentheorem |
Auch das brauche ich nicht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 25. Jul 2023 17:17 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Ich verwende g doch überhaupt nicht. |
Doch, hier:
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | In einer flachen Raumzeit nehme ich dafür näherungsweise das Gaussche Gesetz für das Newtonsche Gravitationspotential:
Die Integration führt erstmal zu
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | genauso, wie das Schalentheorem |
Auch das brauche ich nicht. |
Hier:
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie folgt aus einer unendlichen, homogenen und isotropen Massenverteilung eine beschleunigte Bewegung in irgendeine Richtung? |
Jede Masse wird von jeder anderen angezogen. Deshalb werden alle Punkte aufeinander zu beschleunigt. Ich hat ja schon gesagt, wie man aus dem Schalentheorem schlussfolgern kann ... |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 679
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| Sonnenwind Verfasst am: 25. Jul 2023 17:25 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | Das gilt für die Gravitationsbeschleunigung. Ich rede aber von der Gezeitenbeschleunigung
für einen endlichen Abstand r. Dieser Integrand geht im Unendlichen schneller gegen Null als 1/|y-x|².
Edit: Exponenten im Bruch korrigiert. |
Ich verstehe die Formel nicht. Links müsste doch auch x auftreten. Und würde sich das Delta dann auf x oder r beziehen?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 679
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| Sonnenwind Verfasst am: 25. Jul 2023 17:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Da in dieser Aufgabenstellung nervige Unendlichkeiten auftreten, kann man sich ja mal eine lineare Kette von Gewichten vorstellen, z.B. jeden Meter ein Kilogramm. Da die Reihe 1/n² konvergiert, gibt es nur endliche Kräfte. |
Es gibt zig Arbeiten zu diesen Themen, aus denen eben hervorgeht, dass Regulatoren die Symmetrie brechen, oder zu Uneindeutigkeiten führen.
Ich skizziere mal, wie's in einer Dimension aussieht.
So funktioniert's:
Poisson-Gleichung für das Gravitationspotential:
Lösung:
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Das wäre ja dann ein harmonisches Potential und alle Punkte würden zu einem Mittelpunkt bei x0 streben.
Komisch.
Eigentlich hatte ich eine lineare Kette (oder eine Liniendichte) im 3D-Raum gemeint, damit es endlich bleibt.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse.
Zuletzt bearbeitet von Sonnenwind am 25. Jul 2023 17:50, insgesamt einmal bearbeitet |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 25. Jul 2023 17:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Ich verwende g doch überhaupt nicht. |
Doch, hier:
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | In einer flachen Raumzeit nehme ich dafür näherungsweise das Gaussche Gesetz für das Newtonsche Gravitationspotential:
Die Integration führt erstmal zu
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Die Integraion von  über einen bestimmten Abstand r führt nicht zu g, sondern zu ) . Also auch hier rechne ich nirgends mit Beschleunigungen, sondern nur mit Gezeitenbeschleunigungen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Hier:
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie folgt aus einer unendlichen, homogenen und isotropen Massenverteilung eine beschleunigte Bewegung in irgendeine Richtung? |
Jede Masse wird von jeder anderen angezogen. Deshalb werden alle Punkte aufeinander zu beschleunigt. Ich hat ja schon gesagt, wie man aus dem Schalentheorem schlussfolgern kann ... |
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Das war ein Kommentar zu einem Beitrag von Ich. In meiner Argumentation kommt das Schalentheorem nicht vor.
Zuletzt bearbeitet von DrStupid am 25. Jul 2023 18:13, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 25. Jul 2023 18:01 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Links müsste doch auch x auftreten. Und würde sich das Delta dann auf x oder r beziehen? |
Das x habe ich weggelassen, weil es bei der Integration rausfliegt. Das folgt zwingend aus der Homogenität.
Ich habe jetzt mal Derive in die Spur geschickt und das Ganze im Koordinatenursprung (den man ja hinlegen kann, wo man will) für eine Komponente durchrechnen lassen:
^2 + \left( {y - r_y } \right)^2 + \left( {z - r_z } \right)^2 } \right]^{\frac{3}{2}} }} - \frac{x}{{\left[ {x^2 + y^2 + z^2 } \right]^{\frac{3}{2}} }}\;dx} \,dy} \,dz} = \pm \frac{8}{{\sqrt 3 }}r_x )
Über das Vorzeichen kann man vielleicht noch diskutieren, aber die Proportionalität mit r ist definitiv da.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 25. Jul 2023 18:24 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Die Integraion von über einen bestimmten Abstand r führt nicht zu g, sondern zu . Also auch hier rechne ich nirgends mit Beschleunigungen, sondern nur mit Gezeitenbeschleunigungen. |
Äh, du behauptest, du könntest mit irgendeiner Ableitung von g rechnen, auch wenn g selbst nicht definiert ist???
Das kannst du nur, wenn bzw. weil jemand anders für dich die Mathematik repariert hat. Zunächst mal funktioniert es schlichtweg nicht. Siehe auch mein 1-dim. Beispiel.
Dann: wie gehst du mit dem ausgezeichneten Ursprung r=0 um? Dieser Punkt bricht die Symmetrie des ursprünglichen Problems. Wenn sich alle Massen in einem Punkt treffen: in welchem denn, im euklidischen Raum??
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 679
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| Sonnenwind Verfasst am: 25. Jul 2023 18:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das kannst du nur, wenn bzw. weil jemand anders für dich die Mathematik repariert hat. Zunächst mal funktioniert es schlichtweg nicht. Siehe auch mein 1-dim. Beispiel. |
Dein 1-dim-Beispiel zeigt ein harmonisches (parabelförmiges) Potential bzw. lineare Kraft.
Gleichzeitig sind alle Punkte gleichberechtigt und es dürfte keine Kraft existieren.
Das ist so paradox, dass ich heute Nacht nicht schlafen kann.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 25. Jul 2023 18:45 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | Dein 1-dim-Beispiel zeigt ein harmonisches (parabelförmiges) Potential bzw. lineare Kraft.
Gleichzeitig sind alle Punkte gleichberechtigt und es dürfte keine Kraft existieren.
Das ist so paradox, dass ich heute Nacht nicht schlafen kann. |
Da steckt noch ein Fehler drin, weil die Kraft ~ x aber die Greensche Funktion ~ |x| ist; letzteres ist sicher richtig.
Aber das Problem mit dem ausgezeichneten Punkt bleibt.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 25. Jul 2023 19:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Äh, du behauptest, du könntest mit irgendeiner Ableitung von g rechnen, auch wenn g selbst nicht definiert ist??? |
Das macht man in der Thermodynamik ständig. Die innere Energie U ist auch nicht definiert. Trotzdem wird lustig mit dU gerechnet.
Aber nachdem ich das Integral für die Gezeitenkräfte für einen Spezialfall gelöst habe, können wir uns diese ganze Diskussion sparen. Da erhalte ich die Gezeitenbeschleunigung ohne Umweg über die Beschleunigung direkt aus dem Gravitationsgesetz. Ich sehe keinen Grund anzunehmen, dass das im allgemeinen Fall nicht funktioniert.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Dann: wie gehst du mit dem ausgezeichneten Ursprung r=0 um? |
Anstatt meine Frage nach den angeblich ausgezeichneten Richtungen zu beantworten wirfst Du jetzt eine neue Behauptung über einen angeblich ausgezeichneten Ursprung hinterher? Was soll das? Was genau ist da wie ausgezeichnet?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 26. Jul 2023 09:03 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Das macht man in der Thermodynamik ständig. Die innere Energie U ist auch nicht definiert. |
Wie sollte das so sein??
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Aber nachdem ich das Integral für die Gezeitenkräfte für einen Spezialfall gelöst habe, können wir uns diese ganze Diskussion sparen. Da erhalte ich die Gezeitenbeschleunigung ohne Umweg über die Beschleunigung direkt aus dem Gravitationsgesetz. Ich sehe keinen Grund anzunehmen, dass das im allgemeinen Fall nicht funktioniert. |
Mathematisch sauber funktioniert es jedenfalls so nicht.
Es gibt diverse Arbeiten dazu.
Seeliger, H. (1895, 1896) Über das Newtonsche Gravitationsgesetz.
Neumann, C. (1896) Allgemeine Untersuchungen über das Newtonsche Prinzip der Fernwirkungen.
Einstein hat dies ebenfalls bemerkt:
Einstein, A (1917) Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie
Darin wird diskutiert, dass ein statisches Netwonsches Universum mit konstanter Materieverteilung inkonsistent ist, und bereits dieses Modell "regularisiert" werden muss, was letztlich von der Poisson- zur inhomogenen Helmholtz-Gleichung mit kosmologischer Konstante (sic!) führt (teilw. bereits früher von den o.g. Autoren diskutiert)
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Dann: wie gehst du mit dem ausgezeichneten Ursprung r=0 um? |
Anstatt meine Frage nach den angeblich ausgezeichneten Richtungen zu beantworten wirfst Du jetzt eine neue Behauptung über einen angeblich ausgezeichneten Ursprung hinterher? Was soll das? Was genau ist da wie ausgezeichnet? |
Du siehst offenbar den Zusammenhang beider Probleme nicht, dabei liegt das auf der Hand.
Eine unendliche homogene Massenverteilung ist mathematisch inkonsistent. Also muss sie regularisiert werden, d.h. z.B. durch eine endliche Kugel ersetzt werden, deren Radius zuletzt gegen unendlich geht.
Also folgt für die Beschleunigung
 \sim - G \rho \int_0^R \dd^3y \, \frac{y-x}{|y-x|^3})
und damit auch die Geschwindigkeit initial ruhender Testkörper, dass diese gegen einen ausgezeichneten Punkt x=0 und damit in eine ausgezeichnete Richtung erfolgt.
Dieser Punkt müsste in einem homogenen Universum jedoch beliebig sein. D.h. ich kann eine andere Kugel und damit
 \sim - G \rho \int_0^R \dd^3y \, \frac{y-(x-x_0)}{|y-(x-x_0)|^3})
betrachten, wobei nun Beschleunigung und Geschwindigkeit zu einem anderen Punkt hin erfolgen. Und das ist offensichtlich problematisch, da ich für jede Wahl der Kugel unterschiedliche Bewegungen erhalte. Man muss zeigen, wie diese gebrochene Symmetrie wieder hergestellt wird.
Die Autoren oben gelangen übrigens zu einer verblüffend einfachen, statischen und konsistenten Lösung
 \, \phi = 4 \pi \, G \rho_0)
der man jedoch sofort ansieht, dass sie eben keinen statischen Grenzfall
erlaubt.
Dass für zwei benachbarte Trajektorien und unter Voraussetzung der selben o.g. Kugel eine sinnvolle Gezeitenbeschleunigung folgt, streite ich gar nicht ab.
Aber das hier ...
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Mir erscheinen die Forderungen eher willkürlich. Ich würde intuitiv annehmen, dass sich alle Punkte im freien Fall befinden. Um auszurechnen, was das bedeutet, brauche ich die Gezeitenkraft der unendlichen homogenen Masseverteilung. In einer flachen Raumzeit nehme ich dafür näherungsweise das Gaussche Gesetz für das Newtonsche Gravitationspotential ... Das ist das einfachste Modell, das ich erwarten würde. |
... funktioniert so eben nicht, weil du mit bekanntermaßen undefinierten Objekten hantierst, und weil ich nicht sehe, dass deine Vorgehensweise damit weniger willkürlich wäre.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 26. Jul 2023 10:17 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie sollte das so sein?? |
Per Definition. Der Absolutwert der Inneren Energie ist unbestimmt. Nur ihre Änderungen sind definiert. Damit trägt man der Tatsache Rechnung, dass die innere Energie experimentell nicht bestimmbar ist.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Also folgt für die Beschleunigung
und damit auch die Geschwindigkeit initial ruhender Testkörper, dass diese gegen einen ausgezeichneten Punkt x=0 und damit in eine ausgezeichnete Richtung erfolgt. |
1. Wie oft muss ich noch sagen,dass ich hier nicht über Beschleunigungen, sondern über Gezeitenbeschleunigungen rede? Das kann doch nicht so schwer zu verstehen sein. Bei Gezeitenbeschleunigungen tritt dieses Problem nicht auf.
2. Die Schlussffolgerung gilt nur, wenn man die Beschleunigung bei x=0 willkürlich auf Null setzt. Diese Annahme ist es, die die Homogenität und Isotropie bricht und sie ist durch nichts gerechtfertigt. Wenn man dagegen eine zusätzliche konstante Beschleunigung für das Gesamte Universum zulässt, die nicht experimentell bestimmt werden kann, dann sind Homogenität und Isotropie wieder hergestellt.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber das hier . […] funktioniert so eben nicht |
Deshalb habe ich es später noch mal anders berechnet und komme auf eine analytische Lösung. Dass ich mich dabei auf einen Spezialfall beschränken musste, hat rein technische Gründe: Im allgemeinen Fall läuft bei Derive der Speicher über. Vielleicht hat ja jemand Zugriff auf ein besseres CAS. Von Mathematica würde ich beispielsweise erwarten, dass es mit dem Integral klar kommt, aber das ist mir entschieden zu teuer.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 26. Jul 2023 11:26 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie sollte das so sein?? |
Per Definition. Der Absolutwert der Inneren Energie ist unbestimmt. Nur ihre Änderungen sind definiert. Damit trägt man der Tatsache Rechnung, dass die innere Energie experimentell nicht bestimmbar ist. |
Das ist erstens Käse, und ist zweitens nicht damit zu vergleichen, dass du ein mathematisch unsinniges Integral hinschreibst.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | 1. Wie oft muss ich noch sagen, dass … |
Gar nicht. Ich habe verstanden, dass du Konsistenzprobleme in den fundamentalen Ausdrücken ignorierst, und daraus Schlussfolgerungen ziehst.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | 2. Die Schlussffolgerung gilt … |
… weil dein Integral die Translationssymmetrie bricht.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man dagegen eine zusätzliche konstante Beschleunigung für das Gesamte Universum zulässt, die nicht experimentell bestimmt werden kann, dann sind Homogenität und Isotropie wieder hergestellt. |
Dann schreib doch hin, wie das geht.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber das hier . […] funktioniert so eben nicht |
Deshalb habe ich es später noch mal anders berechnet … |
… was jedoch die selben Probleme aufweist, dass du von undefinierten Ausdrücken ausgehst, die Symmetrie brichst, und die bekannte Inkonsistenzen ignorierst.
Nochmal: Ich bestreite nicht, dass das Endergebnis sinnvoll aussieht. Aber du lehnst andere Modelle ab und schlägst selbst eines vor, das mathematisch inkonsistent ist. Na ja …
Zum CAS: Welches Integral genau soll denn präzise definiert jedoch nicht analytisch lösbar sein?
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 26. Jul 2023 13:39 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das ist erstens Käse |
Dann versuch mal zu erklären, warum es zwar Standardentropien, aber keine Standardenthalpien gibt.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Dann schreib doch hin, wie das geht. |
Deine Beschleunigung sieht so aus, als ob es einen bevorzugten Punkt gibt, weil Du das Bezugssystem K, für das Deine Rechnung gilt mit der Festlegung a:=0 bei x=0 ausgezeichnet hast. Außerdem übersiehst Du, dass Du bei einer Verschiebung des Ursprungs in ein relativ zu K beschleunigtes aber ebenfalls lokal frei fallendes Bezugssystem K’ wechselst. Aufgrund der Scheinkräfte gilt hier ebenfalls a’=0 bei x’=0. Weil man Scheinkräfte nicht von Gravitationskräften unterscheiden kann, ist die "wahre Beschleunigung" ao willkürlich. Sie ist experimentell nicht bestimmbar. Damit ergibt sich das Beschleunigungsfeld
 = a_0 - k \cdot r)
in dem es keinen ausgezeichneten Punkt mehr gibt. Es gibt zwar einen Punkt
der unbeschleunigt erscheint, aber der ist genauso willkürlich wie ao.
Aber das ist hier alles egal, weil ich nicht von Beschleunigungen, sondern von Gezeitenbeschleunigungen rede und bei denen fliegt ao raus.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | … was jedoch die selben Probleme aufweist, dass du von undefinierten Ausdrücken ausgehst, die Symmetrie brichst, und die bekannte Inkonsistenzen ignorierst. |
Bitte präziser:
- Welcher Ausdruck ist undefiniert?
- Wo wird die Symmetrie gebrochen?
- Welche bekannte Inkonsistenz ignoriere ich?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zum CAS: Welches Integral genau soll denn präzise definiert jedoch nicht analytisch lösbar sein? |
Es geht um das uneigentliche Integral
\;dx^3 })
und ich habe nicht gesagt, dass es analytisch nicht lösbar ist, sondern nur, dass Derive daran scheitert. Allerdings habe ich mittlerweile gesehen, dass man hier einfach mit y=x-r substituieren kann, was wegen der unendlichen Integrationsgrenzen zu
\;dy^3 } )
führt und das hat Derive geschafft, wobei tatsächlich eine Proportionalität mit  heraus kommt.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 26. Jul 2023 15:53 Titel: |
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Du hast das Argument mit der Symmetriebrechung nicht verstanden.
Es geht nicht um die Auszeichnung eines Koordinatensystems, es geht um die Auszeichnung eines Balls mit homogener Masse, über den integriert wird; das ist unabhängig vom Koordinatensystem.
Das Argument ist, dass aufgrund der Homogenität und Isotropie der zunächst unendlichen Masseverteilung kein Punkt und keine Richtung ausgezeichnet sind. Nun wähle ich zwei Bälle B1 und B2 mit unterschiedlichen Mittelpunkten – das darf ich prinzipiell aufgrund von Homogenität und Isotropie – und erhalte jeweils Lösungen, die durch die Mittelpunkte der Bälle ausgezeichnete Richtungen haben – die also Homogenität und Isotropie brechen.
Eine Beobachterschar X1, Y1 … die Ball B1 gewählt hat, fällt auf das Zentrum von B1 zu (und stimmt untereinander bzgl. deiner Gezeitenkräfte überein). Eine Beobachterschar X2, Y2 … die Ball B2 gewählt hat, fällt auf dessen Zentrum zu (und stimmt untereinander bzgl. der Gezeitenkräfte überein); diese zweite Beobachterschar stimmt jedoch nicht mit der ersten überein.
Wie gesagt, das ist kein Effekt eines Koordinatensystems.
D.h. die Berechnung der Integrale für die Beschleunigungen verschiedener Beobachter stimmen dann nicht überein, wenn unterschiedliche Beobachter unterschiedliche Bälle wählen. Die Verwendung dieser Bälle (oder anderer Regulatoren) ist aber die Voraussetzung für die Definition der uneigentlichen Riemannschen Integrale.
Die Theorie ist also entweder inkonsistent, oder du zeigst die Restaurierung der Symmetrie, oder du akzeptierst eine Theorie, in der zwar Gezeitenbeschleunigungen berechenbar sind (und geeignete Symmetrien aufweisen) jedoch keine Gravitationskräfte, d.h. auch kein Gesetz F = mg; so wie ich dich verstehe, läuft es für dich auf letzteres hinaus.
Letztlich ist dies Ausdruck der Tatsache, dass bekanntermaßen – s.o. Einstein et al. – ein statisches Universum mit räumlich und zeitlich konstanter Massendichte im Rahmen der Newtonschen Mechanik inkonsistent ist.
Dass man mittels Kunstgriffen etwas vermeintlich Vernünftiges aus dem Hut zaubern kann, will ich nicht bestreiten. Es kuriert jedoch nicht die zugrundeliegende Inkonsistenz.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
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| DrStupid Verfasst am: 26. Jul 2023 17:34 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine Beobachterschar X1, Y1 … die Ball B1 gewählt hat, fällt auf das Zentrum von B1 zu (und stimmt untereinander bzgl. deiner Gezeitenkräfte überein). Eine Beobachterschar X2, Y2 … die Ball B2 gewählt hat, fällt auf dessen Zentrum zu (und stimmt untereinander bzgl. der Gezeitenkräfte überein); diese zweite Beobachterschar stimmt jedoch nicht mit der ersten überein. |
Ich habe Dir oben erklärt, worin Dein Fehler besteht und Du machst ihn hier wieder: Du legst fest, dass die Zentren der beiden Bälle unbeschleunigt sind. Wenn das keine Wahl eines Bezugssystems räpresentieren soll, dann ist das nicht nur willkürlich, sondern sogar falsch. Die Berechnung mit einem der Bälle zeigt, dass nur ein einziger Punkt nicht beschleunigt ist. Damit darfst Du keinen anderen Punkt als unbeschleunigt annehmen.
Wenn Du unbedingt mehrere Bälle verwenden und Dich irgendwo auf eine Beschleunigung festlegen willst, dann musst Du die Beschleunigungen im Zentrum der jeweiligen Bälle so wählen, dass alle Beschleunigungen aller Bälle konsistent sind:
Du nimmst einen Ball mit Zentrum bei  und legst fest, dass die Beschleunigung in seinem Zentrum Null sein soll. Das ergibt das Beschleunigungsfeld
 = k \cdot \left( {r_0 - r} \right))
Jetzt wählst Du weitere Bälle mit Zentren bei  . Bis hier hin ist das OK. Aber jetzt kommt Dein Fehler: Obwohl aus Deiner ersten Festlegung folgt, dass für die Beschleunigungen in den Zentren dieser Bälle
 = k \cdot \left( {r_0 - r_i } \right) \ne 0)
gilt, setzt Du sie dort ebenfalls auf Null und freust Dich, dass die so definierten Beschleunigungsfelder
 = k \cdot \left( {r_i - r} \right)
<br />
)
im Widerspruch zueinander stehen. Dieser Widerspruch resultiert aber nicht aus irgendwelchen Symmetriebrüchen, undefinierten Termen und was Du sonst noch alles in die Runde wirfst, sondern allein aus Deinen widersprüchlichen Festlegungen. Das Problem löst sich in Luft auf, wenn Du konsequent bei einer Festlegung bleibst und z.B. die Beschleunigungen des ersten Balles zu denen aller anderen addierst. Das führt zu
 = a'_i \left( r \right) + a_0 \left( {r_i } \right) = a_0 \left( r \right)
<br />
)
und schon passt alles zusammen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | D.h. die Berechnung der Integrale für die Beschleunigungen verschiedener Beobachter stimmen dann nicht überein, wenn unterschiedliche Beobachter unterschiedliche Bälle wählen. |
Auch das ist falsch. Ich habe gezeigt, dass ich die Integrale durch eine einfache Substitution ineinander überführen kann.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Letztlich ist dies Ausdruck der Tatsache, dass bekanntermaßen – s.o. Einstein et al. – ein statisches Universum mit räumlich und zeitlich konstanter Massendichte im Rahmen der Newtonschen Mechanik inkonsistent ist. |
Da mein Ergebnis nicht statisch ist, geht das am Thema vorbei.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 26. Jul 2023 18:04 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe Dir oben erklärt, worin Dein Fehler besteht und Du machst ihn hier wieder: Du legst fest, dass die Zentren der beiden Bälle unbeschleunigt sind. Wenn das keine Wahl eines Bezugssystems räpresentieren soll, dann ist das nicht nur willkürlich, sondern sogar falsch. Die Berechnung mit einem der Bälle zeigt, dass nur ein einziger Punkt nicht beschleunigt ist. Damit darfst Du keinen anderen Punkt als unbeschleunigt annehmen. |
Das ist doch Quatsch.
Ich muss Integrale ausrechnen, das ist reine Mathematik. Wer bitte sagt mir vor der Berechnung eines Integrals (das ich dann als Kraftfeld interpretiere), dass später daraus etwas resultieren wird (das ich als Beschleunigung interpretiere) was ich jedoch schon vorher berücksichtigen muss?
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | … dann musst Du die Beschleunigungen im Zentrum der jeweiligen Bälle so wählen, dass alle Beschleunigungen aller Bälle konsistent sind … |
Zeig mir bitte ein Buch zu Greenschen Funktionen, wo das so vorgeführt wird.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem löst sich in Luft auf, wenn … |
… man das gewünschte Ergebnis kennt und an der Herleitung solange rumfummelt, bis es da steht.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Da mein Ergebnis nicht statisch ist, geht das am Thema vorbei. |
Es geht nicht um dein Ergebnis, sondern um die Problemstellung einer unendlichen ausgedehnten Massenverteilung. Dass diese sich als nicht-statisch erweisen wird, weiß man zu Beginn nicht. Die o.g. Regularisierung der Integrale kann keine Dynamik der Masseverteilung voraussetzen, die zum Zeitpunkt der Integration noch unbekannt ist.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 26. Jul 2023 20:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich muss Integrale ausrechnen, das ist reine Mathematik. |
Du reitest selbst die ganze Zeit darauf herum, dass dieses Integral keinen definierten Wert liefert. Wie kommt es, dass Du jetzt plötzlich doch einen erwartest? Immer so, wie es Dir gerade passt? Wenn Du der Meinung bist, dass die Integration reicht, dann rechne doch mal vor, wie Du zu diesem Ergebnis kommst:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine Beobachterschar X1, Y1 … die Ball B1 gewählt hat, fällt auf das Zentrum von B1 zu (und stimmt untereinander bzgl. deiner Gezeitenkräfte überein). Eine Beobachterschar X2, Y2 … die Ball B2 gewählt hat, fällt auf dessen Zentrum zu |
ohne die Beschleunigungen in den Zentren willkürlich auf Null zu setzen. Und wenn Du sie auf Null setzt, dann erkläre nachvollziehbar warum.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wer bitte sagt mir vor der Berechnung eines Integrals (das ich dann als Kraftfeld interpretiere), dass später daraus etwas resultieren wird (das ich als Beschleunigung interpretiere) was ich jedoch schon vorher berücksichtigen muss? |
Wieso unbedingt vorher? Das kannst Du auch danach machen. Beim ersten Mal hast Du noch die freie Wahl, aber wenn Du Dich irgendwo auf einen Wert festgelegt hast, dann muss Du dabei bleiben oder es kommt genau der Unsinn raus, den Du oben als Argument verkaufen willst.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | … dann musst Du die Beschleunigungen im Zentrum der jeweiligen Bälle so wählen, dass alle Beschleunigungen aller Bälle konsistent sind … |
Zeig mir bitte ein Buch zu Greenschen Funktionen, wo das so vorgeführt wird. |
Wozu brauchst Du da ein Buch? Wir reden über das Beschleunigungsfeld derselben (!) Masseverteilung. Das kann am selben Ort zur selben Zeit nicht zwei verschiedene Werte annehmen. Wie kann es sein, dass wir darüber diskutieren müssen?! Das ist trivial! Wenn Du dagegen verstößt, dann liegt das Problem allein bei Dir.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Es geht nicht um dein Ergebnis, sondern um die Problemstellung einer unendlichen ausgedehnten Massenverteilung. Dass diese sich als nicht-statisch erweisen wird, weiß man zu Beginn nicht. Die o.g. Regularisierung der Integrale kann keine Dynamik der Masseverteilung voraussetzen, die zum Zeitpunkt der Integration noch unbekannt ist. |
Und wo ist jetzt das Probem? Ich starte mit einer unendlichen ausgedehnten Massenverteilung. Ich weiß zu Beginn nicht, dass sie sich als nicht-statisch erweisen wird. Außer Homogenität und Isotropie in den Startbedingungen setze ich keine Dynamik voraus. Am Ende zeigt sich, dass das Universum immer homogen und isotrop bleibt und nicht statisch sein kann. Damit ist doch alles in bester Ordnung. Was versuchst Du mir zu sagen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 26. Jul 2023 20:52 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Wozu brauchst Du da ein Buch? Wir reden über das Beschleunigungsfeld derselben (!) Masseverteilung. Das kann am selben Ort zur selben Zeit nicht zwei verschiedene Werte annehmen. Wie kann es sein, dass wir darüber diskutieren müssen?! Das ist trivial! Wenn Du dagegen verstößt, dann liegt das Problem allein bei Dir. |
Nein, das Problem liegt in der Problemstellung. Ich kann nichts dafür, wenn du das nicht siehst.
Ich kann aber nochmal einen Versuch starten, wenn du möchtest.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Und wo ist jetzt das Problem? Ich starte mit einer unendlichen ausgedehnten Massenverteilung … Was versuchst Du mir zu sagen? |
Dass die mathematischen Ausdrücke, mit denen du startest, genau deswegen nicht definiert sind.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 26. Jul 2023 21:36 Titel: |
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Ich muss hier mal eine Frage stellen.
1. Ausgangspunkt für den Vorschlag von DrStupid war der Beitrag von Fritzi123.
| Fritzi123 hat Folgendes geschrieben: | Ein ebenfalls intuitives Modell entsteht (neben der allg. Voraussetzung) durch Folgendes: Man definiert einen festen Abstand  und ein festes Zeitintervall  ... |
2. Daraufhin der Vorschlag von DrStupid.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Ich würde intuitiv annehmen, dass sich alle Punkte im freien Fall befinden. Um auszurechnen, was das bedeutet, brauche ich die Gezeitenkraft der unendlichen homogenen Masseverteilung. |
Bei 1. basiert das Modell auf eine Länge, die sich mit jedem Zeitintervall um d + c aufsummiert?
Bei 2. basiert das Modell auf die Masseverteilung, dessen Gravitation im unendlichen gegen 0 geht, die Masse im (unendlich kleinen?) Punkt bei x=0 aber unendlich groß ist?
Bei 1. spielt der Ursprung keine Rolle, weil die (unendlich?) kleinste Einheit eine Länge zwischen 2 Punkte ist?
Bei 2. ist der Ursprung bzw. die unendlich Große Masse im unendlich kleinen Punkt bei x=0 das Problem?
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 26. Jul 2023 22:39 Titel: |
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Ich hab momentan keine Zeit. Hier ein Link zum Birkhoff-Theorem und seiner Bedeutung in der Kosmologie:
http://arxiv.org/pdf/1304.3253v1.pdf
Außerdem, wegen des Symmetriebruchs: Wenn man einen Punkt zum Zentrum wählt und von dort aus die Entfernungen mitbewegter Teilchen misst, dann ist dieser Punkt natürlich trivialerweise ausgezeichnet. Das Universum ist dann kugelsymmetrisch um diesen Punkt. Das Entscheidende ist, dass es eine einfache Trafo gibt, mit der du jeden anderen Punkt zum Zentrum machen kannst, so dass das Universum kugelsymmetrisch um diesen Punkt ist. Ein Universum, das kugelsymmetrisch um jeden Punkt ist, ist auch homogen und isotrop. Das ist keine Hexerei, sondern eine Koordinatentrafo.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 26. Jul 2023 23:11 Titel: |
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@DrStupid - nochmal meine Überlegung auf den Punkt gebracht:
Gegeben ist eine homogene und isotrope Massenverteilung, die ein Gravitationspotential bzw. -feld erzeuge. Die zur Berechnung notwendigen Integrale (über Greensche Funktionen) sind uneigentliche Riemannsche Integrale, die regularisiert werden müssen.
Bzgl. eines willkürlich gewählten Punktes a verwendet man
Nun gilt:
1) Die Regularisierung ist zwingend notwendig, denn gerade so sind die uneigentlichen Integrale definiert.
2) Die Regularisierung bricht explizit die Translationsinvarianz durch Einführung der Regularisierung um den Punkt a (das ist keine Wahl eines Koordinatensystems sondern die Auszeichnung eines Punktes)
3) Da das ursprüngliche Problem jedoch homogen und isotrop ist, muss im Endergebnis die Translationsinvarianz restauriert werden, d.h. insbs. muss die a-Abhängigkeit verschwindenden:
Letzteres kann man jedoch für die Newtonsche Gravitationsbeschleunigung nicht zeigen, d.h. es existiert kein eindeutiges Gravitationsfeld.
Nochmal zur Lösung Einsteins et al.: Lösungen in einem homogenen und isotropen Universum müssen diese Symmetrie respektieren. Die Poisson-Gleichung für konstante Massendichte
leistet dies mit der üblichen Regularisierung (s.o.) nicht, da für die Integralausdrücke für Potential und Feld
gilt, d.h. die Regulatorabhängigkeit verschwindet nicht; dies kann durch Koordinatentransformation nicht behoben werden, da a und b zwei unterschiedliche Regulatoren im selben Koordinatensystem definieren.
Die Poisson-Gleichung mit Abschirmung = die inhomogene Helmholtz-Gleichung mit konstanter Massendichte
 \, \phi = \rho_0)
erfüllt diese Forderung. Diese wurde bereits vor Einstein betrachtet, um das Problem einer homogenen und statischen Masseverteilung in der Newtonschen Gravitationstheorie zu definieren und zu lösen.
Man erkennt jedoch, dass der Grenzfall
ohne Abschirmung nicht existiert.
Nochmal zum eindimensionalen Problem: Hier erkennt man die Abhängigkeit von einem ausgezeichneten Punkt a auch ohne Notwendigkeit einer Regularisierung:
 = \frac{\rho_0}{2}(x - a)^2 + \phi_0)
Dies führt in einem eindimensionalen Universum mit homogener Massendichte zu Schwingungen von Testkörpern
 = A \, \cos(\omega t - \delta))
um einen Punkt.
Nun zur Frage, was dies physikalisch bedeutet. Eine Koordinatentransformation
überführt Lösungen in Lösungen, in diesem Sinne ist die Translationsinvarianz als Koordinatentransformation gegeben.
Aber die Translationsinvarianz ist je Lösung explizit gebrochen. Dies hat beobachtbare Konsequenzen: man betrachte eine Schar von Lösungen d.h. Beobachtern n=1,2…, die sich auf a=0 geeinigt haben:
 = A_n \, \cos(\omega t - \delta_n))
Durch wechselseitige Messung von Abständen
 = x_m(t) - x_n(t) )
können die Beobachter (auch unter der Annahme, dass sie kräftefrei fallen und keine weiteren Beobachtungsdaten verfügbar sind) feststellen, dass sie zu einer Schar mit diesen Oszillationen gehören (so wie Beobachter auf Keplerorbits um ein schwarzes Loch durch wechselseitige Beobachtung die Position desselben bestimmten können).
Insofern zeichnet diese Schar von Lösungen einen Punkt aus (keine Koordinate; s.o.), d.h. die Translationsinvarianz ist auch für diese Schar von Lösungen gebrochen.
Zum Vergleich die Keplerorbits:
Bei Keplerorbits ist die Translationsinvarianz durch Einführung der Zentralmasse explizit gebrochen; dies überträgt sich auf Scharen von Keplerorbits, wobei Beobachter die Zentralmasse indirekt lokalisieren können.
Im hier vorliegenden Fall ist die Translationsinvarianz durch aufgrund einer homogenen Massendichte nicht gebrochen; dennoch bricht die Schar der Lösungen die Translationsinvarianz durch Auszeichnung eines Punktes, den die Beobachter indirekt lokalisieren können.
Ich halte diese Situation in der Newtonschen Mechanik für unphysikalisch – egal ob in ein oder in drei Dimensionen, und damit unabhängig von der rein technischen Frage der Regularisierung.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Jul 2023 08:35, insgesamt 11-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 26. Jul 2023 23:21 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man einen Punkt zum Zentrum wählt und von dort aus die Entfernungen mitbewegter Teilchen misst, dann ist dieser Punkt natürlich trivialerweise ausgezeichnet. |
Es geht nicht um mitbewegte Teilchen.
| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Das Universum ist dann kugelsymmetrisch um diesen Punkt. |
Es geht nicht um Kugelsymmetrie um diesen Punkt, sondern um den Bruch der Translationsinvarianz. Z.B. ist in der FRW-Metrik das Universum kugelsymmetrisch um jeden Punkt, die FRW-Metrik bricht die Translationsinvarianz nicht.
| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Das Entscheidende ist, dass es eine einfache Trafo gibt, mit der du jeden anderen Punkt zum Zentrum machen kannst, so dass das Universum kugelsymmetrisch um diesen Punkt ist. |
Das gilt im vorliegenden Fall für die homogene und isotrope Massendichte, und muss daher auch für physikalische Lösungen gelten, wird jedoch für gewisse Ausdrücke explizit verletzt. Zumindest verstehe ich die Literatur so, und erhalte dies explizit mittels der genannten Integrale.
| Ich hat Folgendes geschrieben: | | … kugelsymmetrisch um jeden Punkt ist, ist auch homogen und isotrop. Das ist keine Hexerei, sondern eine Koordinatentrafo. |
Und letztere geht mangels Integrierbarkeit für einige Ausdrücke nicht durch.
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2023 02:49 Titel: |
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Ich kann bei zwei Punkten:
a) Jeden Punkt einzeln als Mittelpunkt einer unendlichen Kugel betrachten => keine Kraft. TomS hat recht.
b) Um beide Punkte gemeinsam eine Kugel freischneiden, dann sind sie schwerelos, dann wieder auffüllen und sie ziehen sich an entsprechend der Masse dazwischen. DrStupid hat recht.
Paradoxien des Unendlichen eben.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2023 06:41 Titel: |
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Ich glaube, du verwendest in deiner Argumentation das Schalentheorem; das darfst du nicht.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2023 08:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube, du verwendest in deiner Argumentation das Schalentheorem; das darfst du nicht. |
Warum? Die zwei Punkte sind schwerelos. Es sind unendlich viele konzentrische Schalen um den Hohlraum.
| Beschreibung: |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2023 08:40 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube, du verwendest in deiner Argumentation das Schalentheorem; das darfst du nicht. |
Warum? Die zwei Punkte sind schwerelos. Es sind unendlich viele konzentrische Schalen um den Hohlraum. |
Das habe ich oben erklärt. Die unendliche homogene Massenverteilung bedeutet, dass der Beweis für das Schalentheorem nicht durchgeht. Betrachtet man dagegen ehrliche kugelsymmetrische Massenverteilungen, bleiben ausgezeichnete Punkte, deren Effekte auch im Grenzfall unendlicher Masseverteilung nicht verschwinden.
Schau dir mein einfaches eindimensionales Beispiel an.
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2023 08:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die unendliche homogene Massenverteilung bedeutet, dass der Beweis für das Schalentheorem nicht durchgeht. |
Jede einzelne Kugelschale liefert nix für den Innenraum. Ich addiere unendlich oft nix. Gibt wieder nix.
| Zitat: | | Schau dir mein einfaches eindimensionales Beispiel an. |
Da hast Du selber ein parabolisches Potential errechnet und widerlegst Dich selbst.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2023 08:53 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die unendliche homogene Massenverteilung bedeutet, dass der Beweis für das Schalentheorem nicht durchgeht. |
Jede einzelne Kugelschale liefert nix für den Innenraum. Ich addiere unendlich oft nix. Gibt wieder nix. |
Das ist die einfache Erklärung. Der mathematische Beweis funktioniert trotzdem nicht.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Schau dir mein einfaches eindimensionales Beispiel an. |
Da hast Du selber ein parabolisches Potential errechnet und widerlegst Dich selbst. |
Nein.
1) die Lösung der Differentialgleichung funktioniert, aber
2) ich verwende weder Greensche Funktionen noch Schalentheorem
3) ich bezweifle nicht die mathematische Konsistenz sondern die physikalische Sinnhaftigkeit der Brechung der Translationsinvarianz in einem homogenen Universum
Das Beispiel dient dazu, (3) herauszuarbeiten, ohne sich mit den technischen Fragestellungen (2) herumärgern zu müssen.
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2023 09:21 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die unendliche homogene Massenverteilung bedeutet, dass der Beweis für das Schalentheorem nicht durchgeht. |
Jede einzelne Kugelschale liefert nix für den Innenraum. Ich addiere unendlich oft nix. Gibt wieder nix. |
Das ist die einfache Erklärung. Der mathematische Beweis funktioniert trotzdem nicht. |
Klar funktioniert das. Ich betrachte ein Kugel mit Radius R und einem Hohlraum. Der Hohlraum ist schwerefrei, das willst Du hoffentlich nicht bezweifeln.
Dann lasse ich R gegen unendlich gehen. Was ist nochmal der Grenzwert der Folge 0;0;0;0;0;0;0; ... ?
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2023 13:18 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die unendliche homogene Massenverteilung bedeutet, dass der Beweis für das Schalentheorem nicht durchgeht. |
Jede einzelne Kugelschale liefert nix für den Innenraum. Ich addiere unendlich oft nix. Gibt wieder nix. |
Das ist die einfache Erklärung. Der mathematische Beweis funktioniert trotzdem nicht. |
Klar funktioniert das. Ich betrachte ein Kugel mit Radius R und einem Hohlraum. Der Hohlraum ist schwerefrei, das willst Du hoffentlich nicht bezweifeln.
Dann lasse ich R gegen unendlich gehen. Was ist nochmal der Grenzwert der Folge 0;0;0;0;0;0;0; ... ? |
Das ist nicht der Punkt.
Ausgangspunkt für die ganze Diskussion war eine eindeutige Lösung der partielle Differentialgleichung
und das funktioniert für eine unendlich ausgedehnte, homogene Materieverteilung nicht. Es gibt also zunächst keine eindeutige und vernünftige Lösung für das Potential und die Kraft (und damit hängt auch das Schalentheorem in der Luft, aber das ist gar nicht der zentrale Punkt; hat auch DrStupid geschrieben).
Wie oben gesagt war das schon Ende des 19. Jh. bekannt.
Man findet auch einiges an Literatur:
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/papers/Paradox_II.pdf
https://arxiv.org/pdf/1604.03441.pdf
Zu deiner Argumentation in einer Dimension - da bricht sie nämlich ebenfalls zusammen:
Die DGL
hat als Lösung eine Parabel, daraus folgt eine lineare Kraft, es liegt also ein harmonischer Oszillator vor.
1) Ein Beobachter befinde sich bei x=a und argumentiert wie folgt: Rechts und links von mir befinden sich gleich viele symmetrisch verteilte identische Massenstücke, also ist die auf mich wirkende Gesamtkraft Null. Ein zweiter Beobachter bei x=b argumentiert identisch, daraus folgt letztlich eine überall identisch verschwindende Kraft.
 = F_b(x) = \ldots = 0)
Dies ist aber mit der Lösung der Differentialgleichung und der daraus resultierenden Kraft
 )
unverträglich, wenn der quadratische Term nicht verschwindet. Anders gesagt, die einzige konsistente Lösung ist für verschwindende Kraft
wäre eine konstante Funktion
2) Das ist nicht in unserem Sinne, wir erwarten nicht-verschwindende Massendichte, dann müssen wir jedoch damit leben, dass i) die Translationsinvarianz gebrochen ist, und ii) es immer Punkte gibt, in denen die Kraft nicht verschwindet.
Das ist mathematisch völlig in Ordnung, erscheint uns jedoch physikalisch sinnlos.
Und nein, man bekommt das mit keiner Koordinatentransformation los. Es gibt immer ein ausgezeichnetes x=a, in dem die Kraft verschwindet, in allen anderen x verschwindet sie nicht. Dieses x=a bricht die Translationsinvarianz; man kann sich aussuchen, wie man sie bricht, aber man bricht sie.
3) Im Weiteren ist die Argumentation für das Schalentheorems unabhängig von der o.g. DGL unzulässig, da sie auf einer bedingt konvergenten Summe über Einzelkräften beruht, also
Du ordnest speziell so, dass
 = 0)
Allgemein besagt jedoch der Riemannsche Umordnungssatz: Ist eine unendliche Reihe reeller Zahlen bedingt konvergent ist, so können ihre Terme so umgeordnet werden, dass die neue Reihe gegen eine beliebige reelle Zahl konvergiert oder divergiert.
Jeder Beobachter könnte symmetrisch bzgl. seines x=a ordnen und jeweils für sich verschwindende Kraft reklamieren, während für alle anderen nicht verschwindende Kraft gilt.
Vereinfacht: Die Reihe kann jeden beliebigen Wert annehmen - insbs. den, den du gerade benötigst. Das ist also alles sinn- und wertlos und gehört auf den Müll.
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz
Ich denke, an der Mathematik gibt es nichts auszusetzen. Man kann allenfalls diskutieren, was das physikalisch bedeuten soll.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2023 16:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Vereinfacht: Die Reihe kann jeden beliebigen Wert annehmen - insbs. den, den du gerade benötigst. Das ist also alles sinn- und wertlos und gehört auf den Müll. |
Schon klar, ich habe ja versucht Dir recht zu geben, indem ich versucht habe, Dich zu widerlegen.
Es kann eben irgendein Ergebnis konstruiert werden, da Teilintegrale divergieren.
Aber zum Glück gibt es ja die ART, bei der fast das ganze Universum hinter dem Horizont verschwindet. Bleibt nur noch die Frage, ob die Galaxien hinter dem Horizont noch gravitativ auf das beobachtbare Universum wirken. Das verstehe ich nicht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18147
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2023 16:17 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Vereinfacht: Die Reihe kann jeden beliebigen Wert annehmen - insbs. den, den du gerade benötigst. Das ist also alles sinn- und wertlos und gehört auf den Müll. |
Schon klar, ich habe ja versucht Dir recht zu geben, indem ich versucht habe, Dich zu widerlegen. |
Interessanter Trick, ich hab's nicht kapiert. Sorry ;-)
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Aber zum Glück gibt es ja die ART, bei der fast das ganze Universum hinter dem Horizont verschwindet. Bleibt nur noch die Frage, ob die Galaxien hinter dem Horizont noch gravitativ auf das beobachtbare Universum wirken. Das verstehe ich nicht. |
In der ART ist das ganz einfach: Die Lösungen (FRW) zu konstanter Dichte sind homogen und isotrop. Auch für die Orbits von Beobachtern gibt es keine ausgezeichneten Punkte oder Richtungen.
Die Poisson-Gleichung für die Newtonsche Theorie sagt "es geht irgendwie nicht vernünftig". Ignoriert man das, kann man - siehe DrStupid oben - einigermaßen vernünftig Physik betreiben, muss aber immer um einige Problpeme herumlavieren.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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