RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Gekoppelte Schwingung
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik
Autor Nachricht
PILOM



Anmeldungsdatum: 11.12.2022
Beiträge: 8

Beitrag PILOM Verfasst am: 25. Mai 2023 15:34    Titel: Gekoppelte Schwingung Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Ein ebenes mathematisches Pendel (Länge L) mit Masse m ist im homogenen Schwerefeld der Erde an einer Masse M aufgehängt und schwingt in der x-y?Ebene. Die Bewegung der Masse M, die durch eine Feder (Federkonstante k) mit der Wand verbunden ist, sei auf die x-Achse beschränkt.
a) Wählen Sie geeignete generalisierte Koordinaten und bestimmen Sie die Lagrange-Funktion.
b) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen mithilfe der Lagrange-Gleichungen zweiter Art.
c) Bestimmen Sie die Eigenschwingungen des Systems unter der Annahme kleiner Auslenkung p <<1 mit k = 4mg/L und M = 3m.
Die a) und b) konnte ich lösen, aber bei der c) habe ich Probleme

Meine Ideen:
Ich habe als Koordinaten die Auslenkung der Masse M und den Winkel p gewählt. Damit komme ich dann nach anwenden der Angaben von c) auf die Bewegungsgleichungen:


Um jetzt aber die Eigenschwingungen zu finden müsste ich diese ja lösen und ich habe leider keine Ahnung wie ich da ansetzten soll oder ob das überhaupt möglich ist.
Ich freue mich über jede Hilfe smile



DF5A667D-CAF3-4F42-A9CF-98892029CF77.jpeg
 Beschreibung:
Das ist der zu betrachtende Aufbau.

Download
 Dateiname:  DF5A667D-CAF3-4F42-A9CF-98892029CF77.jpeg
 Dateigröße:  48.3 KB
 Heruntergeladen:  83 mal

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5942

Beitrag Myon Verfasst am: 25. Mai 2023 19:30    Titel: Antworten mit Zitat

Kannst Du mal die Lagrangefunktion angeben, die Du bei a) erhalten hast? Die Bewegungsgleichungen können noch nicht richtig sein, alleine schon dimensionsmässig.
Die Bewegungsgleichungen sollte man dann auf ein Gleichungssystem der Form



bringen können. Dann die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A bestimmen. Die Eigenschwingungen sind von der Form



wobei lambda1, lambda2 die Eigenwerte und v1, v2 Eigenvektoren sind.
PILOM



Anmeldungsdatum: 11.12.2022
Beiträge: 8

Beitrag PILOM Verfasst am: 25. Mai 2023 19:58    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist meine Lagrange Funktion und die resultierenden Bewegungsgleichungen. Ich hab mal meinen ganzen Rechenweg dazu geschickt, vielleicht findest du da einen Fehler. Ich hab vielleicht schon einen Tunnelblick und übersehe etwas.
MfG Eric



514EBB7D-053A-45B0-BCEB-44838DFF2E3A.jpeg
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  514EBB7D-053A-45B0-BCEB-44838DFF2E3A.jpeg
 Dateigröße:  420.41 KB
 Heruntergeladen:  86 mal

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5942

Beitrag Myon Verfasst am: 25. Mai 2023 21:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, die Lagrange-Funktion ist grundsätzlich schon richtig, meine aber, dass man sie für kleine Winkel phi einfacher schreiben kann (bin allerdings nicht 100% sicher!):



Sonst treten in den Bewegungsgleichungen erste Ableitungen nach der Zeit auf.

Mit dieser Lagrange-Funktion ergeben sich Bewegungsgleichungen etwa wie folgt (mit sin(phi)=phi)





Mit nochmals etwas Umformen ergibt sich ein Gleichungssystem etwa wie





und man erhält die Form



Achtung, in den obigen Gleichungen sind fast sicher noch irgendwelche Fehler.
PILOM



Anmeldungsdatum: 11.12.2022
Beiträge: 8

Beitrag PILOM Verfasst am: 25. Mai 2023 21:36    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank, ich sehe meinen Fehler. Ich habe die Näherung für sehr kleine phi erst auf die Bewegungsgleichungen angewandt und nicht schon auf die Lagrange Funktion. Dadurch hatte ich dann durch die Produktregel Terme drin die das DGL System kaputt/kompliziert gemacht haben.
Eine Frage hätte ich noch, darf ich den mit 1 für kleine phi nähern oder geht das nicht?
MfG Eric
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5942

Beitrag Myon Verfasst am: 26. Mai 2023 09:03    Titel: Antworten mit Zitat

PILOM hat Folgendes geschrieben:
Eine Frage hätte ich noch, darf ich den mit 1 für kleine phi nähern oder geht das nicht?

Im Term m*L*cos(phi) in der Lagrange-Funktion, der potentiellen Energie, nicht, sonst wäre er ja konstant und fiele weg. Man könnte allenfalls die Näherung cos(phi)=1-phi^2/2 verwenden, was auf dasselbe führt, wie wenn man später sin(phi)=phi benutzt.

In der kinetischen Energie aber schon. Für die kinetische Energie der Masse m gilt





Man kann deshalb für die gesamte kinetische Energie schreiben

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5942

Beitrag Myon Verfasst am: 27. Mai 2023 09:11    Titel: Antworten mit Zitat

@PILOM: Falls Du Teil c) noch gelöst hast, mich würde interessieren, was Du erhalten hast. Oder auch, wenn Du noch eine Musterlösung erhältst.
PILOM



Anmeldungsdatum: 11.12.2022
Beiträge: 8

Beitrag PILOM Verfasst am: 27. Mai 2023 14:48    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
@PILOM: Falls Du Teil c) noch gelöst hast, mich würde interessieren, was Du erhalten hast. Oder auch, wenn Du noch eine Musterlösung erhältst.

Das ist jetzt meine finale Lösung. Die Eigenschwingungen sehen nicht zu unrealistisch aus, allerdings musste ich die Vorzeichen in meiner matrix umdrehen, um auf positive Eigenwerte zu komme, da bin ich mir nicht sicher ob das so erlaubt ist. Eine Musterlösung sollte ich im laufe der Woche auch noch bekommen, die kann ich dann gerne hier posten.



bungen PTP2c.zip
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  bungen PTP2c.zip
 Dateigröße:  1017.11 KB
 Heruntergeladen:  189 mal

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5942

Beitrag Myon Verfasst am: 27. Mai 2023 15:57    Titel: Antworten mit Zitat

Nur kurz: danke, das freut mich, denn ich erhielt die gleichen Eigenfrequenzen ;-).



Ich dachte ebenfalls, dass die Werte vernünftig aussehen, aber war mir nach der Rechnerei doch unsicher. Dass die Eigenwerte negativ sind, ist m.M.n. richtig, denn dann ergeben sich harmonische Schwingungen. Das Argument in der Exponentialfunktion wird imaginär, z.B.:

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5942

Beitrag Myon Verfasst am: 27. Mai 2023 16:33    Titel: Antworten mit Zitat

PS: Auch für die Eigenvektoren erhalte ich Gleiches. Damit es dimensionsmässig aufgeht, könnte man schreiben



Die Eigenschwingungen haben dann die Form



mit Konstanten A_i, theta_i.
PILOM



Anmeldungsdatum: 11.12.2022
Beiträge: 8

Beitrag PILOM Verfasst am: 28. Mai 2023 14:03    Titel: Antworten mit Zitat

@Myon, vielen Dank für die Hilfe, dann habe ich wohl doch nichts zu falsches gerechnet smile
Gruß Eric
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik