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Quantumdot
Gast
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 Quantumdot Verfasst am: 09. Apr 2023 15:32 Titel: Hoch- und runterziehen von Indizes |
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Ist die Gültigkeit des Satzes von Fischer Riesz notwendig, um das hoch und runterziehen von Indizes bei ko- und kontravarianten Tensoren zu rechtfertigen?
Als notwendige Voraussetzung braucht man ja mindestens ein Skalarprodukt, also einen Hilbertraum.
Ich definiere einen kontravarianten Vektor bzgl einer Basis 
und einen kovarianten Vektor bzgl der dualen Basis 
Dabei ist die duale Basis so definiert = \delta^\mu_\nu)
nach dem Satz von Riesz gibt es zu jedem kontravarianten Vektor w einen dualen Vektor  , so dass gilt
=<w|v>=w^\mu v^\nu <e_\mu, e_\nu>=w^\mu v^\nu g_{\mu\nu})
es ist aber ebenso
=w^{\mu}v_\nu)
Der Vergleich liefert dann
Dafür habe ich den Satz von Fischer Riesz benutzt. Heißt das ohne diesen Satz würde es rauf und runterziehen der Indizes nicht geben? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. Apr 2023 17:14 Titel: Re: Hoch- und runterziehen von Indizes |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: |
nach dem Satz von Riesz gibt es zu jedem kontravarianten Vektor w einen dualen Vektor , so dass gilt
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Das ist nicht der Satz von Riesz, sondern eine triviale Folge aus der Linearität (und Stetigkeit) des Skalarprodukts (in einem seiner Argumente). Der Satz von Riesz besagt, daß auch umgekehrt zu jeder stetigen Linearform auf einem Hilbertraum ein zugehöriger Vektor existiert, dessen Skalarprodukt mit jedem Vektor x den Wert der Linearform auf x ergibt.
Eine Folgerung aus diesem Satz ist, daß der Vektorraum zu seinem stetigen Dualraum kanonisch isomorph (oder anti-isomorph für komplexe Räume) ist. Dieser Isomorphismus ist die Operation, die hinter dem Rauf- und -runterziehen der Indizes steckt.
| Zitat: |
Dafür habe ich den Satz von Fischer Riesz benutzt. Heißt das ohne diesen Satz würde es rauf und runterziehen der Indizes nicht geben? |
Ohne inneres Produkt würde es nicht gehen. Mit innerem Produkt folgt der Satz von Riesz automatisch und damit auch die Existenz des besagten Isomorphismus  .
P.S. ich glaube übrigens du meinst den Satz von Fréchet-Riesz, nicht Fischer-Riesz.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 09. Apr 2023 23:12 Titel: |
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Was ist der Unterschied zwischen kanonisch isomorph und isomorph? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Apr 2023 10:17 Titel: |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | Was ist der Unterschied zwischen kanonisch isomorph und isomorph? |
Das bedeutet, daß der Isomorphismus auf der gesamten Kategorie der Vektorräume mit innerem Produkt derselbe ist und mit dem Funktor der Dualraumbildung kommutiert. (Siehe z.B. Canonical map für etwas allgemeinere Bemerkungen oder Natural transformation für eine präzisere Definition.)
Hier geht es aber in erster Linie um die Feststellung, daß sich hinter der Operation des Rauf- und Runterziehens von Indizes ein ganz bestimmter Isomorphismus verbirgt. Jeder endlichdimensionale Vektorraum ist nämlich isomorph zu seinem Dualraum, einfach weil beide dieselbe Dimension haben. Diese Tatsache hat aber noch nichts mit den Verschiebe-Operationen im Indexkalkül zu tun. Diese beziehen sich, wie du im Prinzip richtig vermutet hast, auf den Isomorphismus (w) = \langle w, v\rangle) . Er benötigt also ein inneres Produkt und ist deshalb nur auf euklidischen (oder semi-euklidischen) Vektorräumen definiert.
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 10. Apr 2023 23:48 Titel: |
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Ok das beantwortet meine Fragen. Ich danke dir. |
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