Mittlere quadratische Abweichung

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich verstehe die markierte Umformung im Bild nicht.

Es geht um die mittlere quadratische Abweichung der Observable A um deren Erwartungswert. Den markierten Schritt verstehe ich allerdings nicht, ebenso verstehe ich nicht, wie dann die Differenz eines Operators und einer Zahl (dem Erwartungswert) stehen kann. Die sind doch unter Subtraktion nicht verträglich.

Meine Ideen:
Der Rest sollte klar sein, im zweiten Schritt wird die Spektraldarstellung des Operators A verwendet, im 3. Schritt die Vollständigkeitsrelataion, um den Projektionsoperator auf den Eigenraum auszuklammern und im letzten Schritt wird die Klammer rausgezogen. Aber den ersten Schritt verstehe ich nicht, er egibt für mich allein von der Dimension schon keinen Sinn

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Das ist zunächst mal eine ganz einfache Folgerung für Erwartungswerte im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Es gilt zunächst

Nun kann man Zahlen bei der Erwartungswertbildung aus derselben herausziehen, d.h. für eine Zahl c und eine Observable A gilt

Zum Beispiel ist es egal, ob du einen Würfel mit 2, 4, 6, 8, 10, 12 beschriftest oder es bei der ursprünglichen Beschriftung belässt und zum geeigneten Zeitpunkt später mit zwei multiplizierst.

Für die Addition (und Subraktion) gilt dasselbe, d.h.

Wieder hilft das Beispiel mit einem Würfel, z.B mit der Beschriftung -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Im Rahmen der Quantenmechanik sollte die Multiplikation eines Operators mit einer Zahl eh klar sein. Für die Addition ist das definiert als

wobei der 1-Operator einfach jeden Zustand auf sich selbst abbildet. Das entspricht im Falle eines endlich-dimensionalen Vektorraumes gerade der Eins-Matrix.

Damit gilt weiter

wobei die bereits gebildeten Erwartungswerte wie die Zahlen c behandelt werden.

Du kannst dir exakt dasselbe auch mittels Matrizen in überlegen.

Die Dimension stellt auch kein Problem dar, da bra-ket auf Eins normiert ist (anders sieht's bei delta-Funktionen aus, aber treten noch andere Probleme auf)

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Hi TomS,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Jetzt habe ich es verstanden.