| Autor |
Nachricht |
BFX
Anmeldungsdatum: 13.09.2022
Beiträge: 1
|
 BFX Verfasst am: 13. Sep 2022 18:45 Titel: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
 |
|
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe mir folgende Frage gestellt:
Ein homogener Vollzylinder mit Masse M und Radius R dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit ? um die Zylinderachse. Nun wird dieser Zylinder auf den Boden abgesetzt, wo er ohne zu rutschen rollt. Wie schnell bewegt sich der Zylinder fort?
Meine Ideen:
Mit Energieerhaltung erhalte ich:
^{2}=\frac{3}{4} m R^{2} \omega_{2}^{2}
<br />
)
Somit
Und damit ist die Rollgeschwindigkeit bestimmt.
Für mich sieht es jetzt aus, als wäre das Drehmoment nicht erhalten. Wo ist hier mein Fehler? |
|
 |
BFxxx
Gast
|
| BFxxx Verfasst am: 13. Sep 2022 18:50 Titel: Korrektur |
|
|
|
Der Drehimpuls, nicht das Drehmoment |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
|
| Myon Verfasst am: 13. Sep 2022 20:25 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| BFX hat Folgendes geschrieben: | | Nun wird dieser Zylinder auf den Boden abgesetzt, wo er ohne zu rutschen rollt. |
Diese Annahme ist problematisch. Das würde bedeuten, dass der Zylinder instantan von 0 auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt, bei der er rollt.
Es muss eine Phase geben, während welcher der Zylinder gleitet. In dieser Zeit
-wird der Schwerpunkt durch die Reibungskraft beschleunigt
-wirkt durch die Reibungskraft ein Drehmoment auf den Zylinder, durch welches der Drehimpuls abnimmt
Diese Phase dauert, bis v=omega*r gilt.
Wenn v1 die Geschwindigkeit ist, bei welcher der Zylinder nach der Gleitphase rollt, gilt
Löst man das nach t auf und setzt wieder ein, erhalte ich (bitte aber nachrechnen)
Dabei wurde angenommen, dass I=1/2*m*r^2. Die kinetische Energie bleibt nicht erhalten, da während der Gleitphase Reibungsarbeit geleistet wird. |
|
|
BFxxxx
Gast
|
| BFxxxx Verfasst am: 13. Sep 2022 21:05 Titel: |
|
|
Super, danke!
Habe nachgerechnet, die Lösungen stimmen  |
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 15. Sep 2022 11:48 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Es muss eine Phase geben, während welcher der Zylinder gleitet. In dieser Zeit
-wird der Schwerpunkt durch die Reibungskraft beschleunigt
-wirkt durch die Reibungskraft ein Drehmoment auf den Zylinder, durch welches der Drehimpuls abnimmt
Diese Phase dauert, bis v=omega*r gilt.
Wenn v1 die Geschwindigkeit ist, bei welcher der Zylinder nach der Gleitphase rollt, gilt
Löst man das nach t auf und setzt wieder ein, erhalte ich (bitte aber nachrechnen)
Dabei wurde angenommen, dass I=1/2*m*r^2. Die kinetische Energie bleibt nicht erhalten, da während der Gleitphase Reibungsarbeit geleistet wird. |
Hallo Myon,
Mein Ansatz:
1. Drehimpuls
2. Energieerhaltung
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
|
| Myon Verfasst am: 18. Sep 2022 14:56 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | 1. Drehimpuls
|
Aus der Drehimpulsänderung erhalte ich
}{F_\mathrm{R}r})
Um nach omega1 aufzulösen, wird eine 2. Gleichung benötigt (bei gegebener Reibungskraft bzw. Reibungskoeffizient hat man ja 2 Unbekannte: t und omega1):
}{mr^2})
Für einen Vollzylinder mit homogener Dichte somit
Was die Reibungsarbeit betrifft: Für diese ist nicht der zurückgelegte Weg des Zylinders massgebend, sondern die Verschiebung zwischen den beiden Oberflächen, dem Zylinder und dem Boden:
r-v(t'))\,dt'=F_\mathrm{R}\frac{(\omega_0+\omega_1)r}{2}t-F_\mathrm{R}\frac{\omega_1}{2}rt=\frac{1}{3}I\omega_0^2)
Damit ist die Energieerhaltung erfüllt:
 |
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 19. Sep 2022 13:36 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Was die Reibungsarbeit betrifft: Für diese ist nicht der zurückgelegte Weg des Zylinders massgebend, sondern die Verschiebung zwischen den beiden Oberflächen, dem Zylinder und dem Boden:
|
Gehst Du von einer Relativbewegung zwischen Zylinder und Boden aus d.h. der Zylinder hat Schlupf bis  erreicht ist ? |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
|
| Myon Verfasst am: 19. Sep 2022 17:54 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Gehst Du von einer Relativbewegung zwischen Zylinder und Boden aus d.h. der Zylinder hat Schlupf bis erreicht ist ? |
Ja. Der Zylinder muss ja aus der Ruhe während einer gewissen Zeit beschleunigt werden, bis die Rollbedingung  erfüllt ist. |
|
|
Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
|
| Qubit Verfasst am: 19. Sep 2022 18:05 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| BFX hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe mir folgende Frage gestellt:
Ein homogener Vollzylinder mit Masse M und Radius R dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit ? um die Zylinderachse. Nun wird dieser Zylinder auf den Boden abgesetzt, wo er ohne zu rutschen rollt. Wie schnell bewegt sich der Zylinder fort?
Meine Ideen:
Mit Energieerhaltung erhalte ich:
^{2}=\frac{3}{4} m R^{2} \omega_{2}^{2})
Somit
Und damit ist die Rollgeschwindigkeit bestimmt.
Für mich sieht es jetzt aus, als wäre das Drehmoment nicht erhalten. Wo ist hier mein Fehler? |
Wenn ich jetzt nicht völlig schief liege, bleiben meines Erachtens Drehimpuls und Energie durchaus erhalten, wenn man nach Voraussetzung einen Schlupf ausschliesst. Die Reibungskraft stellt hier dann eine reine Zwangskraft dar und leistet weder Arbeit, noch bewirkt sie ein Drehmoment.
Man muss nur beachten, dass hier die instantane Drehachse nicht die Schwerpunktsachse, sondern die auf der Mantellinie ist. Und die Betrachtung der Erhaltungssätze bezieht sich auf dieselbe Drehachse.
Das Trägheitsmoment ist dann diesbezüglich:
Und Drehimpuls und Energie sind somit:
Die Geschwindigkeit ist mithin:
Im Laborsystem mit dieser Rollbedingung:
^2 + \frac{1}{2} \cdot \Big ( \frac{1}{2} \cdot M \cdot R^2 \Big ) \cdot \omega^2 = \frac{3}{4} \cdot M \cdot R^2 \cdot \omega^2)
 |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
|
| Myon Verfasst am: 19. Sep 2022 18:53 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich jetzt nicht völlig schief liege, bleiben meines Erachtens Drehimpuls und Energie durchaus erhalten, wenn man nach Voraussetzung einen Schlupf ausschliesst |
Der 1. Beitrag war hier nach meiner Auffassung unklar oder widersprüchlich. Wenn man Schlupf von Beginn weg ausschliesst, bedeutet das, dass der Zylinder mit der Geschwindigkeit v=omegar*r relativ zur Unterlage abgesetzt wird. Dann passiert nichts Spannendes und die Frage erübrigt sich, mit welcher Geschwindigkeit sich der Zylinder fortbewegt.
Ich ging davon aus, dass der Zylinder relativ zur Unterlage mit Geschwindigkeit null abgesetzt wird (Geschwindigkeitskomponente tangential zur Unterlage). Dann muss der Zylinder m.E. zuerst gleiten, da die Translationsbeschleunigung und Abbremsung der Rotation nicht instantan geschehen. Die Gleitphase kann bei hohem Reibungskoeffizient sehr kurz sein. Unabhängig davon aber verliert der Zylinder durch das Gleiten kinetische Energie. Unterstellt man eine konstante Reibungskraft, sollte die Winkelgeschwindigkeit auf einen Drittel abnehmen, bis der Zylinder rollt, unabhängig von der Grösse der Reibungskraft.
PS: Ich sehe gerade, dass ich nur wiederholt habe, was ich bereits weiter oben (3. Beitrag) geschrieben habe.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 19. Sep 2022 19:02, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
|
| Qubit Verfasst am: 19. Sep 2022 19:02 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich jetzt nicht völlig schief liege, bleiben meines Erachtens Drehimpuls und Energie durchaus erhalten, wenn man nach Voraussetzung einen Schlupf ausschliesst |
Der 1. Beitrag war hier nach meiner Auffassung unklar oder widersprüchlich. Wenn man Schlupf von Beginn weg ausschliesst, bedeutet das, dass der Zylinder mit der Geschwindigkeit v=omegar*r relativ zur Unterlage abgesetzt wird. Dann passiert nichts Spannendes und die Frage erübrigt sich, mit welcher Geschwindigkeit sich der Zylinder fortbewegt.
|
Nun ja, tatsächlich sehe ich diese Frage so "einfach" gestellt. Die Mantelfläche bewegt sich mit -v zur Unterlage und nach dem Absetzen bewegt sich dann der Zylinder mit v, ganz ohne Schlupf. Die Berechnung des Threaderstellers ist da freilich falsch. |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
|
| Myon Verfasst am: 19. Sep 2022 19:11 Titel: |
|
|
|
Wenn der Zylinder so stark haftet, dass er von Beginn weg nicht gleitet, dann muss es nach dem Absetzen zu (geringen) elastischen Verformungen des Zylinders oder der Unterlage bzw. deren Oberflächen kommen. Dann ist der Verlust an kinetischer Energie möglicherweise viel kleiner. |
|
|
Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
|
| Qubit Verfasst am: 19. Sep 2022 19:15 Titel: |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Wenn der Zylinder so stark haftet, dass er von Beginn weg nicht gleitet, dann muss es nach dem Absetzen zu (geringen) elastischen Verformungen des Zylinders oder der Unterlage bzw. deren Oberflächen kommen. Dann ist der Verlust an kinetischer Energie möglicherweise viel kleiner. |
Ja, wenn man ein realistisches Modell macht, dann ist das so (und auch noch mehr), aber das sind Modellannahmen.
Ich denke, dem Threadersteller geht es erstmal um ein idealisiertes Modell. |
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 19. Sep 2022 19:29 Titel: Re: Drehimpulserhaltung abgesetzter Zylinder |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Gehst Du von einer Relativbewegung zwischen Zylinder und Boden aus d.h. der Zylinder hat Schlupf bis erreicht ist ? |
Ja. Der Zylinder muss ja aus der Ruhe während einer gewissen Zeit beschleunigt werden, bis die Rollbedingung erfüllt ist. |
Lt. Aufgabenstellung soll der Zylinder nicht rutschen, also ohne Schlupf von
 auf beschleunigen. Ob das eine realistische Annahme ist, ist eine andere Frage. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
