Masse auf Schraubenbahn

vtxt1103 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 302

Meine Frage:
Hey leute,

ich komme mit folgender Aufgabe irgendwie überhaupt nicht klar:

Ein Massenpunkt (Masse m) bewegt sich auf einer entlang der z-Achse ausgerichteten Schraubenlinie mit Radius

und Gang höhe l,

In negative z-Richtung wirkt die Schwerkraft.
(a) Berechne die Metrik der Schraubenlinie mit

als generalisierter Koordinate.

(b) Benutze dieses Ergebnis zur Berechnung der kinetischen Energie.

(c) Berechne mit Hilfe des Energiesatzes die Trajektorie für den Fall, dass zur
Zeit t = 0 der Massenpunkt ruht.

(d) Berechne den zurückgelegten Weg, das heißt die Bogenlänge der Bahn des
Massenpunkts als Funktion von t, und vergleiche mit dem zurückgelegtem
Weg bei einem freien Fall
.
(e) l und

seien unbeobachtbar klein. Wie macht sich die Anwesenheit der
Schraubenlinie im Vergleich zum ?freien Fall? bemerkbar?
(f) Berechne die z-Komponente des Drehimpulses lz. Begründe, warum lz
nicht erhalten ist. Beschreibe qualitativ, was geschieht, wenn die Schraubenlinie frei drehbar aufgehängt ist

ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen

Ich bedanke mich schonmal

Meine Ideen:
Also meine Erste Idee wäre bei der a und b einfach die Metrik der Zylinderkoordinaten anzugeben und damit zu rechnen, da ich finde das man das gut als Zylinder nähern kann, aber ich bin mir auch da nicht sicher ob das so funktioniert, ich glaube eher nicht. Mich verwirrt halt wirklich der angegeben Term

, weswegen mir nicht so viel zu der Aufgabe gelungen ist

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Der Massenpunkt bewegt sich ja auf der Bahn

Mit der generalisierten Koordinate

ist der einzige "Basisvektor"

Der metrische Tensor ist also

Damit lässt sich auch die kinetische Energie einfach ausdrücken.

vtxt1103 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 302

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Erstens hast Du ja schnell geantwortet, und vor allem besteht weder Zwang oder Eile, überhaupt zu reagieren. Wahrscheinlich studierst Du ja auch "nebenbei".

Zu a) Ich denke, der metrische Tensor ist hier ein Skalar,

Bei c) habe ich praktisch das Gleiche. Ich habe ein negatives Vorzeichen, und ich glaube, beim letzten Integrieren ging ein Faktor 1/2 vergessen:

Bei d) kann m.E. etwas nicht ganz stimmen. Der Faktor alpha in Deiner Lösung müsste ja dimensionslos sein. Und für rho/l gegen null müsste der Weg gegen den freien Fall konvergieren:

Zu e) Wenn der Radius und die Ganghöhe "unbeobachtbar klein" werden, erhält man m.E. nicht die Trajektorie des freien Falls. Die vertikale Beschleunigung hängt ab vom Verhältnis

. Geht dieses Verhältnis gegen null, ergibt sich der freie Fall.

vtxt1103 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 302

Alles klar danke ich schau noch mal drüber, vielen Dank smile