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Erster Admiral
Anmeldungsdatum: 07.05.2021
Beiträge: 69
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 Erster Admiral Verfasst am: 15. Apr 2022 13:09 Titel: Quantisierung des Elektromagnetischen Felds |
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In meiner QFT-Vorlesung wird die kanonische Quantisierung des Elektromagnetischen Felds in der Weyl-Eichung durchgeführt ) .
Erklärt warum, wurde das nicht weiter und meine Nachfrage wurde mit "weil es in der Quantisierung der Mechanik auch so gemacht wird" beantwortet.
Ich habe die Antwort nicht wirklich verstanden und weitere Nachforschung hat gezeigt, dass die kanonische Quantisierung in anderen Lehrbüchern zum Beispiel auch in Coulomb-Eichung durchgeführt wird.
Spielt es denn Prinzipiell eine Rolle welche Eichung man zur kanonischen Quantisierung des E.M.-Felds wählt oder ist das völlig egal? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2022 13:13 Titel: |
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Prinzipiell ist es natürlich egal.
Die Weyl-Eichung hat den Vorteil, dass A_0 eleminiert wird, da die zeitliche Ableitung von A_0 in der klassischen Lagrange-Funktion nicht vorkommt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2022 13:34 Titel: |
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D.h. formal ist A_0 ein Lagrange-Multiplikator, kein dynamischer Freiheitsgrad, und sollte ohnehin eliminiert werden. Speziell aufgrund der Eichfreiheit kann A_0 sogar durch die Weyl-Eichung direkt eliminiert werden und muss dann nicht durch andere Freiheitsgrade ausgedrückt werden, wie sonst für einen Lagrange-Multiplikator üblich. Die mit diesem Lagrange-Multiplikator verbundene Zwangsbedingung - das Gaußsche Gesetz - muss weiterhin erfüllt sein.
Letztlich eliminierst du damit auf recht einfache Weise zwei unphysikalische Freiheitsgrade des Photonfeldes - durch die Weyl-Eichung A_0 und durch das Gaußsche Gesetz die longitudinale Polarisation - und behältst zwei physikalische Freiheitsgrade - die transversalen Polarisationen.
Speziell für die kanonische Quantisierung ist das der einfachste Weg; in andere Eichungen gehst du indirekter vor, erhältst aber letztlich die selben Ergebnisse.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Erster Admiral
Anmeldungsdatum: 07.05.2021
Beiträge: 69
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| Erster Admiral Verfasst am: 15. Apr 2022 14:56 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Prinzipiell ist es natürlich egal.
Die Weyl-Eichung hat den Vorteil, dass A_0 eleminiert wird, da die zeitliche Ableitung von A_0 in der klassischen Lagrange-Funktion nicht vorkommt. |
die klassische Lagrangefunktion des freien E.M-Felds ist doch vom Ausdruck her diesselbe wie die in der QFT. Warum muss dann A_0 extra eliminiert werden? |
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Erster Admiral
Anmeldungsdatum: 07.05.2021
Beiträge: 69
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| Erster Admiral Verfasst am: 15. Apr 2022 14:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Letztlich eliminierst du damit auf recht einfache Weise zwei unphysikalische Freiheitsgrade des Photonfeldes - durch die Weyl-Eichung A_0 und durch das Gaußsche Gesetz die longitudinale Polarisation - und behältst zwei physikalische Freiheitsgrade - die transversalen Polarisationen.
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kannst du das vielleicht noch etwas näher ausführen, wie durch das Gaußsche Gesetz die longitudinale Polarisation eliminiert wird? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2022 18:59 Titel: |
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| Erster Admiral hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Prinzipiell ist es natürlich egal.
Die Weyl-Eichung hat den Vorteil, dass A_0 eleminiert wird, da die zeitliche Ableitung von A_0 in der klassischen Lagrange-Funktion nicht vorkommt. |
die klassische Lagrangefunktion des freien E.M-Felds ist doch vom Ausdruck her diesselbe wie die in der QFT. Warum muss dann A_0 extra eliminiert werden? |
MUSS nicht, siehe Toms Antwort. Aber bei der kanonischen Quantisierung benötigt man ja den konjugierten Impuls, der üblicherweise proportional zu zeitlichen Ableitung der Variable ist. Dies ist jedoch ein Problem bei A_0, da die zeitliche Ableitung von A_0 nicht in der Lagrange-Funktion vorkommt. Tom beschreibt wie man damit umgehen kann, aber das eliminieren durch Eichung ist vermutlich die einfachste Lösung. Im Ergebnis kommt natürlich immer dasselbe raus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2022 23:40 Titel: |
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| Erster Admiral hat Folgendes geschrieben: | | … kannst du das vielleicht noch etwas näher ausführen, wie durch das Gaußsche Gesetz die longitudinale Polarisation eliminiert wird? |
Im Vakuum gilt
Für eine ebene Welle folgt
 = ika \, e^{ikx} = 0)
D.h.
und somit verschwindet die longitudinale Polarisation.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 16. Apr 2022 07:25, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2022 07:23 Titel: |
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| Erster Admiral hat Folgendes geschrieben: | | Warum muss dann A_0 extra eliminiert werden? |
Die lokale Eichsymmetrie zusammen mit dem Gaußschen Gesetz besagt, dass zwei der vier Freiheitsgrade des Eichfeldes unphysikalisch sind. Im Falle des Photonfeldes entspricht das der Tatsache, dass nur zwei Polarisationen existieren. Also müssen zwei Freiheitsgrade eliminiert werden.
In der kanonischen Quantisierung sind die dynamischen Freiheitsgrade gerade die Orte und die konjugierten Impulse. Zu A_0 existiert jedoch kein konjugierter Impuls, und damit ist A_0 kein dynamischer Freiheitsgrad.
Das zusammengenommen bedeutet, dass in der kanonischen Quantisierung A_0 eliminiert werden muss. Das erfolgt am einfachsten durch die Weyl-Eichung
Andererseits besagt die Eichsymmetrie ja gerade, dass (fast) beliebige Eichungen gewählt werden können. Z.B. in der Lorentz-Eichung wird A_0 nicht eliminiert, d.h. man behält diesen nach Sichtweise der kanonischen Quantisierung unphysikalischen Freiheitsgrad. Das wiederum bedeutet, dass der kanonische Formalismus modifiziert werden muss. Im Falle der Lorentz-Eichung resultiert dies in der Gupta-Bleuler-Quantisierung.
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Erster Admiral
Anmeldungsdatum: 07.05.2021
Beiträge: 69
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Erster Admiral
Anmeldungsdatum: 07.05.2021
Beiträge: 69
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| Erster Admiral Verfasst am: 01. Mai 2022 14:41 Titel: |
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nochmal eine zusätzliche Frage: in einigen Büchern wird die kanonische Quantisierung für die Zeit t=0 vorgenommen. Also:
,\psi(0,\vec{y})]=i\delta (\vec{x}-\vec{y})) .
Warum muss man hier die Zeit 0 setzen? Müssen die Zeiten gleich sein für diesen Kommutator?
Warum nicht:
,\psi(t,\vec{y})]=i\delta (\vec{x}-\vec{y}))
oder
,\psi(t',\vec{y})]=i\delta (\vec{x}-\vec{y}))
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 01. Mai 2022 17:14 Titel: |
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Für die Quantisierung müssen die Zeiten gleich aber natürlich nicht Null sein. Die Zeiten müssen gleich sein, weil es sich gerade um die Definition des kanonischen Formalismus handelt - bereits klassisch für die Poisson-Klammern.
Für verschiedene Zeiten erhältst du einen Ausdruck, den du mittels der Fockdarstellung der Feldoperatoren in der freien Theorie explizit berechnen kannst. Innerhalb des Lichtkegels resultiert eine Korrelationsfunktion, außerhalb des Lichtkegels muss das Ergebnis Null sein - auch in der wechselwirkenden Theorie - da andernfalls eine Verletzung der Kausalität möglich wäre.
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