Zweite Quantisierung, Normierungsfaktoren

KarlKaczynski · Anmeldungsdatum: 25.06.2017 Beiträge: 24

Hallo Leute, ich habe ein Frage zu den Normierungsfaktoren in der zweiten Quantisierung. Im Nolting finde ich beispielsweise bei der Wirkungsweise des Erzeugungsoperators auf Produktzustände:

In der Besetzungszahldarstellung, also bei Fock-Zuständen steht da jedoch für Bosonen:

Irgendwie widerspricht sich das in meinen Augen. Wenn ich in der ersten Gleichung ausgehend vom Vakuumzustand Zustände

bis

der Reihe nach besetze, ergibt sich als Vorfaktor

. Wenn ich das gleiche in der Besetzungszahldarstellung mache ergibt sich als Vorfaktor 1.

Was verstehe ich hier nicht richtig und wie kommt es überhaupt zu diesen Vorfaktoren?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Irgendwas ist da komplett faul.

In der ersten Gleichung muss rechts aus irgendeinem n ein n+1 werden; das fehlt.

In der zweiten Gleichung steht als ersten ein "N" im ket; aber dieses N bezeichnet üblicherweise für die Anzahl aller Teilchen. Außerdem wirkt der Operator wieder auf ein spezielles nu-r, aber daran ändert sich nichts.

und für jedes k gelten die Regeln des harmonischen Oszillators

Den von dir erwarteten Vorfaktor erhältst du, wenn du vom Vakuumzustand ausgehst

...

KarlKaczynski · Anmeldungsdatum: 25.06.2017 Beiträge: 24

Ich habe die erste Gleichung sinngemäß genau so aus dem Nolting entnommen. Da sind doch auch gar keine n bzw. Besetzungszahlen von einzelnen Zuständen, sondern der Produktzustand aus einzelnen Einteilchenzuständen. Durch den Erzeugungsoperator

wird den Einteilchenzuständen

bis

noch der Einteilchenzustand

hinzugefügt, wenn ich das richtig verstanden habe.

Angenommen ich würde also laut der ersten Gleichung den Zustand

erzeugen wollen, dann gilt:

Laut der zweiten Gleichung jedoch:

Beide Ausdrücke müssten doch aber die gleichen Zustände beschreiben oder täusche ich mich da?

Der Hauptpunkt ist, dass bei der ersten Gleichung mit den Produktzuständen im Normierungsfaktor die Gesamtteilchenzahl N auftaucht und bei der Besetzungszahldarstellung nur die Zahl der Teilchen in einem bestimmten Zustand eine Rolle spielt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

KarlKaczynski · Anmeldungsdatum: 25.06.2017 Beiträge: 24

Ich habe mal einen Screenshot angefügt. Im Nolting wird sogar gesagt, dass sich die Normierungsfaktoren unterscheiden. Meine Frage ist nur warum das sein kann, wenn doch die gleichen Mehrteilchen-Zustände nur in anderen Darstellungen ausgedrückt werden.

Zitat:
"Die bislang präsentierte Herleitung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und ihrer Wirkungsweisen ist gleichermaßen für diskrete (eigentliche) und kontinuierliche (uneigentliche) Ein-Teilchen-Basiszustände gültig. Im diskreten Fall sind allerdings die Fock-Zustände (8.83) der Besetzungsdarstellung aus Abschn. 8.2.5 ein weitaus üblicherer Ausgangspunkt als die allgemeinen (anti-)symmetrisierten Basiszustände
(8.75). Die entsprechende Ableitung läuft völlig analog zu der gerade besprochenen ab, jedoch unglücklicherweisemit etwas modifizierten Normierungsfaktoren."

Zu deiner Aussage: |4> würde soweit ich das verstanden habe bedeuten, dass ein Einteilchen-Zustand vierfach besetzt ist. |1111> würde aber bedeuten dass der erste, der zweite, der dritte und der vierte Einteilchenzustand (meinentwegen unterschiedliche Energieniveaus) einfach besetzt sind. Also es macht schon einen unterschied ob vier Teilchen alle einen Zustand besetzen oder 4 Teilchen jeweils einen anderen Zustand besetzen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Nennt der Nolting wenigstens einen anderen Autor, der das auch so macht?

Noch nie gesehen, n.E. völlig irrelevant.