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Alisa123
Gast
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 Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 12:08 Titel: 2nd Quantisierung: System von identischen Teilchen |
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Meine Frage:
Hi Leute,
ich muss ne Aufgabe zu zweiter Quantisierung machen. Zuerst soll man zeigen, dass bei einem System von wechselwirkenden identischen Teilchen die Energie und die Anzahl der Teilchen gleichzeitig gemessen werden kann.
Dazu hab ich einfach den Kommutator von H und N - Operator errechnet und gesehen, dass er fuer den bosonischen sowie fuer den fermionischen Fall Null ergibt.
Nun kommt aber noch eine Frage, ob es von Bedeutung ist ob die identischen Teilchen einen Spin haben oder nicht und ob es von Bedeutung ist ob sie Bosonen oder Fermionen sind.
Meine Ideen:
Da ja der Kommutator fuer Bosonen und Fermionen verschwindet habe ich gesagt, dass es nicht von Bedeutung ist ob es Bosonen oder Fermionen sind.
Beim Spin bin ich mir jetzt aber nicht sicher.
Wenn ich Spin hab, dann hab ich ja 2 Besetzungszustaende fuer eine Energie. Macht das dann was aus?
Ich verstehe die Frage irgendwie nicht so ganz... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 14:44 Titel: Re: 2nd Quantisierung: System von identischen Teilchen |
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| Alisa123 hat Folgendes geschrieben: | Zuerst soll man zeigen, dass bei einem System von wechselwirkenden identischen Teilchen die Energie und die Anzahl der Teilchen gleichzeitig gemessen werden kann.
Dazu hab ich einfach den Kommutator von H und N - Operator errechnet und gesehen, dass er fuer den bosonischen sowie fuer den fermionischen Fall Null ergibt. |
Das kann ich nicht beurteilen, da du uns H nicht verrätst; ich sehe keinen Grund, warum dies i.A. gelten soll
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 14:55 Titel: |
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H ist gegeben durch:
Dann kann ich einfach zeigen dass 
fuer Barionen und fuer Fermionen.
Aber der Spin bereitet mir noch Probleme. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 15:09 Titel: |
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Wier zeigst du, dass der Kommutator verschwindet??
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 15:19 Titel: |
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Ja das ist ne bisschen groessere Rechnung, welche ich hier jetzt nich ausfuehren will, das sind 2 Seiten.
Ich leite zuerst her, dass fuer Bosoen und Fermionen gilt:
Und dann einfach den Kommutator errechnen. Das klappt.
Aber wie komm ich bei den Spins weiter? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 15:30 Titel: |
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Ich glaube dir das nicht, ohne etwas über das V zu wissen. I.A. gilt das sicher nicht. Du berechnest einen Kommutator [N,V]. Dabei bleiben von den sechs Operatoren wieder vier stehen, und davon hast du eine Summe mit mehreren Termen. Jeder einzelne ter,m ist nicht Null. Du musst also zeigen, dass die Gesamtsumme Null ist. Und dazu musst du etwas über die Struktur (Symmetrie, Selbstadjungiertheit, ...) von V wissen. Selbstadjungiertheit darfst du annehmen; dann ist die Frage, ob dir das ausreicht, zu zeigen, dass die Summe Null sein muss.
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 15:49 Titel: |
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Ach shit, ich hab jetzt einfach angenommen, dass:
Darf ich das nicht? Wenn ich sage, dass die Teilchen alle gleich sind, darf ich das dann immer noch nicht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 15:55 Titel: |
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Du berechnest
Du musst den Kommutator
berechnen und mittels der Struktur von V argumentieren, dass die Summe aller Terme verschwindet.
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 16:01 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Du berechnest
Du musst den Kommutator
berechnen und mittels der Struktur von V argumentieren, dass die Summe aller Terme verschwindet. |
Genau diesen Kommutator habe ich berechnet, nur dass ich N stehen gelassen habe:
Da ich ja schon oben die Kommutatoren errechnete habe, konnte ich zeigen, dass dann:
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 16:04 Titel: |
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Ach ich sehe gerade dass alleine schon der Kommutator:
ist. Also ohne darueber zu summieren. Deshalb sollte das Verhalten von V irrelavant sein. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 16:10 Titel: |
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Nein, der Kommutator ist ganz sicher nicht Null; warum sollte er das sein??
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 16:28 Titel: |
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| Alisa123 hat Folgendes geschrieben: |
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Mit diesen Relationen hab ich das gezeigt, davor hab ich diese Relationen gezeigt. Ich weiss nicht was ich falsch gemacht haben soll.
Ich bekomme 8 Terme, 4 mit  und 4 mit eben -. Dann haun sich die raus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 16:39 Titel: |
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Nur wenn du eine bestimmte Struktur für dein V annimmst, oder?
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 16:46 Titel: |
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Nein, ich muss die Summe gar nicht berechnen, bei mir ist schon:
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 22:27 Titel: |
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das glaube ich nicht
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 23:38 Titel: |
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Okay, ich hab mal meine Rechnung hochgeladen:
https: //dl.dropbox.com/u/21601507/IMG_20121129_164511.jpg
Die zweite Seite ist ganz analog. Man sieht ja schon wie's weiter laeuft. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 23:45 Titel: |
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Klappt irgendwie nicht, naja ist ja auch egal.
Also wenn ich die Kommutatorproduktregel halt verwende, kann ich die Kommutatoren ganz einfach auf die Grundkommutatoren  bzw.  zureuckfuehren, welche ich ja schon vorher ausgerechnet habe. Dann verschwindet alles.
Das geht sicher. Soll ich es hier vormachen? Dauert halt bisschen...
Faellt dir zu den Spin noch was ein, was ja meine eigentliche Frage ist?
Freundliche Gruesse,
Alisa |
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 23:56 Titel: |
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Jetzt sollte es aber gehen:
https: //dl.dropbox.com/u/21601507/kommutaor.jpg
wieder bitte das Leerzeichen nach dem https: vermachen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 30. Nov 2012 00:32 Titel: |
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Für Bosonen gilt
Summieren über p liefert
Nun kann ich noch ohne Vorzeichen durchtauschen und erhalte
Da schau an, du hast recht!!
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 30. Nov 2012 11:31 Titel: |
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Gute LaTeX-Arbeit 
Fuer Fermionen gilt es auch. Aber mit dem Spin bin ich noch nicht weitergekommen. Macht es einen Unterschied ob die Teilchen einen Spin haben oder nicht?
Danke fuer die Muehe TomS.
Alisa |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 30. Nov 2012 13:15 Titel: |
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Das mit dem Spin ist schierig, schau's dir mal für Fermionen an, denn da müsstest du sowas wie
verwenden, wobei bei Dirac-Fermionen eigtl. b- und d-Operatoren vorkommen.
Bei Spin-1 Bosonen wird's ggf. noch schwieriger, weil du entweder Lorentz-Indizes oder Spin-Indizes hast. Dazu müsstest du ganz konkret die Operatoren und Vertauschungsrelationen angeben, die du verwenden sollst (Aufgabe, Vorlesung / Skript, Buch)
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 01. Dez 2012 18:07 Titel: |
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Ich hab mal nochmal im Skript nachgeguckt. Da finde ich aber nichts zu Spin.
Hast du vll. irgendeinen Tipp wo ich das nachlesen kann.
Alisa |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 01. Dez 2012 18:18 Titel: |
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ja, hier ist ein Draft zu Srednicki's QFT-Buch: http://web.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 01. Dez 2012 18:28 Titel: |
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Mhm, QFT ist glaub bisschen zu hart fuer mich. Ich mach ja noch Quantenmechanik.
Kennst du auch die Kommutatorrelationen fuer Bosonen? Dann koennte ich es ja einfach mal probieren. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 02. Dez 2012 10:38 Titel: |
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Hm, für Bosonen a bzw. Fermionen b hast du
K , K' kannst du als Multiindex betrachten, z.B. indem du (wie oben) K = (k,s) schreibst, wobei k z.B. einen Eigenzustand des harmonischen Oszillators, eine Wellenzahl o.ä. numeriert, s dagegen den Spin. Die Aussage ist immer, dass bosonische Operatoren kommutieren, d.h. für Übereinstimmung aller Indizes steht rechts eine Eins, sonst eine Null. Analog gilt für Fermionen, dass deren Operatoren anti-kommutieren, d.h. wiederum steht bei Übereinstimmung aller Indizes rechts eine Eins, sonst eine Null.
Hilft dir das weiter?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 02. Dez 2012 11:14 Titel: |
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Ja ich denke schon.
Wenn ich aber jetzt diesen Multiindex verwende, dann aendert sich ja der Kommutator [N,H] nicht, richtig? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 02. Dez 2012 11:19 Titel: |
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Vorsicht: bzgl. N und H musst du den Kommutator berechnen, bzgl. der elemenatern Operatoren ist aber der Antikommutator gegegeben. D.h. du musst (mehrfach) auf folgende Rechenregel zurückgreifen:
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 02. Dez 2012 11:37 Titel: |
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Ja ich weiss, ich habe die Rechnung ja oben schon gemacht.
Aber wenn ich doch den Doppelindex nehme, so kann ich doch mehr oder weniger sagen, dass sich die Kommutatorrelation nicht veraendert hat, oder?
Somit sollte ich ja auf das gleiche Ergebnis kommen, oder nicht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17240
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| TomS Verfasst am: 02. Dez 2012 11:56 Titel: |
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Ja, der Multiindex besagt ja nur, dass
wenn K = (ijk...)
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Alisa123
Gast
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| Alisa123 Verfasst am: 02. Dez 2012 18:11 Titel: |
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Mhm, okay, dann spielt der Spin ja keine Rolle, oder?
Dank dir. |
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