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2nd Quantisierung: System von identischen Teilchen
 
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Alisa123
Gast





Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 12:08    Titel: 2nd Quantisierung: System von identischen Teilchen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hi Leute,

ich muss ne Aufgabe zu zweiter Quantisierung machen. Zuerst soll man zeigen, dass bei einem System von wechselwirkenden identischen Teilchen die Energie und die Anzahl der Teilchen gleichzeitig gemessen werden kann.

Dazu hab ich einfach den Kommutator von H und N - Operator errechnet und gesehen, dass er fuer den bosonischen sowie fuer den fermionischen Fall Null ergibt.

Nun kommt aber noch eine Frage, ob es von Bedeutung ist ob die identischen Teilchen einen Spin haben oder nicht und ob es von Bedeutung ist ob sie Bosonen oder Fermionen sind.

Meine Ideen:
Da ja der Kommutator fuer Bosonen und Fermionen verschwindet habe ich gesagt, dass es nicht von Bedeutung ist ob es Bosonen oder Fermionen sind.

Beim Spin bin ich mir jetzt aber nicht sicher.

Wenn ich Spin hab, dann hab ich ja 2 Besetzungszustaende fuer eine Energie. Macht das dann was aus?

Ich verstehe die Frage irgendwie nicht so ganz...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 14:44    Titel: Re: 2nd Quantisierung: System von identischen Teilchen Antworten mit Zitat

Alisa123 hat Folgendes geschrieben:
Zuerst soll man zeigen, dass bei einem System von wechselwirkenden identischen Teilchen die Energie und die Anzahl der Teilchen gleichzeitig gemessen werden kann.

Dazu hab ich einfach den Kommutator von H und N - Operator errechnet und gesehen, dass er fuer den bosonischen sowie fuer den fermionischen Fall Null ergibt.

Das kann ich nicht beurteilen, da du uns H nicht verrätst; ich sehe keinen Grund, warum dies i.A. gelten soll

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Alisa123
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 14:55    Titel: Antworten mit Zitat

H ist gegeben durch:




Dann kann ich einfach zeigen dass

fuer Barionen und fuer Fermionen.

Aber der Spin bereitet mir noch Probleme.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 15:09    Titel: Antworten mit Zitat

Wier zeigst du, dass der Kommutator verschwindet??
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Alisa123
Gast





Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 15:19    Titel: Antworten mit Zitat

Ja das ist ne bisschen groessere Rechnung, welche ich hier jetzt nich ausfuehren will, das sind 2 Seiten.

Ich leite zuerst her, dass fuer Bosoen und Fermionen gilt:



Und dann einfach den Kommutator errechnen. Das klappt.

Aber wie komm ich bei den Spins weiter?
TomS
Moderator


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Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 15:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ich glaube dir das nicht, ohne etwas über das V zu wissen. I.A. gilt das sicher nicht. Du berechnest einen Kommutator [N,V]. Dabei bleiben von den sechs Operatoren wieder vier stehen, und davon hast du eine Summe mit mehreren Termen. Jeder einzelne ter,m ist nicht Null. Du musst also zeigen, dass die Gesamtsumme Null ist. Und dazu musst du etwas über die Struktur (Symmetrie, Selbstadjungiertheit, ...) von V wissen. Selbstadjungiertheit darfst du annehmen; dann ist die Frage, ob dir das ausreicht, zu zeigen, dass die Summe Null sein muss.
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Alisa123
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 15:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ach shit, ich hab jetzt einfach angenommen, dass:



Darf ich das nicht? Wenn ich sage, dass die Teilchen alle gleich sind, darf ich das dann immer noch nicht?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 15:55    Titel: Antworten mit Zitat

Du berechnest



Du musst den Kommutator



berechnen und mittels der Struktur von V argumentieren, dass die Summe aller Terme verschwindet.

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Alisa123
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 16:01    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Du berechnest


Du musst den Kommutator



berechnen und mittels der Struktur von V argumentieren, dass die Summe aller Terme verschwindet.


Genau diesen Kommutator habe ich berechnet, nur dass ich N stehen gelassen habe:



Da ich ja schon oben die Kommutatoren errechnete habe, konnte ich zeigen, dass dann:
Alisa123
Gast





Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 16:04    Titel: Antworten mit Zitat

Ach ich sehe gerade dass alleine schon der Kommutator:



ist. Also ohne darueber zu summieren. Deshalb sollte das Verhalten von V irrelavant sein.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 16:10    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, der Kommutator ist ganz sicher nicht Null; warum sollte er das sein??
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 16:28    Titel: Antworten mit Zitat

Alisa123 hat Folgendes geschrieben:




Mit diesen Relationen hab ich das gezeigt, davor hab ich diese Relationen gezeigt. Ich weiss nicht was ich falsch gemacht haben soll.

Ich bekomme 8 Terme, 4 mit und 4 mit eben -. Dann haun sich die raus.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 16:39    Titel: Antworten mit Zitat

Nur wenn du eine bestimmte Struktur für dein V annimmst, oder?
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 16:46    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, ich muss die Summe gar nicht berechnen, bei mir ist schon:

TomS
Moderator


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Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 22:27    Titel: Antworten mit Zitat

das glaube ich nicht
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 23:38    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, ich hab mal meine Rechnung hochgeladen:

https: //dl.dropbox.com/u/21601507/IMG_20121129_164511.jpg

Die zweite Seite ist ganz analog. Man sieht ja schon wie's weiter laeuft.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Nov 2012 23:44    Titel: Antworten mit Zitat

https://dl.dropbox.com/u/21601507/IMG_20121129_164511.jpg

existiert nicht

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Alisa123
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 23:45    Titel: Antworten mit Zitat

Klappt irgendwie nicht, naja ist ja auch egal.

Also wenn ich die Kommutatorproduktregel halt verwende, kann ich die Kommutatoren ganz einfach auf die Grundkommutatoren bzw. zureuckfuehren, welche ich ja schon vorher ausgerechnet habe. Dann verschwindet alles.

Das geht sicher. Soll ich es hier vormachen? Dauert halt bisschen...

Faellt dir zu den Spin noch was ein, was ja meine eigentliche Frage ist?

Freundliche Gruesse,
Alisa
Alisa123
Gast





Beitrag Alisa123 Verfasst am: 29. Nov 2012 23:56    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt sollte es aber gehen:

https: //dl.dropbox.com/u/21601507/kommutaor.jpg

wieder bitte das Leerzeichen nach dem https: vermachen.
TomS
Moderator


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Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2012 00:32    Titel: Antworten mit Zitat

Für Bosonen gilt









Summieren über p liefert



Nun kann ich noch ohne Vorzeichen durchtauschen und erhalte



Da schau an, du hast recht!!

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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 30. Nov 2012 11:31    Titel: Antworten mit Zitat

Gute LaTeX-Arbeit smile

Fuer Fermionen gilt es auch. Aber mit dem Spin bin ich noch nicht weitergekommen. Macht es einen Unterschied ob die Teilchen einen Spin haben oder nicht?

Danke fuer die Muehe TomS.

Alisa
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2012 13:15    Titel: Antworten mit Zitat

Das mit dem Spin ist schierig, schau's dir mal für Fermionen an, denn da müsstest du sowas wie



verwenden, wobei bei Dirac-Fermionen eigtl. b- und d-Operatoren vorkommen.

Bei Spin-1 Bosonen wird's ggf. noch schwieriger, weil du entweder Lorentz-Indizes oder Spin-Indizes hast. Dazu müsstest du ganz konkret die Operatoren und Vertauschungsrelationen angeben, die du verwenden sollst (Aufgabe, Vorlesung / Skript, Buch)

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Alisa123
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 01. Dez 2012 18:07    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab mal nochmal im Skript nachgeguckt. Da finde ich aber nichts zu Spin.

Hast du vll. irgendeinen Tipp wo ich das nachlesen kann.

Alisa
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Dez 2012 18:18    Titel: Antworten mit Zitat

ja, hier ist ein Draft zu Srednicki's QFT-Buch: http://web.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 01. Dez 2012 18:28    Titel: Antworten mit Zitat

Mhm, QFT ist glaub bisschen zu hart fuer mich. Ich mach ja noch Quantenmechanik.

Kennst du auch die Kommutatorrelationen fuer Bosonen? Dann koennte ich es ja einfach mal probieren.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 02. Dez 2012 10:38    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, für Bosonen a bzw. Fermionen b hast du





K , K' kannst du als Multiindex betrachten, z.B. indem du (wie oben) K = (k,s) schreibst, wobei k z.B. einen Eigenzustand des harmonischen Oszillators, eine Wellenzahl o.ä. numeriert, s dagegen den Spin. Die Aussage ist immer, dass bosonische Operatoren kommutieren, d.h. für Übereinstimmung aller Indizes steht rechts eine Eins, sonst eine Null. Analog gilt für Fermionen, dass deren Operatoren anti-kommutieren, d.h. wiederum steht bei Übereinstimmung aller Indizes rechts eine Eins, sonst eine Null.

Hilft dir das weiter?

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 02. Dez 2012 10:46    Titel: Antworten mit Zitat

Nochmal ein Link: http://www.cithep.caltech.edu/~fcp/physics/quantumMechanics/secondQuantization/SecondQuantization.pdf
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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 02. Dez 2012 11:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ja ich denke schon.

Wenn ich aber jetzt diesen Multiindex verwende, dann aendert sich ja der Kommutator [N,H] nicht, richtig?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 02. Dez 2012 11:19    Titel: Antworten mit Zitat

Vorsicht: bzgl. N und H musst du den Kommutator berechnen, bzgl. der elemenatern Operatoren ist aber der Antikommutator gegegeben. D.h. du musst (mehrfach) auf folgende Rechenregel zurückgreifen:


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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 02. Dez 2012 11:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ja ich weiss, ich habe die Rechnung ja oben schon gemacht.

Aber wenn ich doch den Doppelindex nehme, so kann ich doch mehr oder weniger sagen, dass sich die Kommutatorrelation nicht veraendert hat, oder?

Somit sollte ich ja auf das gleiche Ergebnis kommen, oder nicht?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 02. Dez 2012 11:56    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, der Multiindex besagt ja nur, dass



wenn K = (ijk...)

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Beitrag Alisa123 Verfasst am: 02. Dez 2012 18:11    Titel: Antworten mit Zitat

Mhm, okay, dann spielt der Spin ja keine Rolle, oder?

Dank dir.
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