Schwingung eines Teilchens in Fallenpotential

qwerto · Gast

Meine Frage:
Ein Beryllium-Teilchen (Be+) mit Masse 9u wird im harmonischen Potential einer Teilchenfalle gefangen. Durch zwei positiv geladene Endkappen wird das Teilchen im Zentrum der Falle gehalten und durch eine Wechselspannung auf die Fallenachse "gedrückt". Das Teilchen fängt an zu oszillieren, wenn die Schwingungsfrequenz des Teilchens im Fallenpotential die angelegte Spannungsfrequenz trifft. Sichtbar wird dies durch eine abnehmbare Helligkeit des durch einen Laser zum Leuchten angeregten Teilchens.

Betrachten Sie nur Schwingungen entlang der Fallenachse (z-Achse).

(a) Zeigen Sie, dass die Abnahme der Helligkeit tatsächlich mit der Beryllium-Oszillation zu erklären ist.
(b) Mit welcher Frequenz kann man ein Wasserstoffmolekül der Form HD+ (m = 3u) zu Schwingungen im Fallenpotential anregen
(c) Kann ein Unterschied in der Teilchenmasse von +-1u mit der Messgenauigkeit von 10 kHz überhaupt erfasst werden?

Meine Ideen:
Mir stellen sich zur Aufgabenstellung einige Fragen.

(1) Ist mit Schwingungsfrequenz des Teilchens die Kreisfrequenz omega gemeint oder nu/f?
(2) Die Kraft die aufgrund des Potentials in z-Richtung ausgeübt wird, hängt nicht von der Wechselspannungsfrequenz ab. Wie bringt man die Größen so in Zusammenhang?
(3) Für das Beryllium-Teilchen wird in der Aufgabe die Wechselspannungsfrequenz 2 * pi * 35 MHz angegeben. In diese Größenordnung komme ich mit meinen Berechnungen nicht, noch sind solch große Werte im Diagramm zu erkennen.

Meine Idee war erst mal Folgendes. Das Potential ist eine Funktion der drei Raumrichtungen x, y und z. Um die Kraft in z-Richtung zu ermitteln, leite ich das Potential nach z ab und multizipliere es mit der Elementarladung Q. Schreibt man die Kraft F über das zweite Newtonsche Gesetz um, erhält man eine Bewegungsgleichung (bzw. DGL) für die z-Richtung.

Diese kann man z.B. über den Ansatz z(t) = e^(rt) lösen. Die Faktoren vor dem z sind in diesem Experiment Konstanten, die man somit durch eine neue Variable, sagen wir mal C, ersetzen können. Dann erhält man eine DGL, die prinzipiell exakt mit der DGL eines Feder-Masse-Systems entspricht: z'' + (C/m)z = 0.

Die Kreisfrequenz des schwingenden Teilchens ist also sqrt(C/m), bzw die Frequenz f = 2 * pi * sqrt(C/m).

Was ist nun gemeint mit dem "Zusammentreffen" von Wechselspannungsfrequenz und Schwingunsfrequenz? Vielleicht hat jemand eine bessere Intuition darüber.