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Eigenzustände, wie kommt man auf diese Gleichung?
 
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Physiker1.1



Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 18

Beitrag Physiker1.1 Verfasst am: 22. Nov 2021 13:43    Titel: Eigenzustände, wie kommt man auf diese Gleichung? Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier die Lösung einer Aufgabe vor mir und versuche diese nachzuvollziehen.

Die Aufgabe lautet: "Determine the wave function of the eigenvectors in the position space representation. Außerdem ist gegeben, dass die Ortsbasis eine Eigenbasis des Ortsoperators ist mit Eigenwert x. Analog für die p-Basis.

Nun wird in der Lösung gesagt:

"The wave function of |p> in the position representation is given by


Wie kommt man auf diesen Ausdruck? Gibt es da eine allgemeine Ausdrucksweise? Denn ich wusste nicht, dass man eine Wellenfunktion so ausdrücken kann.

Weiter geht es mit

"Since |p> is an eigenstate of p' and we know the position representation of p' we have


Das kann ich mir so erklären: ist ein Eigenzustand von mit Eigenwert p, also gilt

damit folgt

wobei man das p nach vorne ziehen kann, weil es ein Skalar ist. Stimmt das?

Außerdem soll nach Lösung gelten:

Wie kommt man darauf? also klar, das vor der Bracket ist der Impulsoperator. Aber den kann man doch nicht einfach so nach vorne ziehen oder doch?

Ich hoffe mir kann jemand helfen,

danke im Voraus!

Meine Ideen:
s. oben
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15507

Beitrag TomS Verfasst am: 22. Nov 2021 14:58    Titel: Re: Eigenzustände, wie kommt man auf diese Gleichung? Antworten mit Zitat

Physiker1.1 hat Folgendes geschrieben:
Wie kommt man auf diesen Ausdruck?

Das ist allgemeingültig.

Gegeben sei ein abstrakter Hilbertraum mit Kets sowie Eigenzustände |a> zu irgendeiner Observablen A. Dann gilt - für diskretes Spektrum von A, andernfalls analog mit Integralen:

Eigenwertgleichung:



Orthonormiertheit (wobei ich der Einfachheit halber eine mögliche Entartung außer Acht lasse)



Vollständigkeit bzw. Darstellung der Eins:



Projektion und Komponenten eines beliebigen Zustandes:



a-Darstellung des Zustandes:



Das entspricht (da ein separabler Hilbertraum und eine Observable A mit diskreter Eigenbasis |a> betrachtet wurde) der linearen Algebra.

Für die Spezialfälle der Orts- und Impulsdarstellung erhält man als Komponenten gerade die Wellenfunktionen. Natürlich muss man dann zu einem "kontinuierlichen Index" x bzw. p, Integralen statt Summen und delta-Distributionen übergehen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Physiker1.1



Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 18

Beitrag Physiker1.1 Verfasst am: 22. Nov 2021 16:07    Titel: Antworten mit Zitat

Also wenn ich das richtig verstehe, dann gilt

und in der a-Darstellung dann

wobei die 2. Gleichung den Vektor |Psi> in der Basis |a> mit den Koeffizienten Psi_a darstellt.
Demnach wäre allerdings in meiner Aufgabe

und das ergibt ja nicht wirklich einen Sinn, weil die Wellenfuntion ja kein Koeffizient ist.
Also habe ich da wohl irgendwas falsch verstanden, könntest Du mir da nochmal helfen?
Danke!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15507

Beitrag TomS Verfasst am: 22. Nov 2021 16:34    Titel: Antworten mit Zitat

Doch, du hast das richtig verstanden:





Der einzige Unterschied ist die kontinuierliche Basis.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Physiker1.1



Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 18

Beitrag Physiker1.1 Verfasst am: 22. Nov 2021 16:56    Titel: Antworten mit Zitat

Ah okay, dann vielen Dank für die Hilfe!
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