Eigenzustände, wie kommt man auf diese Gleichung?

Physiker1.1 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 19

Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier die Lösung einer Aufgabe vor mir und versuche diese nachzuvollziehen.

Die Aufgabe lautet: "Determine the wave function

of the eigenvectors

in the position space representation. Außerdem ist gegeben, dass die Ortsbasis eine Eigenbasis des Ortsoperators

ist mit Eigenwert x. Analog für die p-Basis.

Nun wird in der Lösung gesagt:

"The wave function of |p> in the position representation is given by

Wie kommt man auf diesen Ausdruck? Gibt es da eine allgemeine Ausdrucksweise? Denn ich wusste nicht, dass man eine Wellenfunktion so ausdrücken kann.

Weiter geht es mit

"Since |p> is an eigenstate of p' and we know the position representation of p' we have

Das kann ich mir so erklären:

ist ein Eigenzustand von

mit Eigenwert p, also gilt

damit folgt

wobei man das p nach vorne ziehen kann, weil es ein Skalar ist. Stimmt das?

Außerdem soll nach Lösung gelten:

Wie kommt man darauf? also klar, das vor der Bracket ist der Impulsoperator. Aber den kann man doch nicht einfach so nach vorne ziehen oder doch?

Ich hoffe mir kann jemand helfen,

danke im Voraus!

Meine Ideen:
s. oben

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Physiker1.1 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 19

Also wenn ich das richtig verstehe, dann gilt

und in der a-Darstellung dann

wobei die 2. Gleichung den Vektor |Psi> in der Basis |a> mit den Koeffizienten Psi_a darstellt.
Demnach wäre allerdings in meiner Aufgabe

und das ergibt ja nicht wirklich einen Sinn, weil die Wellenfuntion ja kein Koeffizient ist.
Also habe ich da wohl irgendwas falsch verstanden, könntest Du mir da nochmal helfen?
Danke!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Doch, du hast das richtig verstanden:

Der einzige Unterschied ist die kontinuierliche Basis.

Physiker1.1 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 19

Ah okay, dann vielen Dank für die Hilfe!