| Autor |
Nachricht |
BlueBird
Anmeldungsdatum: 21.04.2018
Beiträge: 5
|
 BlueBird Verfasst am: 21. Apr 2018 10:55 Titel: Gleichung für eine Wasserstandsregelung aufstellen |
 |
|
Meine Frage:
Hallo liebe Community,
als Bild liegt eine Skizze eines Systems vor, das den Wasserstand in einem Behälter regeln soll.
Ich möchte nun eine (Differnetial-)Gleichung aufstellen, die mir die Füllhöhe h(t) in Abhängigkeit von den Massenströmen m_zu(t)' und m_ab(t)' angibt. Dabei soll ich von einem stationären Betriebspunkt ausgehen, mit den Werten m_zu,0(t)', m_ab,0(t)', y0 und h0, und Änderungen um diesen Betriebspunkt betrachten. Leider habe ich weder eine Funktion, die das Verhalten des Ventils beschreibt, noch eine, die das Verhalten des Auslaufs beschreibt, gegeben.
Meine Ideen:
Mein Ansatz: Die Änderung der Höhe ist dann
h(t)' = (m_zu(t)' - m_zu(t)')/(A*\rho)
Und deshalb ist für einen Startpunkt h_0 die Höhe nach der Zeit t
 = (1/(A*\rho))*\int_0^t \! (m_zu(t)' - m_zu(t)') \, \dd t + h_0
<br />
)
Im stationären Betriebspunkt ist die Höhenänderung 0, weshalb dann gilt
h_0 = h_soll
und deshalb:
 = (1/(A*\rho))*\int_0^t \! (m_zu(t)' - m_zu(t)') \, \dd t + h_{soll}
<br />
)
Hier weiß ich aber nicht, wie ich weiter arbeiten soll. Ich weiß auch nicht, wie ich die Aufgabe (mit dem Betriebspunkt) zu verstehen habe bzw. was von mir verlangt ist: Soll ich um diesen Arbeitspunkt literarisieren?
Es wäre super, wenn ihr mir dabei weiterhelfen könntet.
Vielen Dank!
| Beschreibung: |
|
| Dateigröße: |
262.43 KB |
| Angeschaut: |
3273 mal |
|
|
|
 |
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 22. Apr 2018 11:00 Titel: |
|
|
Ist der Querschnitt "a" der Ausflussöffnung an der Stelle  gegeben?
Ich frage deswegen, weil
 ist also nicht konstant.
|
|
|
BlueBird
Anmeldungsdatum: 21.04.2018
Beiträge: 5
|
| BlueBird Verfasst am: 22. Apr 2018 11:12 Titel: |
|
|
Hallo Mathefix,
danke für die Antwort! Leider ist aber die Größe des Ausflusses nicht gegeben.
Die einzigen verfügbaren Variablen sind diejenigen, die auf der Abbildung zu sehen sind sowie die Konstanten am Betriebspunkt.
VG
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
|
| Myon Verfasst am: 22. Apr 2018 11:20 Titel: |
|
|
@Bluebird: kannst Du nicht einmal den genauen Wortlaut der Aufgabe posten, insbesondere, was überhaupt verlangt ist? Und steht über das Ventil gar nichts Weiteres - entscheidend wäre hier ja der Zusammenhang zwischen ) und ) ?
|
|
|
BlueBird
Anmeldungsdatum: 21.04.2018
Beiträge: 5
|
| BlueBird Verfasst am: 22. Apr 2018 11:27 Titel: |
|
|
Hallo Myon,
vielen Dank für Deine Antwort! Leider habe ich weder eine Funktion, die das Verhalten des Ventils beschreibt, noch eine, die das Verhalten des Auslaufs beschreibt, gegeben. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Leite ein mathematische Modell ab, das den Füllstand h(t) in Abhängigkeit vom Sollwert h_soll und den Massenströmen' ) und ') beschreibt. Gehe hierzu von einem stationären Betriebspunkt aus, der durch die Zustände  charakterisiert ist, und betrachte Änderungen um diesen Betriebspunkt.
Neben der Zeichnung ist nichts anderes angegeben.
Ich weiß auch, dass das, was ich bisher habe, im Ansatz stimmt, aber nicht die endgültige Lösung ist.
|
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 22. Apr 2018 11:45 Titel: |
|
|
| BlueBird hat Folgendes geschrieben: | Hallo Mathefix,
danke für die Antwort! Leider ist aber die Größe des Ausflusses nicht gegeben.
Die einzigen verfügbaren Variablen sind diejenigen, die auf der Abbildung zu sehen sind sowie die Konstanten am Betriebspunkt.
VG |
Es handelt sich um eine Regelstrecke mit Ausgleich, die durch einen P-Regler gesteuert wird.
Die Sollgrösse h_soll wird nicht konstant gehalten, da in dem Augenblick in dem Sie gerade erreicht wird, das Zuflussventil schliesst und der Wasserstand sofort sinkt. Dann öffnet sich das Zuflussventil, der Wasserstand steigt bis h_soll usw.
Der Wasserstand oszilliert zwischen h(Zufluss = Abfluss) und h_soll. Die Amplitude wird bestimmt durch das Verhältnis von Zu- und Abflussmenge.
|
|
|
BlueBird
Anmeldungsdatum: 21.04.2018
Beiträge: 5
|
| BlueBird Verfasst am: 22. Apr 2018 11:50 Titel: |
|
|
|
Vielen Dank Mathefix! Diese Erklärung scheint mir schlüssig. Aber wie kann ich das mathematisch ausdrücken? Ich kann zwar über die Hebelstrecken a und l einen Zusammengang zwischen der Höhenänderung ∆h und der Änderung der Stellgröße ∆y herstellen, doch da ich keinen Zusammenhang zwischen y und m_zu' aufstellen kann, bleibe ich an diesem Punkt immer hängen.
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
|
| Myon Verfasst am: 22. Apr 2018 11:50 Titel: |
|
|
Danke. Deine Gleichungen oben stimmen sicher (nur, dass natürlich einmal  statt  stehen sollte). Aber über das Ventil, das in Abhängigkeit vom Flüssigkeitsstand h(t) den Zustrom regelt, gibt es ja einen Rückkopplungsmechnismus. Da dazu nicht mehr gegeben ist, müsste man fast Annahmen treffen.
Bei  wird wahrscheinlich  sein, und weiter wird ein linearer Zusammenhang zwischen und gelten. Für eine Konstante k gilt also
-y_0)=k\frac{l-a}{a}(h(t)-h_\mathrm{soll}))
Das könnte man oben in die Gleichungen einfügen. Aber da der Ventilmechanismus nicht explizit gegeben ist, ist das natürlich nicht befriedigend.
|
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 22. Apr 2018 12:24 Titel: |
|
|
| BlueBird hat Folgendes geschrieben: | | Vielen Dank Mathefix! Diese Erklärung scheint mir schlüssig. Aber wie kann ich das mathematisch ausdrücken? Ich kann zwar über die Hebelstrecken a und l einen Zusammengang zwischen der Höhenänderung ∆h und der Änderung der Stellgröße ∆y herstellen, doch da ich keinen Zusammenhang zwischen y und m_zu' aufstellen kann, bleibe ich an diesem Punkt immer hängen. |
Ohne Kennnis über den Aufbau des Zuflussventils ist der Zusammenhang zwischen y und m_zu´ nicht herstellbar.
Beispiel:
Bei einem rechteckigen Querschnitt hängt die Zuflussmenge linear von y ab - s. Myon´s Gleichung.
Bei kreisförmigem Querschnitt hängt die Zuflussmenge nicht linear von y ab.
|
|
|
BlueBird
Anmeldungsdatum: 21.04.2018
Beiträge: 5
|
| BlueBird Verfasst am: 22. Apr 2018 12:28 Titel: |
|
|
Vielen Dank euch beiden!
Da es somit scheinbar tatsächlich nicht möglich ist, ohne dem Treffen von Annahmen das math. Modell aufzustellen werden ich mich an dem Vorschlag von Myon orientieren und damit weiterarbeiten.
Ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen! Euch einen schönen Sonntag :-)
|
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 22. Apr 2018 12:38 Titel: |
|
|
| BlueBird hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank euch beiden!
Da es somit scheinbar tatsächlich nicht möglich ist, ohne dem Treffen von Annahmen das math. Modell aufzustellen werden ich mich an dem Vorschlag von Myon orientieren und damit weiterarbeiten.
Ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen! Euch einen schönen Sonntag :-) |
Ohne Kenntnis der Grösse des Ausflussquerschnitts oder einer entsprechenden Annahme wirst Du nicht weiter kommen, denn, wie ich bereits erwähnte, hängt h(t) von der Ausflussmenge ab.
 - \dot{m}_{ab}(h) )
Vllt. hilft Dir das weiter.
Schönen Sonntag.
Gruss
Jörg
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
|
| Myon Verfasst am: 22. Apr 2018 13:03 Titel: |
|
|
@Mathefix: ich denke, dass der Abfluss von aussen gegeben ist, so wie z.B. - sorry, das Beispiel  - bei einer WC-Spülung.
Die obige (von mir angegebene) Gleichung für den Ventilmechanismus kann nicht ganz richtig sein, da nach Aufgabenstellung im stationären Fall, also wo  gilt, der Hebel bei bzw.  sein sollte. Aus der Skizze wird mir aber z.B. nicht klar, wie das Verhältnis von und  ist. Auf jeden Fall auch allen noch einen schönen Sonntag!
|
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 22. Apr 2018 14:40 Titel: |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: | @Mathefix: ich denke, dass der Abfluss von aussen gegeben ist, so wie z.B. - sorry, das Beispiel - bei einer WC-Spülung.
|
@Myon
Bei der WC-Spülung bleibt das Ausflussventil nach Leerung des Behälters geschlossen, bis es von Hand geöffnet wird.
Mit der Konstruktion in der Aufgabe hätte man einen hohen Wasserverbrauch und eine ruhelose Nacht, da das Ding dauernd läuft.
Bei dem (noch) schönen Wetter, schwinge ich mich jetzt aufs Fahrrad.
Gruss
Jörg
|
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 23. Apr 2018 19:49 Titel: |
|
|
Die Aufgabe hat mir doch keine Ruhe gelassen.
Zeitverhalten des Ventils
Bei dem abgehenden Massenstrom verwende ich die vereinfachte Gleichung von Torricelli (man kann auch die exakte nehmen, ist nur mehr Rechnerei und ändert nichts am Prinzip).
Lt. Hebelmechanismus:
 =h_{soll} - \frac{y_0 - y(t)}{1- \frac{l}{a} } )
Phase 1 - Schwimmer steht bei h_soll, Das Ventil ist und bleibt geschlossen bis h(t) erreicht ist,
Der Wasserspiegel sinkt von  auf )
 = \frac{A}{A_{ab}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g} } } \left[h\right]_{h(t)}^{h_{soll} } )
Phase 2 - Der Schwimmer hat h(t) ist erreicht.
Variante 1:  = const.
 = \frac{A\cdot \varrho }{A_{ab}^{2}\cdot g } \cdot (A_{ab}\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h} -\dot{m}_{zu} \cdot \ln(|(A_{ab}\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h} - \dot{m}_{zu}| ) ) \left[h\right]_{h(t)}^{h_{soll} } )
Variante 2:  = f(h)
 = \dot{m}_{zu}\cdot \frac{h_{soll}-h }{h_{soll}-h(t)} )
} - A_{ab}\cdot \varrho \cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h} )
Die Lösung des Integrals ergibt einen Mordsterm. Schreibe ihn nur hin, wenn Du ihn unbedingt wissen musst.
Ende Phase 2
Dann fängt es mit Phase 1 wieder an usw.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 25. Apr 2018 17:40, insgesamt 2-mal bearbeitet |
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 25. Apr 2018 15:03 Titel: |
|
|
Habe die Aufgabe komplett durchgerechnet.
Wenn m_zu = f(h) ist, wird´s richtig umfangreich, aber lösbar.
Schau Dir meine Ausführungen mal an. Feedback wäre nett.
Gruss
Jörg
|
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 25. Apr 2018 18:18 Titel: |
|
|
Trotz großer Vorbehalte - praktisch keine Kenntnisse in der Regelungstechnik - ein paar Anmerkungen von mir. Fast immer, wenn ich auf das Stichwort Arbeitspunkt getroffen bin, ging es darum, eigentlich nicht lineare Zusammenhänge um den Arbeitspunkt herum zu linearisieren.
Meine Vermutung - mit allem Vorbehalt - ist, dass das auch hier so gemeint ist. Dann hat man
)
)
Das führt zu
)
nähert sich also exponentiell asymptotisch dem Wert an, der deshalb auch der Sollwert sein sollte. Falls man diese Interpretation akzeptiert, bleibt noch die Konstanten durch die Größen in der Zeichnung zu bestimmen, was eine leichtere Übung ist.
|
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 25. Apr 2018 19:37 Titel: |
|
|
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | Trotz großer Vorbehalte - praktisch keine Kenntnisse in der Regelungstechnik - ein paar Anmerkungen von mir. Fast immer, wenn ich auf das Stichwort Arbeitspunkt getroffen bin, ging es darum, eigentlich nicht lineare Zusammenhänge um den Arbeitspunkt herum zu linearisieren.
Meine Vermutung - mit allem Vorbehalt - ist, dass das auch hier so gemeint ist. Dann hat man
Das führt zu
nähert sich also exponentiell asymptotisch dem Wert an, der deshalb auch der Sollwert sein sollte. Falls man diese Interpretation akzeptiert, bleibt noch die Konstanten durch die Größen in der Zeichnung zu bestimmen, was eine leichtere Übung ist. |
Das erkläre mal. Insbesondere wie Du auf kommst.
|
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 25. Apr 2018 20:40 Titel: |
|
|
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Das erkläre mal. Insbesondere wie Du auf kommst. |
Es ist, wie du selbst weiter oben geschrieben hast
Wenn man das um einen Arbeitspunkt herum linearisieren möchte, geht das so:
)
Also
=\dot m_{a,0}+c_2(h-h_0))
|
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 26. Apr 2018 14:53 Titel: |
|
|
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Das erkläre mal. Insbesondere wie Du auf kommst. |
Es ist, wie du selbst weiter oben geschrieben hast
Wenn man das um einen Arbeitspunkt herum linearisieren möchte, geht das so:
Also
|
)
???
|
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 26. Apr 2018 18:11 Titel: |
|
|
Taylorreihe von  bis zum linearen Glied.
|
|
|
Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
|
| Mathefix Verfasst am: 26. Apr 2018 18:27 Titel: |
|
|
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | Taylorreihe von bis zum linearen Glied. |
@Huggy
War mir schon klar. Bei einem Abbruch nach dem 2ten Glied kann man m.E. nicht von "näherungsweise" sprechen. da ist mir die Abweichung doch zu gross.
Mit h = 16 und h_0 =4 ist der Unterschied 25%.
Aber warum eine Näherung, wenn die DGL´s sich lösen lassen.
Im übrigen ist damit die Fragestellung t(h) bzw. h(t) nicht beantwortet.
Gruss Jörg
|
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 26. Apr 2018 19:24 Titel: |
|
|
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | War mir schon klar. Bei einem Abbruch nach dem 2ten Glied kann man m.E. nicht von "näherungsweise" sprechen. da ist mir die Abweichung doch zu gross.
Mit h = 16 und h_0 =4 ist der Unterschied 25%. |
Die Zahlen müssen ja nicht so sein.
@Mathefix
Ich weiß natürlich nicht, ob die Aufgabe mit einer linearen Näherung angegangen werden soll. Da muss der Fragesteller mal seinen Prof. befragen. Ich habe nur auf diese Möglichkeit hingewiesen, weil bei dem Stichwort "Arbeitspunkt" sehr häufig die lineare Näherung betrachtet wird. Und das prinzipielle Verhalten der Regelung lässt sich in der linearen Näherung beschreiben, ohne dass man die Daten im Detail kennt.
Ob eine exakte Lösung möglich ist, hängt ncht nur vom Ausfluss ab. Da ist dein Ansatz absolut vernünftig und naheliegend. Für den Zufluss lässt sich aber über die Art einer eventuellen Nichtlinearität aus der Zeichnung nichts schließen.
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
