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Lindblad-Terme in Matrixdarstellung
 
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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 18. Jul 2012 21:45    Titel: Lindblad-Terme in Matrixdarstellung Antworten mit Zitat

Hallo,

Meine Frage:

Die Thematik lautet EIT-Kühlen, ausgeschrieben und zu Deutsch:
Kühlen über e.m. induzierte Transparenz. Betrachtet werde ein
-System (ein System aus dem Grundzustand , einem stabi-
len oder metastabilen Zustand und einem angeregten Zu-
stand ). Der Hamiltonian des -Systems zusammen mit dem
Kühl- und dem Kopplungs-Laser ist in Matrixdarstellung eine -
Matrix. Deren Einträge sind im Moment irrelevant. In der Master-Gleich.



treten zwei Lindblad-Terme auf, die den Zerfall des angeregten Sys-
tems durch spontante Emission beschreiben. Diese lauten wie folgt:



mit und : Zerfallsbreite so-
wie : Anti-Kommutator. Nun soll die Matrixform von in der
Basis bestimmt werden.

Mein Ansatz:

Ich würde zunächst ein Mal den Ausdruck ausschreibe, also dann:



Na ... und nun? Wirrwarr ohne Durchblick grübelnd Hilfe Bitte um Hilfe!

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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe


Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 18. Jul 2012 23:51, insgesamt einmal bearbeitet
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 18. Jul 2012 21:52    Titel: Antworten mit Zitat

bzw. müssten doch beides -Ma-
trizen sein, oder? Analoges gilt für bzw. .

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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jul 2012 22:06    Titel: Antworten mit Zitat

Die Elemente der Matrixfom von sind gegeben durch
, mit .

Wenn die Basisvektoren orthonormal sind (was in der Regel der Fall sein sollte, wenn Sie vernuenftig gewaehlt wurden), dann kannst du die Form direkt ablesen aus deiner letzen Zeile.


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 18. Jul 2012 22:26, insgesamt einmal bearbeitet
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 18. Jul 2012 22:23    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke schon, dass sie orthonormal sind.
Mit folgt:


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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jul 2012 22:32    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:


Nein. Das haengt von der Forn von ab. Zum Beispiel


PS: FYI, Ich hab uebrigens nicht Dein nachgerechnet, sondern Dein Ergebnis aus dem ersten Beitrag benutzt.
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jul 2012 22:36    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:


Gerade noch was gesehen:
ist spurlos. Die Matrixform kann also in keinem Fall proportional zur Einheitsmatrix sein.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 18. Jul 2012 23:29    Titel: Antworten mit Zitat

Ich verstehe das nicht so ganz ... ist wirklich ein Operator?
Dann muss ich ja wirklich einfach nur die Matrixelemente berechnen:



EDIT:

Es handelt sich dabei wirklich um einen Operator grübelnd Siehe diesen Link:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lindblad_superoperator Mein Problem ist
dabei im Eigentlichen nicht die Berechnung der Matrixelemente selbst,
sondern mit diesem verrückten Operator umzugehen. Ich berechne mal:





Bitte was soll das sein? Da rechne ich mich ja zu Tode ... versteh' ich nicht ...

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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jul 2012 23:36    Titel: Antworten mit Zitat

Im obigen Beitrag hab ich Dir schon ein nicht-diagonal Element gegeben, das nicht offensichtlich Null ist (zumindest wenn nicht auch diagonal ist, was ich gerade nicht seh).

Und ja, Du musst nur alle 9 Moeglichkeiten ausrechnen fuer die Matrix... mit bisschen Ueberlegen kann man die aber direct aud Deine Formel ablesen. Vielleicht am besten zu sehen an nem anderen Beispiel:
Angenommen wir haben ne Matrix

dann lautet die Darstellugn in bra-ket notation

Hoffe die Beispiel macht es klarer.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 18. Jul 2012 23:51    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für das Beispiel ... GENIAL! Wenn ich nun meine
Formel anschaue, kann ich schon mal Folgendes sagen:

1) Ich habe 6 Einträge ungleich Null in meiner Matrix
2) Ich habe daher 3 Einträge gleich Null in der Matrix
3) Gamma kommt komplett als Faktor vor die Matrix

Kopfzerbrechen bereiten wir nur noch die Terme selbst:
wie drösel ich z. B. den folgenden (ersten) Term auf?



Da ist, kommt beim Diago-
naleintrag rr also hin?
Erwartungswert von im Zustand .

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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 00:07    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:

1) Ich habe 6 Einträge ungleich Null in meiner Matrix
2) Ich habe daher 3 Einträge gleich Null in der Matrix

Nein, es sei denn Du hast einen Grund wieso zB gilt. Ob dies bei dir zutrifft weiss ich nicht, aber i.A. ist dies wohl nicht der Fall.
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:

3) Gamma kommt komplett als Faktor vor die Matrix

Ja.
TruEnemy hat Folgendes geschrieben:

..., kommt beim Diagonaleintrag rr also [latex] <e| \rho (t) |e>... hin?.

Ja.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 00:19    Titel: Antworten mit Zitat



Ich habe doch nur diese sechs Terme, ergo sechs Einträge?

: Also den Erwartungswert von als rr-Eintrag.





: Also den Erwartungswert von als gg-Eintrag.





Bei den anderen Einträgen weiß ich nicht, wie ich sie umformen kann Tanzen

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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 00:27    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:

Bei den anderen Einträgen weiß ich nicht, wie ich sie umformen kann Tanzen

Nicht umformen, einfach die Matrixelemente ausrechnen. zB

(Ergebnis siehe weiter vorne)
und dass dann fuer alle neun Moeglichkeiten.


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 19. Jul 2012 01:02, insgesamt 2-mal bearbeitet
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 00:41    Titel: Antworten mit Zitat

Nun check' ich nix mehr ... Du hast doch gesagt, dass ich die
Elemente aus der letzten Zeile meiner geposteten Formel



ablesen kann, oder nicht? Und dann hat Dein Beispiel

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
... mit bisschen Ueberlegen kann man die aber direct aud Deine Formel ablesen. Vielleicht am besten zu sehen an nem anderen Beispiel:
Angenommen wir haben ne Matrix

dann lautet die Darstellugn in bra-ket notation

Hoffe die Beispiel macht es klarer.


mir nahegelegt, dass ich dazu dieses Schema nehmen kann:



Mit C mein ich den Koeffizienten. Und nun sagst Du, ich soll
doch alle Erwartungswerte ausrechnen, ich check's nicht ...

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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 01:07    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Und nun sagst Du, ich soll
doch alle Erwartungswerte ausrechnen, ich check's nicht ...

Ja, Du musst die Erwartungswerte ausrechnen, weil nicht alle Deine Terme in der Form gegeben sind. Insbesondere dieser Term nicht: , weil selber ein Operator ist.

Die gewuenschte Form kannst du auch erhalten indem du die Vollstaendigkeit der Basis benutzt
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 06:32    Titel: Antworten mit Zitat

Nun hab' ich's verstanden. Es wundert mich allerdings stark,
dass die Aufgabe so schwer ist. Das sollte eigentlich nicht
sein. Also zumindest die Einträge für rr und gg kann ich aber
ablesen, das müsste der Erwartungswert für sein.
Für die restlichen Elemente müsste ich also wirklich explizit
den Erwartungswert berechnen, wobei ich über aller-
dings nix weiß ...

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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 19. Jul 2012 07:07    Titel: Antworten mit Zitat

was ist denn die Bedeutung dieser Lindblad-Gleichung, die ja eine Erweiterung der üblichen Dichtematrixgleichung (um nicht-hermitesche Terme?) darstellt
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 07:15    Titel: Antworten mit Zitat

Na ja, kommt drauf an was die Frage war:
Bestimmen der Matrixform ist wie gesagt sehr einfach.
Das Loesen der Gleichung nach hingegen nicht... das verwundert mich allerdings auch nicht besonders smile


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 19. Jul 2012 07:43, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 19. Jul 2012 07:33    Titel: Antworten mit Zitat

Ich meine ganz generell, wozu die Lindblad-Gleichung - unabhängig von der speziellen Form - verwendet wird ist.

Ich kenne die SGL für Zustände und die Gleichung für den Dichteoperator - alles klar soweit; aber welche Systeme beschreibe ich mit einer Lindblad-Gleichung?

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 08:51    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, aber ich wüsste nicht, was an der Matrixform leicht zu berechnen ist.
Ich schaue mir nur mal das erste Matrixelement an, welches wie folgt lautet:


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 09:13    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Sorry, aber ich wüsste nicht, was an der Matrixform leicht zu berechnen ist.
Ich schaue mir nur mal das erste Matrixelement an, welches wie folgt lautet:
...

Irgendwie krieg ich langsam das Gefuehl, dass wie wir die ganze Zeit aneinander vorbei reden und Du nicht wirklich verstehst was ich sage. Du hast doch schon berechnet und man sieht aus der Formel im alleresten Beitrag schnell an, dass

Wenn Du das nicht (relativ schnell) aus der Formel Deines ersten Beitrags siehst, solltest Du dir wirklich ueberlegen ob Du verstanden hast, was Du da aufgeschrieben hast.


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 19. Jul 2012 09:27, insgesamt einmal bearbeitet
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 09:18    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, offensichtlich habe ich es nicht verstanden!
Es war bzw. ist eine Formel für gegeben,
ich habe sie nur erst mal ausgeführt, indem ich
alles vorgegebene eingesetzt und alles ausge-
schrieben habe, mehr habe ich ja in meinem
Ansatz auch nicht gesagt. Diesen deinen Schritt



kann ich einfach nicht nachvollziehen.

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 19. Jul 2012 09:26, insgesamt einmal bearbeitet
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 09:26    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Nein, offensichtlich habe ich es nicht verstanden!
Es war/ist eine Formel für gegeben,
ich habe sie nur erst mal ausgeführt, indem ich
alles vorgegebene eingesetzt und alles ausge-
schrieben habe, mehr habe ich ja in meinem
Ansatz auch nicht gesagt. Diesen deinen Schritt
...
kann ich einfach nicht nachvollziehen.

Dann haben wir ja schonmal ein Problem geklaert.

Du solltest Dir nochmal ueberlegen, was die bra-ket-Notation eigentlich bedeutet. Vielleicht wirds klarer, wenn Du Dir bra's und ket's als Zeilen- und Spaltenvektoren vorstellst. Insbesondere solltest Du verstehen wieso fuer beliebige Zustaende gilt, dass ein Operator (Matrix) ist, jedoch eine (komplexe) Zahl.

Danach sollten meine Posts von vorher mehr Sinn machen.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 09:31    Titel: Antworten mit Zitat

Mir ist das soweit schon klar, aber komme trotzdem nicht weiter. Ich geb' auf.
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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 09:35    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Mir ist das soweit schon klar, aber komme trotzdem nicht weiter. Ich geb' auf.

Sorry, aber dann versteh ich leider auch nicht was Dein Problem ist:
von links rauf und von rechts und ausnutzen, dass die meisten Skalarprodukte 0 oder 1 sind...

... sorry, aber ich seh da gerade wirklich nicht das Problem, wenn Du verstanden hast was bra's und ket's sind.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 09:48    Titel: Antworten mit Zitat



Nutze :

1. Term fällt weg, da
2. Term gibt
3. Term gibt
4. Term fällt weg, da
5. Term gibt
6. Term gibt

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 19. Jul 2012 10:25, insgesamt 3-mal bearbeitet
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 09:54    Titel: Antworten mit Zitat

Wieso kannst Du den 2ten ausrechnen aber nicht den 5ten? Das sind doch dieselben... (3 und 6 ebenso) ...
Kurz: 1ter=3ter=0, aller 4 anderen geben fuer dieses Matirxelement dasselbe... also
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 09:58    Titel: Antworten mit Zitat

HeHe, verschrieben, ich korrigier's oben ...

EDIT: Korrigiert. Nun bereiten mir nur noch




Probleme ... hmmmmmmmmmmmmmmm ...

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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 10:07    Titel: Antworten mit Zitat

bei 3 und 4 fehlt offensichtlich noch was... das sind ja nichtmal Zahlen sondern bra's die da rauskommen, wenn das stimmen wuerde...
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 10:27    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt, hatte was vergessen, oben sollte es nun stimmen ... ?
KP, wieso ich so krass auf dem Schlauch stand ... nun kommen
die anderen Einträge dran ... heute Nachmittag.

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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 10:28    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Stimmt, hatte was vergessen, oben sollte es nun stimmen ... ?
KP, wieso ich so krass auf dem Schlauch stand ... nun kommen
die anderen Einträge dran ... heute Nachmittag.

Schwere Geburt heute ... Augenzwinkern
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 10:31    Titel: Antworten mit Zitat

Ziemlich schwere Geburt. Ich hatte iwie 'nen derben Hänger Hammer
Dir besten Dank für Deine Mühe, aber vor allem für Deine Geduld.

Heute Nachmittag setz' ich mich an die Übrigen und poste sie dann.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 19. Jul 2012 13:28    Titel: Antworten mit Zitat

Ich trau mich nochmal, die Frage zu wiederholen:

TomS hat Folgendes geschrieben:
... ganz generell, wozu wird die Lindblad-Gleichung ... verwendet.

Ich kenne die SGL für Zustände und die Gleichung für den Dichteoperator ... welche Systeme beschreibe ich mit einer Lindblad-Gleichung?

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TruEnemy



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Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 19. Jul 2012 14:37    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich wollte auf die Frage eingehen, hatte es aber vergessen.
Am besten nahelegen kann ich es Dir wohl anhand des Skriptteils
unten im Anhang; ich selbst habe damit nicht viel am Hut. Ich höre
in diesem Semester aber eine Vorlesung 'Dissipation in Atom-Light-
Interaction', da kommt das u. a. vor. Die Vorlesung ist aber nicht
allzu leicht, zumindest für mich, als angehender Bachelor. Prost!

P.S.: Jaaa, an die Erwartungswerte setze ich mich nachher Haue / Kloppe / Schläge

Skriptteil: http://s14.directupload.net/images/120719/vhe3da23.jpg

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Beitrag TomS Verfasst am: 19. Jul 2012 19:17    Titel: Antworten mit Zitat

es geht also um offene Quantensysteme
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jul 2012 19:40    Titel: zur Lindblad Gleichung Antworten mit Zitat

Kurz und knappe Erklaerung

Vorlesungsnotizen
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 19. Jul 2012 21:00    Titel: Antworten mit Zitat

danke
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