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Potential einer homogen geladenen Kugel
 
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navix



Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 12

Beitrag navix Verfasst am: 21. Okt 2021 14:51    Titel: Potential einer homogen geladenen Kugel Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ich will das elektrostatische Potential einer homogen geladenen Kugel mit Radius berechnen.

Meine Ideen:
Die Formel für das Potential bei einer kontinuierlichen Ladungsdichte ist gegeben als



Aufgrund der Homogenität kann man die Ladungsdichte schreiben als



Wegen der Radialsymmetrie, macht es Sinn Kugelkoordinaten zu verwenden. In meinem Skript ist zudem der Hinweis gegeben, dass man den Vektor in -Richtung legen sollte, also

mit

Dann erhält man für das Integral



Ich verstehe nicht, wie man dann auf diesen Schritt kommt:



Insbesondere wie man auf diesen Wurzelausdruck kommt.

Kann mir da jemand weiterhelfen?
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6956
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 21. Okt 2021 15:25    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo hier !

Willkommen

Ist das nicht einfach der Kosinussatz, angewandt auf diesen Abstand zwischem dem Aufpunkt auf der z-Achse und dem jeweiligen Ort an der Kugel ?


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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
navix



Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 12

Beitrag navix Verfasst am: 21. Okt 2021 20:00    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, das ergibt schon mal Sinn. Danke! Das heißt ich betrachte das Integral



Das letzte Integral ist einfach , also erhält man



Mit der Substitution

ist .

Dann kann man das Integral umschreiben in



Oder vereinfacht:



Jetzt kommt nach meinem Skript Folgendes heraus:



Wurde das Integral hier stumpf "ausgerechnet" oder wieder irgendeine Art von Symmetrie ausgenutzt?
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6956
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 21. Okt 2021 20:25    Titel: Antworten mit Zitat

Was ergibt das Integral



Das ist ja von der Form



Wenn du dann die Grenzen -1 und +1 einsetzt, wirst du auf das Gesuchte kommen.

PS: Bitte mache nach

Code:
[latex]

und vor
Code:
[/latex]

keinen Zeilenumbruch, da viele Browser ein Problem haben, das richtig darzustellen. Ich habe deine Formeln alle korrigiert.

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navix



Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 12

Beitrag navix Verfasst am: 21. Okt 2021 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt hab ich es doch noch verstanden smile
Vielen Dank schnudl!

PS: Den Tipp mit den [latex] Tags werde ich mir merken.
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