Punktmasse II

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich gar nicht weiß wie ich beginnen soll:

Eine Punktmasse bewegt sich längs eines parabolischen Grafen y=0,5x²
. Die Geschwindigkeitskomponente längs der x-Achse is

Der Punkt verlässt um t=0 den Ursprung. Bestimme wie weit der Punkt sich von dem Ursprung befindet nach 1 sec und wie groß ist dann die Geschwindigkeit und die Beschleunigung? (Vorgegebene Lösung: 4m; 13,5 m/s; 37,8 m/s²)

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Zunächst einmal sollte man anfangen den Ortsvektor des Punktes als Funktion der Zeit darzustellen. In X-Richtung betrachtet handelt es sich dabei im Prinzip um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, da die Geschwindigkeit linear mit der Zeit anwächst. Die Y-Richtung ergibt sich aus der vorgegebenen Bahnform:

Hast du dann schon eine Idee, wie man von diesem Ortsvektor auf den Abstand zum Koordinatenursprung, Geschwindigkeit und Beschleunigung kommen kann?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Du kannst für die x-Koordinate und dann auch für die y-Koordinate jeweils eine Bewegungsgleichung aufstellen:

und für die y-Koordinate:

wobei Du bei der zweiten Gleichung mit den Einheiten aufpassen mußt. Eigentlich mußt Du dann nochmal alles durch Meter teilen, weil es sonst nicht passt.
In diese Gleichungen kannst Du dann das t einsetzen und mit Pythagoras die Entfernung zum Ursprung berechnen.
Wenn Du beide Gleichungen zweimal nach t ableitest, dann bekommst Du die Geschwindigkeit und die Beschleunigung v(t) und a(t) in Abhängigkeit der Zeit für beide Komponenten einzeln und kannst dann auch Geschwindigkeit und Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt ausrechnen wieder mit Pythagoras ausrechnen.
Probier' mal, ob Du damit schon was anfangen kannst.

Gruß
Marco

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Danke für eure Hilfe. Es geht mir zu schnell, ich hab's noch nicht begriffen. Können wir das langsamer angehen? smile

Als ich hätte jetzt einfach die 1 sec für t bei

eingesetzt, aber anscheinend ist das zu einfach.

Para, sehe ich das richtig, dass du y=0,5x² in die Parameterform umwandeln willst? Ich sehe aber nicht ganz wie du das machst.

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Okay, dann mal einen Schritt langsamer. In der Aufgabe steht, dass

ist. Das Heißt, dass die Geschwindigkeit in X-Richtung linear mit der Zeit zunimmt. Das kennt man aus der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, und kann deshalb in X-Richtung auch schreiben:

Jetzt haben wir schonmal die Geschwindigkeit in X-Richtung in Abhängigkeit von der Zeit. Leider hilft uns das noch nicht viel weiter, da wir keine Möglichkeit gegeben haben von dieser direkt auf die Geschwindigkeit in Y-Richtung zu schließen.

Was wir suchen ist also der Weg in X-Richtung in Abhängigkeit von der Zeit. Das Integral das Marco schon angegeben hat, liefert uns hier die auch sonst relativ bekannte Formel einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stillstand:

Der Anfangsweg fällt auch weg, da im Koordinatenursprung begonnen wird.

Damit kennen wir jetzt die Position in X-Richtung als Funktion der Zeit. Da die Kurve in der Form y(x) vorgegeben ist, ergibt sich aus dem X-Wert automatisch auch der Y-Wert, womit wir auch den Weg in Y-Richtung als Funktion der Zeit angeben können:

Also kennen wir jetzt zu jedem Zeitpunkt t den genauen Ort der Punktmasse. Vektoriell geschrieben steht dann so etwas wie in meinem ersten Post darüber. Der Parameter ist in diesem Fall passenderweise die Zeit, da sich der Ort ja mit dieser verändert.

Weißt du wie man von s(t) auf v(t) und a(t) kommt? Damit könntest du vom Ortsvektor auf den Geschwindigkeits und den Beschleunigungsvektor in Abhängigkeit der Zeit schließen um letztlich t=1s einzusetzen und alles auszurechnen.

Wird es jetzt schon etwas klarer?

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Ich hab's raus Rock

usw. für die Beschleunigung