| Autor |
Nachricht |
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
 navix Verfasst am: 16. Mai 2022 23:22 Titel: Punktmasse auf Kugeloberfläche - Lagrange 1. Art |
 |
|
Aufgabe:
Ein Massenpunkt  soll sich unter dem Einfluss des homogenen Schwerfelds der Erde auf einer Kugeloberfläche mit Radius  bewegen.
(a) Geben Sie zunächst die vorliegenden Zwangsbedingungen an. Welche kinetische und potentielle Energie besitzt das Teilchen? Formulieren Sie die Lagrange-Gleichungen 1. Art und bestimmen Sie die Zwangskräfte.
(b) Das Teilchen sei im labilen Gleichgewicht (ganz oben auf der Kugeloberfläche) und erhält eine infinitesimale Anfangsgeschwindigkeit. Bestimmen Sie die Höhe  , bei der der Massenpunkt von der Kugeloberfläche abspringt.
Hinweis: Das Teilchen verlässt die Kugeloberfläche, wenn die Zwangskraft verschwindet. Verwenden Sie auch den Energiesatz.
(c) Geben Sie nun die Lagrange-Funktion und die Lagrange-Gleichungen 2. Art an. Welche Bedeutung hat der kanonisch konjugierte Impuls der zyklisch auftretenden Koordinate?
Mein Ansatz:
Zunächst habe ich mir gedacht, dass man das Problem auf 2 Dimensionen reduzieren kann (es ist ja immerhin egal, von welcher Seite man auf die Kugel draufschaut und der Massenpunkt macht beim Herunterrollen keine Schlangenlinien). In Kugelkoordinaten verbleiben dann noch die Koordinaten  und  .
Der Massenpunkt befindet sich am Ort  . Ganz allgemein hat das System ja erstmal 3 Freiheitsgrade (in 3D), bzw. 2 (in 2D). Die Zwangsbedingung ist gegeben durch
 = r - R = 0)
Für die potentielle Energie erhält man
und für die kinetische:
wobei ich hier  verwendet habe.
____________________________________________
So jetzt hatten wir in der Vorlesung die bekannte Gleichung für Lagrange 1. Art:
Da wir uns im homogenen Schwerfeld befinden ist )
und der Gradient meiner Zwangsbedingung in Kugelkoordinaten ist doch hoffentlich
Insgesamt erhalte ich damit also
 + \lambda_1 \vec{e}_r)
Und daraus das Gleichungssystem
Und da kommen mir jetzt Zweifel. Zweite Gleichung scheint unabhängig von der Zwangsbedingung zu sein, was intuitiv für mich keinen Sinn macht.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich das irgendwie falsch in Kugelkoordinaten gemacht habe. Jemand eine Ahnung?
Liebe Grüße,
navix. |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
|
| TomS Verfasst am: 17. Mai 2022 07:14 Titel: |
|
|
Zunächst mal darfst du bei (a) den phi-Term nicht vernachlässigen, da durchaus Bahnen möglich sind, deren Richtung eine phi-Komponente aufweist. Erst in (b) wird die Bahn durch die Wahl der Anfangsbedingung entsprechend eingeschränkt.
Die Zwangsbedingung für die Lagrangefunktion
lautet
)
Die Bewegungsgleichungen kannst du natürlich durch Erweiterung der bekannten Gleichungen ohne Zwangsbedingung erhalten. Im Sinne des Lagrangeformalismus ist es jedoch sinnvoller, diese direkt aus den Euler-Lagrange-Gleichungen abzuleiten.
Für den Lagrangemultiplikator erhältst du eine vierte Gleichung
 = 0 )
In der Gleichung der Radialkoordinate erhältst du einen Zusatzterm
aus der Zwangsbedingung.
Letztere enthält die Winkelkoordinaten nicht, d.h. deren beide Bewegungsgleichungen werden nicht modifiziert. Das ist auch anschaulich klar, denn die Zwangskraft kann ja nur radial wirken.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 17. Mai 2022 12:44 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zunächst mal darfst du bei (a) den phi-Term nicht vernachlässigen, da durchaus Bahnen möglich sind, deren Richtung eine phi-Komponente aufweist. Erst in (b) wird die Bahn durch die Wahl der Anfangsbedingung entsprechend eingeschränkt. |
Hallo Tom!
Okay das bedeutet für die (a), dass ich noch einen Zusatzterm für meine kinetische Energie bekomme:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Die Zwangsbedingung [...] lautet
|
Gibt es einen Grund, warum man hier lieber die Quadrate nutzen sollte, statt  = r - R = 0) ?
Ich erhalte auch unter Einbeziehung der Phi-Komponente immer noch dieselben Differentialgleichungen. Wie kann ich diese jetzt, ganz strikt nach dem Lagrange Formalismus 1. Art, nach der Zwangskraft auflösen?
Nach zweimaligem Ableiten der Zwangsbedingung erhalte ich
Damit komme ich lediglich auf:
 |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 17. Mai 2022 16:56 Titel: |
|
|
| navix hat Folgendes geschrieben: |
|
Hier r=R=konstant einbauen
| navix hat Folgendes geschrieben: |
Insgesamt erhalte ich damit also
|
Ich glaube das stimmt
Nochmal nachschauen was  ist
Ohne phi und mit konstantem R hat man
Zuletzt bearbeitet von jmd am 17. Mai 2022 17:33, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
|
| TomS Verfasst am: 17. Mai 2022 17:14 Titel: |
|
|
| jmd hat Folgendes geschrieben: | | navix hat Folgendes geschrieben: |
|
Hier r=R=konstant einbauen |
Aber nicht vor der Ableitung der Bewegungsgleichungen.
Und natürlich außerdem Drehimpulserhaltung beachten.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 17. Mai 2022 18:30 Titel: |
|
|
| jmd hat Folgendes geschrieben: | | navix hat Folgendes geschrieben: |
|
Hier r=R=konstant einbauen
| navix hat Folgendes geschrieben: |
Insgesamt erhalte ich damit also
|
Ich glaube das stimmt
Nochmal nachschauen was ist
Ohne phi und mit konstantem R hat man
|
Hmm... Also in Kugelkoordinaten ist
 \vec{e}_r + \left( 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta} - r \dot{\phi}^2 \sin \theta \cos \theta \right) \vec{e}_\theta + \left(2 \dot{r} \dot{\phi} \sin \theta + 2r \dot{\theta} \dot{\phi} \cos \theta - r \ddot{\phi} \sin \theta \right) \vec{e}_\phi)
Die  -Komponente fällt ganz weg, für die restlichen Komponenten erhalte ich für die Komponenten:
 = -mg \cos \theta + \lambda)
 = mg \sin \theta)
Wobei dann ja wegen der Zwangsbedingung die Terme mit  und  wegfallen, d.h.:
 = -mg \cos \theta + \lambda)
 = mg \sin \theta)
Die erste Gleichung sieht zwar verdächtig nach der Energie aus, passt im Endeffekt aber doch nicht wegen dem Vorfaktor  . Ich wüsste nicht, wie man das weiter vereinfachen sollte, ohne rauszuhauen.
TomS meinte ja auch, dass ich die Zwangskraft zunächst im Allgemeinen bestimmen soll und erst in der (b) die -Komponente weglassen darf. |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 17. Mai 2022 18:52 Titel: |
|
|
Die Zwangskraft müsste so aussehen
\vec{e}_r) |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 17. Mai 2022 19:15 Titel: |
|
|
| jmd hat Folgendes geschrieben: | Die Zwangskraft müsste so aussehen
|
Hi jmd,
ist es hierbei egal, dass die Ableitungen  in dem Ausdruck vorkommen? Irgendwie muss die zweite Gleichung oder die Energie da doch einspielen.
Die Zwangskraft ist ja intuitiv gesehen einfach die Normalkraft, die die Kugeloberfläche auf das Punktteilchen auswirkt. Diese sollte doch eindeutig abhängig von r und theta gegeben sein. |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 17. Mai 2022 19:34 Titel: |
|
|
| navix hat Folgendes geschrieben: | | ist es hierbei egal, dass die Ableitungen in dem Ausdruck vorkommen? |
Egal würde ich nicht sagen. Das ergibt die Rechnung
Zumindest hier ) erkennt man deutlich die Zentripetalkraft
| navix hat Folgendes geschrieben: | | Irgendwie muss die zweite Gleichung oder die Energie da doch einspielen. |
Wir sind ja immer noch bei Lagrange 1 und da geht es um Kräfte. Erst bei Lagrange 2 geht es um Energie. Allerdings kommt dann das Gleiche raus |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 17. Mai 2022 19:57 Titel: |
|
|
| jmd hat Folgendes geschrieben: | | navix hat Folgendes geschrieben: | | ist es hierbei egal, dass die Ableitungen in dem Ausdruck vorkommen? |
Egal würde ich nicht sagen. Das ergibt die Rechnung
Zumindest hier erkennt man deutlich die Zentripetalkraft
| navix hat Folgendes geschrieben: | | Irgendwie muss die zweite Gleichung oder die Energie da doch einspielen. |
Wir sind ja immer noch bei Lagrange 1 und da geht es um Kräfte. Erst bei Lagrange 2 geht es um Energie. Allerdings kommt dann das Gleiche raus |
Verstehe. Mit dem Newton'schen Ansatz würde man ja auch auf die Differenz zwischen Normalkraft und Zentripetalkraft kommen. Und wenn man dann annimmt, dass phi = const., erhält man das gewohnte Ergebnis. |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 17. Mai 2022 20:56 Titel: |
|
|
| navix hat Folgendes geschrieben: |
Die -Komponente fällt ganz weg
|
Das gibt eine weitere Differentialgleichung
(da müsste ein Plus stehen) |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
