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Impulserhaltung in nicht abgeschlossenen Systemen
 
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Physik_Student
Gast





Beitrag Physik_Student Verfasst am: 24. Jun 2021 16:27    Titel: Impulserhaltung in nicht abgeschlossenen Systemen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich hätte mal eine Frage zur Impulserhaltung in nicht abgeschlossenen Systemen. Klar ist, dass der Impuls in abgeschlossenen Systemen, sprich Systemen, die nicht mit ihrer Umgebung wechselwirken, konstant ist.

Wir haben gerade das Thema Lagrange-Mechanik. Hier untersuchen wir z.B. Potentiale auf Impulserhaltung, wofür man das gegebene System auf Translationsinvarianz untersucht. Mathematisch bekomme ich das hin. Aber ich würde das gerne anschaulich verstehen. Denn der Impuls an sich ist ja immer erhalten, oder? Also in einem nicht abgeschlossenen System vielleicht nicht, aber wenn ich mir zu diesem System ein noch größeres betrachte, z.B. System Erde oder so, dann ist der Gesamtimpuls doch wieder erhalten, oder? Bzw. hat jemand ein Beispiel für ein System, in dem keine Impulserhaltung gilt? Wäre das dann z.B. einfach ein Potential auf das eine Kraft (z.B. Magnetfeld) wirkt?

Ich hoffe, ich konnte rüberbringen, was ich meine.
Danke im Voraus und LG

Meine Ideen:
Meine Ideen stehen im Grunde in der Frage drin.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jun 2021 16:47    Titel: Antworten mit Zitat

Zunächst mal musst du klären, welcher Impuls betrachtet wird.

Gerade im Rahmen der Lagrange-Mechanik betrachtest du ja nicht irgendeinen beliebigen Impuls, sondern einen Impuls, der als kanonisch konjugierte Größe zu einem bestimmten verallgemeinerten Ort aus der Lagrange-Funktion folgt.

Beispiel: für ein Zwei-Körper-Problem wie Sonne plus Erde ist der Schwerpunktsimpuls eine Erhaltungsgröße, die Impulse der einzelnen Körper dagegen offenbar nicht.

Du erhältst den erhaltenen Impuls durch Symmetrieüberlegungen, konkret mittels des Noether-Theorems. Entscheidend dabei ist nicht, ob das System offen oder geschlossen ist, sondern die Translationsinvarianz des Systems in einer bestimmten Koordinate. Das System Sonne plus Erde ist ausschließlich in der Schwerpunktskoordinate translationsinvariant, offenbar nicht in den Koordinaten der beiden Körper.

Es lassen sich auch geschlossene Systeme konstruieren, in denen keine Translationsinvarianz vorliegt und demzufolge auch keine Impulserhaltung gilt. Das einfachste Beispiel ist eine Potenzialstufe: diese bricht die Translationsinvarianz an einer Stelle, bei einem „Aufprall“ auf die Stufe wird ein Körper gebremst oder reflektiert, sein Impuls ist nicht erhalten. Da im Falle der Potenzialstufe die Energie des Körpers erhalten ist, würde man wohl nicht von einem offenen System sprechen.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Physik_Student
Gast





Beitrag Physik_Student Verfasst am: 24. Jun 2021 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Du erhältst den erhaltenen Impuls durch Symmetrieüberlegungen, konkret mittels des Noether-Theorems. Entscheidend dabei ist nicht, ob das System offen oder geschlossen ist, sondern die Translationsinvarianz des Systems in einer bestimmten Koordinate. Das System Sonne plus Erde ist ausschließlich in der Schwerpunktskoordinate translationsinvariant, offenbar nicht in den Koordinaten der beiden Körper.


Danke für das Beispiel! Das bedeutet, im System Sonne + Erde ist der Impuls in der Schwerpunktskoordinate erhalten, aber der Impuls der jeweiligen Körper ist nicht erhalten (denn bei einer Translation der Körper würde sich die Kraft auf den jeweiligen Körper ändern, richtig? Oder kann man das auch einfach daran sehen, dass sich der Geschwindigkeitsvektor und damit der Impuls der Körper ändert?). Was wäre in diesem System der Gesamtimpuls, da stehe ich gerade auf dem Schlauch?

Zitat:
Es lassen sich auch geschlossene Systeme konstruieren, in denen keine Translationsinvarianz vorliegt und demzufolge auch keine Impulserhaltung gilt. Das einfachste Beispiel ist eine Potenzialstufe: diese bricht die Translationsinvarianz an einer Stelle, bei einem „Aufprall“ auf die Stufe wird ein Körper gebremst oder reflektiert, sein Impuls ist nicht erhalten. Da im Falle der Potenzialstufe die Energie des Körpers erhalten ist, würde man wohl nicht von einem offenen System sprechen.


An sich klingt das logisch (das wäre dann sozusagen ein inhomogenes Potential, oder?), aber widerspricht das nicht dem Impulserhaltungssatz?

Danke und LG
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jun 2021 17:48    Titel: Antworten mit Zitat

Physik_Student hat Folgendes geschrieben:
Das bedeutet, im System Sonne + Erde ist der Impuls in der Schwerpunktskoordinate erhalten, aber der Impuls der jeweiligen Körper ist nicht erhalten (denn bei einer Translation der Körper würde sich die Kraft auf den jeweiligen Körper ändern, richtig? Oder kann man das auch einfach daran sehen, dass sich der Geschwindigkeitsvektor und damit der Impuls der Körper ändert?).

Letzteres ist richtig, aber nicht die Intention des Noether-Theorems. Du kannst ohne explizite Lösung der Bewegungsgleichungen erkennen, ob eine Größe erhalten ist

Physik_Student hat Folgendes geschrieben:
Was wäre in diesem System der Gesamtimpuls, da stehe ich gerade auf dem Schlauch?




Physik_Student hat Folgendes geschrieben:
An sich klingt das logisch (das wäre dann sozusagen ein inhomogenes Potential, oder?), aber widerspricht das nicht dem Impulserhaltungssatz?

Es ist ein ganz normales Potential V(x) als Funktion von x.

Der Impulserhaltungssatz "der Gesamtimpuls eines mechanisch abgeschlossenen Systems ist konstant" ist an der Stelle unpräzise. Was genau ist denn hier das "abgeschlossene System"?

In der Lagrange-Mechanik mit



gilt



D.h. wenn



also q zyklisch, dann ist



und somit



Im Falle V = 0 ist das erfüllt, im Falle der Potentialstufe eben nicht.

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DrStupid



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Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 24. Jun 2021 18:04    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Der Impulserhaltungssatz "der Gesamtimpuls eines mechanisch abgeschlossenen Systems ist konstant" ist an der Stelle unpräzise. Was genau ist denn hier das "abgeschlossene System"?


Ein System, das nicht mit der Umgebung wechselwirkt, ist abgeschlossen. Das Problem ist hier nicht der Impulserhaltungssatz, sondern das Potential. Welche physikalische Ursache steckt dahinter? Davon hängt ab, ob das System abgeschlossen ist oder nicht.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jun 2021 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

Wie auch immer. Was ist denn „die Umgebung“ in diesem Fall?

Wenn man schon Lagrange-Mechanik betreibt, dann kann man das auch präzise tun.

Hier: Der zu einer Größe q konjugierte Impuls p ist erhalten, wenn die Lagrange-Funktion L in q zyklisch ist. Das kann man natürlich mittels des Noether-Theorems noch verallgemeinern.

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Beitrag Physik_Student Verfasst am: 24. Jun 2021 20:10    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für die Erklärungen, jetzt ist mir eigentlich alles klar. Unter einer Sache kann ich mir noch nichts richtig vorstellen: Was ist eine Potentialstufe? Auch hier ist das mathematisch wahrscheinlich einfach eine Unstetigkeitsstelle im Potentialgraph (oder?), aber gibt es dazu vielleicht auch ein anschauliches Beispiel?

Nochmal danke und LG
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jun 2021 21:07    Titel: Antworten mit Zitat

Damit meine ich z.B.


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Beitrag Physik_Student Verfasst am: 24. Jun 2021 22:15    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Damit meine ich z.B.



Super, vielen Dank!
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 25. Jun 2021 00:38    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Was ist denn „die Umgebung“ in diesem Fall?


Die Umgebung ist alles, was nicht zum System gehört. Und um Deine nächste Frage vorweg zu nehmen: Was zum System gehört, kannst Du willkürlich festlegen.

TomS hat Folgendes geschrieben:
Wenn man schon Lagrange-Mechanik betreibt, dann kann man das auch präzise tun.


Dazu muss man nicht den Impulserhaltungssatz kritisieren.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2021 06:36    Titel: Antworten mit Zitat

Nun, im vorliegenden Fall sprechen wir von einem Körper in einem Potential. Der Impulserhaltungssatz ist verletzt. Wenn er in einem geschlossenen System immer gültig wäre, könnte man schlussfolgern, dass hier ein offenes System vorliegen muss. Dann stellt sich natürlich die Frage nach einem größeren, abgeschlossen System. Was wäre dieses System im vorliegenden Fall?

Diese Diskussion bringt den Fragesteller offensichtlich nicht weiter. .

Demzufolge formuliert man den Impulserhaltungssatz anders:

In einem System, das invariant unter räumlichen Translationen
in einer Koordinate q ist, ist der zu q konjugierte Impuls p erhalten.


Das vermeidet die fruchtlose Diskussion, passt exakt in den Kontext des Lagrangesche-Formalismus, führt automatisch zu einer geometrischen Begründung des Impulserhaltungssatzes und verweist bereits auf das Noether-Theorem.

Du musst den Weg nicht mitgehen, der Fragesteller jedoch schon, weil er den Lagrangesche Formalismus und seine Vorteile verstehen soll.

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DrStupid



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Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 25. Jun 2021 09:05    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Nun, im vorliegenden Fall sprechen wir von einem Körper in einem Potential. Der Impulserhaltungssatz ist verletzt.


Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Impuls eines abgeschlossenen Systems erhalten bleibt. Ein Körper in einem externen Potential ist kein abgeschlossenes System. Also liegt keine Verletzung des Impulserhaltungssatzes vor.

TomS hat Folgendes geschrieben:
Wenn er in einem geschlossenen System immer gültig wäre, könnte man schlussfolgern, dass hier ein offenes System vorliegen muss.


Es muss nicht offen sein. Ein geschlossenes System genügt.

TomS hat Folgendes geschrieben:
Dann stellt sich natürlich die Frage nach einem größeren, abgeschlossen System. Was wäre dieses System im vorliegenden Fall?


Genau diese Frage wurde oben gestellt. Die Antwort lautet: Ja, wenn es ein solches größeres geschlossenes System gibt, dann ist der Impuls dort erhalten.

TomS hat Folgendes geschrieben:
Diese Diskussion bringt den Fragesteller offensichtlich nicht weiter.


Warum beginnst Du sie dann? Es gab und gibt hier nicht den geringsten Grund, den Impulserhaltungssatz in Frage zu stellen. Wenn wir damit anfangen, dann landen wir irgendwann bei Münchhausen-Maschinen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2021 11:00    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Nun, im vorliegenden Fall sprechen wir von einem Körper in einem Potential. Der Impulserhaltungssatz ist verletzt.

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Impuls eines abgeschlossenen Systems erhalten bleibt. Ein Körper in einem externen Potential ist kein abgeschlossenes System. Also liegt keine Verletzung des Impulserhaltungssatzes vor.

Jetzt biegst du dir den Impulserhaltungssatz bzw. die Definition abgeschlossenen Systems so zurecht, wie er dir gerade passt. Das funktioniert aber nicht.

Schau dir den Energieerhaltungssatz an: dieser besagt (in deiner Formulierung) dass die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt. Die Energie im oben diskutierten System bleibt tatsächlich erhalten - der Impuls nicht - d.h. du hättest ein offenes System, in dem die Energie dennoch erhalten. Es fließt also Impuls nach außen ab, jedoch keine Energie.

Wie gesagt, das führt zu nichts, aber das wirst du nicht einsehen wollen.

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Dann stellt sich natürlich die Frage nach einem größeren, abgeschlossen System. Was wäre dieses System im vorliegenden Fall?

Genau diese Frage wurde oben gestellt. Die Antwort lautet: Ja, wenn es ein solches größeres geschlossenes System gibt, dann ist der Impuls dort erhalten.

Das ist nicht meine Frage. Diese lautet: Was wäre dieses (größere, abgeschlossene) System im vorliegenden Fall?



DrStupid hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Diese Diskussion bringt den Fragesteller offensichtlich nicht weiter.

Warum beginnst Du sie dann? Es gab und gibt hier nicht den geringsten Grund, den Impulserhaltungssatz in Frage zu stellen.

Es ist das altbekannte Muster.

Ich verorte den Impulserhaltungssatz im hier relevanten Kontext - der dir offensichtlich nicht vertraut ist - und schlage ein Umformulierung vor, die hier deutlich passender ist. Du verstehst nicht um was es mir geht, und natürlich bin ich wieder daran schuld. Kannst du das bitte bleiben lassen?

Was du hier schreibt
DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Es gab und gibt hier nicht den geringsten Grund, den Impulserhaltungssatz in Frage zu stellen.

ist schlicht Quatsch. Ich stelle nicht "den Impulserhaltungssatz in Frage" sondern im hier vorliegenden Kontext eine konkrete Formulierung des Impulserhaltungssatzes; nicht weil sie falsch wäre, sondern weil sie schlicht unpassend ist, wie die obige Diskussion zeigt.



Exemplarisch einige Formulierungen zur Impulserhaltung in der Lagrangeschen Mechanik:

https://users.ox.ac.uk/~math0391/CMlectures.pdf
The Lagrangian formulation of classical mechanics leads to a very clear relationship between symmetries and conserved quantities, via Noether’s theorem ... Thus translational symmetry leads to conservation of momentum.

http://philsci-archive.pitt.edu/2362/1/Part1ButterfForBub.pdf
Any discussion of symmetry in Lagrangian mechanics must include a treatment of Noether’s theorem ... it provides, for any continuous symmetry of a system’s Lagrangian, a conserved quantity called the ‘momentum conjugate to the symmetry’.

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/clas.pdf
Suppose



Then q_i is said to be ignorable or cyclic. We have the conserved quantity



(Formeln hatte ich oben schon geschrieben)

https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-09-classical-mechanics-iii-fall-2014/lecture-notes/MIT8_09F14_full.pdf
In this context, Noether’s theorem means that a symmetry implies a cyclic coordinate, which in turn produces a conservation law. If q_j is a cyclic coordinate for some j, then we can change that coordinate without changing the dynamics given by the Lagrangian, and hence there is a symmetry. Furthermore the corresponding canonical momentum p_j is conserved, meaning it is a constant through time (hier ist anzumerken, dass diese zyklische Koordinate nicht unbedingt diejenige ist, die in der ursprüngliche Formulierung von L verwendet wurde, sondern dass eine entsprechende Koordinatentransformation möglich ist).

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DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5029

Beitrag DrStupid Verfasst am: 25. Jun 2021 11:34    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Jetzt biegst du dir den Impulserhaltungssatz bzw. die Definition abgeschlossenen Systems so zurecht, wie er dir gerade passt. Das funktioniert aber nicht.

Schau dir den Energieerhaltungssatz an: dieser besagt (in deiner Formulierung) dass die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt. Die Energie im oben diskutierten System bleibt tatsächlich erhalten - der Impuls nicht - d.h. du hättest ein offenes System, in dem die Energie dennoch erhalten. Es fließt also Impuls nach außen ab, jedoch keine Energie.


Ich weiß nicht welches Problem Du da zu sehen glaubst und nach der unsachlichen Einleitung erwarte ich auch keine nachvollziehbare Erklärung. Ich bin hier raus.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2021 11:51    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Ich weiß nicht welches Problem Du da zu sehen glaubst ...

Das steht oben.

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Ich bin hier raus.

Das ist hilfreich.

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