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Lars_21
Gast
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 Lars_21 Verfasst am: 20. Apr 2021 13:10 Titel: Stein: senkrechter Wurf nach oben |
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Man wirft einen Stein senkrecht nach oben. Nach 3 Sekunden erreicht er die maximale Höhe. Wie lange braucht der Stein, um an seinen Ausgangspunkt zurückzukehren? Die Luftreibung wird dabei nicht vernachlässigt.
In der Lösung steht: Der Fall dauert länger als 3 Sekunden. Das leuchtet mir jedoch nicht ganz ein. Wie ist das zu erklären?
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 20. Apr 2021 13:47 Titel: Re: Stein: senkrechter Wurf nach oben |
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| Lars_21 hat Folgendes geschrieben: | | In der Lösung steht: Der Fall dauert länger als 3 Sekunden. Das leuchtet mir jedoch nicht ganz ein. Wie ist das zu erklären? |
Damit:
| Lars_21 hat Folgendes geschrieben: | | Die Luftreibung wird dabei nicht vernachlässigt. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 20. Apr 2021 14:20 Titel: |
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Die Luftreibung wirkt auch auf dem Weg nach oben, diese Erklärung genügt m.E. nicht.
Eine Argumentation könnte wie folgt verlaufen: unabhängig von der konkreten Form der Reibungskraft ist an jedem Ort beim Steigen die Geschwindigkeit höher als am selben Ort beim Fallen. Dies folgt aus der Energieerhaltung (die kinetische Energie muss geringer sein aufgrund der Reibungsarbeit). Somit wird für das Fallen mehr Zeit benötigt als für das Steigen.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5862
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 20. Apr 2021 16:59 Titel: |
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Ich glaube die Antwort ist nicht einfach. Die Lösung derr DGL zur Fallzeit ist aufwendig (Riccatti).
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 20. Apr 2021 17:52 Titel: |
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Ich denke, Myon hat bereits eine einleuchtende Erklärung genannt: Aufgrund der Luftreibung muss der Stein beim Einschlagen auf dem Boden eine kleinere Geschwindigkeit haben als die mit der er gestartet ist. Das gleiche Argument gilt aber in jeder Höhenposition z entlang der Flugbahn. Es gilt also:
| > |v_{ab}(z)|)
und damit:
|} < \int_0^h \! \frac{\dd z }{|v_{ab}(z)|} = t_{ab})
Viele Grüße,
Nils
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Lars_21
Gast
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| Lars_21 Verfasst am: 20. Apr 2021 20:06 Titel: |
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So ganz überzeugt mich die Begründung noch nicht. Der Stein durchläuft auf dem Rückweg exakt den gleichen Weg, im selben Medium Luft. Die Reibung wirkt auf beiden Teilstrecken. Was ist da anders?
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Zerdenker
Anmeldungsdatum: 05.08.2020
Beiträge: 77
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| Zerdenker Verfasst am: 20. Apr 2021 20:20 Titel: |
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Der Unterschied ist das beim aufsteigen bereits Reibungsarbeit verrichtet wurde. Da dem Körper keine weitere Energie zugeführt wird und auch beim fallen Reibungsarbeit verrichtet wird muss die Geschwindigkeit dort geringer sein.
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Lars_21
Gast
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| Lars_21 Verfasst am: 20. Apr 2021 20:37 Titel: |
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Ich beginne zu verstehen... Also: Beim Abwurf hat der Stein maximale kinetische Energie. Diese wird beim Aufstieg in potenzielle Energie umgewandelt. Ein Teil der kinetischen Energie wird jedoch für die Reibungsarbeit abgezweigt. Dann erreicht der Stein den Scheitelpunkt. Die maximale potenzielle Energie am Gipfel kann nun nicht vollends wieder in kinetische beim Fallen zurückverwandelt werden, da erneut Reibungsarbeit verrichtet werden muss. Okay, das leuchtet ein. Danke!
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 20. Apr 2021 21:17 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Das gleiche Argument gilt aber in jeder Höhenposition z entlang der Flugbahn. |
Genau, das hatte ich auch so gemeint! 
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 21. Apr 2021 01:51 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Genau, das hatte ich auch so gemeint! |
Ja, ich weiß. Ich fand das Argument nur so klasse, dass ich es einfach nochmal mit eigenen Worten wiederholen musste. Sorry! 
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2021 07:32 Titel: |
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Ja, das Argument ist sehr schön.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 21. Apr 2021 07:41 Titel: |
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| Lars_21 hat Folgendes geschrieben: | | So ganz überzeugt mich die Begründung noch nicht. Der Stein durchläuft auf dem Rückweg exakt den gleichen Weg, im selben Medium Luft. Die Reibung wirkt auf beiden Teilstrecken. Was ist da anders? |
Die Erklärung via Energie ist wie so oft eleganter. Aber wenn sie einen zu abstrakt ist und man bei Kräften bleiben will, kann man sich das vielleicht auch so veranschaulichen:
- Auf dem Weg nach oben wirkt die Reibung in die gleiche Richtung wie Gravitation, und verkürzt damit die Zeit zum Scheitelpunkt (im Vergleich zum reibungsfreien Fall mit gleicher Anfangs-Geschwindigkeit).
- Auf dem Weg nach unten wirkt die Reibung entgegengesetzt der Gravitation, und verlängert damit die Zeit zum Boden (im Vergleich zum reibungsfreien Fall aus gleicher Höhe).
Die Wirkung der Reibung auf die Dauer ist also für die beiden Abschnitte entgegengesetzt.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2021 08:01 Titel: |
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| A.T. hat Folgendes geschrieben: | | Auf dem Weg nach oben wirkt die Reibung in die gleiche Richtung wie Gravitation, und verkürzt damit die Zeit zum Scheitelpunkt (im Vergleich zum reibungsfreien Fall mit gleicher Anfangs-Geschwindigkeit). |
sorry, das ist falsch (oder zumindest extrem missverständlich)
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 21. Apr 2021 08:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | A.T. hat Folgendes geschrieben: | | Auf dem Weg nach oben wirkt die Reibung in die gleiche Richtung wie Gravitation, und verkürzt damit die Zeit zum Scheitelpunkt (im Vergleich zum reibungsfreien Fall mit gleicher Anfangs-Geschwindigkeit). |
sorry, das ist falsch (oder zumindest extrem missverständlich) |
Was ist daran falsch oder extrem missverständlich?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 21. Apr 2021 08:16 Titel: |
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@Nils: Danke und auch gut! Mir schwebte auch vor, das Ganze mit einer Gleichung zu formulieren, aber ich verwarf es, da ich zu kompliziert dachte.
@A.T.: Die beiden Aussagen sind m.E. schon richtig, wenn in Aussage 1 die Zeit bis zum Erreichen der Geschwindigkeit 0 gemeint ist. Allerdings folgt damit noch nicht, dass die Fallzeit grösser als die Steigzeit ist:
| A.T. hat Folgendes geschrieben: | | - Auf dem Weg nach unten wirkt die Reibung entgegengesetzt der Gravitation, und verlängert damit die Zeit zum Boden (im Vergleich zum reibungsfreien Fall aus gleicher Höhe). |
Um T(steigen, Reibung)<T(fallen, Reibung) folgern zu können, müsste man zeigen, dass die Fallzeit mit Reibung grösser ist als im Fall ohne Reibung - im letzteren Fall aber aus der Höhe, die ohne Reibung erreicht wird. Nur dann würde gelten
T(steigen, Reibung)<T(ohne Reibung)<T(fallen, Reibung)
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 21. Apr 2021 08:38 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Um T(steigen, Reibung)<T(fallen, Reibung) folgern zu können, müsste man zeigen, dass die Fallzeit mit Reibung grösser ist als im Fall ohne Reibung - im letzteren Fall aber aus der Höhe, die ohne Reibung erreicht wird. Nur dann würde gelten
T(steigen, Reibung)<T(ohne Reibung)<T(fallen, Reibung) |
Ja, ist kein Beweis im strikten Sinne. Es war nur eine Antwort auf die Frage was konkret anders ist, zwischen steigen und fallen mit Reibung. Der Energie-Ansatz ist klarer, aber abstrakter.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2021 08:39 Titel: |
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| A.T. hat Folgendes geschrieben: | | Was ist daran falsch oder extrem missverständlich? |
Sorry, nichts. Ich dachte die Aussage „[die Reibung] verkürzt die Zeit zum Scheitelpunkt im Vergleich zum reibungsfreien Fall mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit“ wäre nicht korrekt.
Aber du hast recht, deine Aussage trifft zu, auch wenn das nicht unmittelbar einsichtig ist.
Tut mir leid.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2021 10:35 Titel: |
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Ich habe das dann wie folgt nachvollzogen:
Letzteres folgt aus der Bewegungsgleichung
Das ergibt
 )
Taylor-Entwicklung in eta liefert
mit
Zwar gilt für die Geschwindigkeit auf ein und dem selben Streckenabschnitt immer
so dass dieser Streckenabschnitt in längerer Zeit durchlaufen wird, jedoch außerdem eine geringere maximale Steighöhe
woraus insgs. eine geringere Zeit
bis zur maximalen Steighöhe folgt.
Und das Ergebnis dieser beiden entgegengesetzt wirkenden Effekte war für mich keineswegs offensichtlich.
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 21. Apr 2021 11:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich habe das dann wie folgt nachvollzogen:
....
Und das Ergebnis dieser beiden entgegengesetzt wirkenden Effekte war für mich keineswegs offensichtlich. |
Du hast eine Anfangsgeschwindigkeit, und eine entgegengesetzte Beschleunigung. Wenn diese Beschleunigung größer wird (wegen Reibung) fällt die Geschwindigkeit eher auf Null.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2021 13:47 Titel: |
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Du hast recht; ich habe zu kompliziert gedacht.
Wenn nach der Zeit gefragt ist, benötigt man für diese Fragestellung nicht die Höhe, kann also deine knappe Argumentation anwenden.
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
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| A.T. Verfasst am: 21. Apr 2021 14:44 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Um T(steigen, Reibung)<T(fallen, Reibung) folgern zu können, müsste man zeigen, dass die Fallzeit mit Reibung grösser ist als im Fall ohne Reibung - im letzteren Fall aber aus der Höhe, die ohne Reibung erreicht wird. Nur dann würde gelten
T(steigen, Reibung)<T(ohne Reibung)<T(fallen, Reibung) |
Man kann auch zwei Würfe von gleicher Höhe, mit und ohne Reibung vergleichen:
- Nach oben: Mit Reibung in Richtung der Gravitation ist die benötigte Anfangsgeschwindigkeit größer, und damit auch die Durchschnittsgeschwindigkeit.
- Nach unten: Mit Reibung entgegengesetzt der Gravitation, ist die Beschleunigung kleiner, und damit auch die Durchschnittsgeschwindigkeit.
Der Einfluss der Reibung auf die Dauer ist also für die beiden Abschnitte entgegengesetzt.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 26. Apr 2021 13:06 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Steigzeit
 \cdot v_0}{\sqrt{\frac{k}{g} }\cdot g} ) |
Was mich etwas stutzig macht: hätte dieser Ausdruck nicht die Einheit einer Länge? Und wenn ich k gegen null gehen lasse, so geht bei mir t_s gegen unendlich (mit de l'Hospital). Letzteres habe ich aber nur kurz überlegt.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5862
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| Mathefix Verfasst am: 26. Apr 2021 14:33 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Steigzeit
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Was mich etwas stutzig macht: hätte dieser Ausdruck nicht die Einheit einer Länge? Und wenn ich k gegen null gehen lasse, so geht bei mir t_s gegen unendlich (mit de l'Hospital). Letzteres habe ich aber nur kurz überlegt. |
@Myon
k hat die Einheit 1/m. Damit ist die Einheit von t_s = Sekunden.
Dass t_s gegen unendlich geht, kann ich nur so erklären, dass bei k = 0 kein Luftwiderstand besteht. Die Masse steigt also unendlich lang.
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 26. Apr 2021 14:53 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Dass t_s gegen unendlich geht, kann ich nur so erklären, dass bei k = 0 kein Luftwiderstand besteht. Die Masse steigt also unendlich lang. |
Mit Gravitation?
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
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| Mathefix Verfasst am: 26. Apr 2021 15:24 Titel: |
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| A.T. hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Dass t_s gegen unendlich geht, kann ich nur so erklären, dass bei k = 0 kein Luftwiderstand besteht. Die Masse steigt also unendlich lang. |
Mit Gravitation? |
Meiner Meinung nach muss k=0 schon in der DGL gesetzt werden.
Dann ist dv/dt = -g und es handelt sich um einen senkrechten Wurf ohne Luftwiderstand:
v(t) = v_0 -g*t.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2021 15:29 Titel: |
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Der Bruch
ist nicht dimensionslos, d.h. hier
kann etwas nicht stimmen. Sind die Klammern falsch gesetzt?
Eine Divergenz läge nicht vor;
ist bei x = 0 endlich.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 26. Apr 2021 15:50 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine Divergenz läge nicht vor; |
Stimmt, Du hast recht.
@Mathefix: Entschuldige, was ich über k gegen null geschrieben habe, war ein Fehlalarm.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5862
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Apr 2021 10:20 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Der Bruch
ist nicht dimensionslos, d.h. hier
kann etwas nicht stimmen. Sind die Klammern falsch gesetzt?
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Danke für den Hinweis. Da ist die Klammer verrutscht. Die Beispielrechnung ist korrekt.
Korrektur
}{\sqrt{\frac{k}{g} }\cdot g} )
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 27. Apr 2021 11:31 Titel: |
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Gerne.
Und mit
 = \frac{\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g} } \cdot v_0\right)}{\sqrt{\frac{k}{g} } \cdot g} )
ist
 = \frac{v_0}{g} )
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