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Gorgone
Gast
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 Gorgone Verfasst am: 13. März 2021 10:32 Titel: Dipole Kraft berechnen (Taylor-Reihenentwicklung) |
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Meine Frage:
Hallo liebe Community!
Sitze gerade schon länger vor diesem Altbeispiel, komme aber leider nicht wirklich weiter:
Zwei Dipole befinden sich in der nebenstehenden
Anordnung. Berechnen Sie die Kraft mit der sie sich
anziehen unter der Voraussetzung: s << r
Hinweis: Es ist sinnvoll das Resultat als Funktion von
s/r darzustellen und eine entsprechende Taylor-Reihenentwicklung durchzuführen!
Die gegebene Anordnung ist, dass beide Dipole waagrecht nebeneinander im Abstand r liegen:
(s --- Abstand zwischen Ladungen (Q-)--------(Q+)........(Q-)-------(Q+); r... Abstand zwischen Dipolen))
Lösung: Fz ? ? 6q^2*s^2/(4?? 0r^4)
Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre bis jetzt gewesen das elektrische Feld eines Dipols aufzustellen ( (Q*s)/(2*pi*? 0r^3)) und dann jeweils die Kräfte auf die beiden Ladungen des zweiten Dipols mittels Superpositionsprinzip zu überlagern
Fges=(Q^2*s)/(2*pi*? 0)*[1/(r+(3*s)/(2))^3-1/(r+(s/2))^3]
Nur wie ich von diesem Ausdruck auf die angegebene Lösung schließen können sollte ist mir leider schleierhaft...
Wäre über jeden Vorschlag/Korrektur sehr dankbar! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 13. März 2021 11:13 Titel: |
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Ja, Du kannst die beiden Ladungen des eines Dipols im Feld des anderen Dipols betrachten. Bei der Kraft ist ein kleiner Fehler, sie müsste lauten
^3}-\frac{1}{(r+\frac{s}{2})^3}\right))
Nun eine Taylorentwicklung machen für s.
Oder Du betrachtest einfach die Coulombkräfte zwischen den 4 Ladungen und machst ebenfalls eine Taylorentwicklung, jetzt allerdings bis zum quadratischen Glied. Wahrscheinlich ist die Aufgabe eher so gemeint. |
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Gorgone
Gast
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| Gorgone Verfasst am: 13. März 2021 12:17 Titel: |
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Vielen lieben Dank schon einmal. Zum Glück befinde ich mich nicht komplett in einer Sackgasse! 
Bezüglich des Fehlers, in dem Beispiel war r als Abstand zwischen den zwei äußersten Ladungen der beiden Dipole, also nicht von der Mitte gemessen, sondern vom Ende des Dipols, welches näher am zweiten Dipol liegt bis zum Anfang des nächsten Dipols. Aus diesem Grund habe ich bei der Abstandsbemessung die Terme 1/2 s und (s+1/2s) hinzugefügt...
Aber kann man diese auch einfach weglassen?
Q-----Q......Q------Q (die Punkte wären r)[/img] |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 13. März 2021 12:48 Titel: |
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| Gorgone hat Folgendes geschrieben: | | Bezüglich des Fehlers, in dem Beispiel war r als Abstand zwischen den zwei äußersten Ladungen der beiden Dipole, also nicht von der Mitte gemessen, sondern vom Ende des Dipols, welches näher am zweiten Dipol liegt bis zum Anfang des nächsten Dipols. |
Ah OK, ich verstehe. Da s<<r, führt das auf das gleiche Ergebnis.
Ich persönlich glaube eher, dass man von den Coulombkräften zwischen den einzelnen Ladungen ausgehen sollte, denn sonst wird 2 mal eine Taylorentwicklung gemacht -einmal beim Dipolfeld und dann bei der Kraft auf die Ladungen +Q und -Q in diesem Dipolfeld. Beides führt aber wie zu erwarten auf die gleiche Kraft. |
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Gorgone
Gast
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| Gorgone Verfasst am: 13. März 2021 18:41 Titel: |
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Vielen lieben Dank! Ich bin jetzt deinem Tipp gefolgt und hab die einzelnen Kraftgleichungen zwischen den Ladungen aufgeschrieben und mittels Superpositionsprinzip addiert, nun lautet mein Ergebnis:
Fges= (Q^2/(4*pi*Eo))*(-2/s^2+2/(s+r)^2-1/(r+2s)^2-1/r^2)
Irgendwie kommt mir vor, dass das ein wenig viele Terme sind, evtl könnte man (r+2s) ungefähr (r+s) sagen da s<<r, aber wahrscheinlich habe ich da einfach wieder einen Denkfehler eingebaut...
Und unter der Gefahr mein Glück jetzt wirklich überzustrapazieren:
Leider bereitet mir zurzeit auch die Taylorentwicklung der anderen Version Kopfzerbrechen:
Ich habe es mal mit der von dir bezüglich F vorgeschlagenen Funktion probiert, also 1/(r+/-(s/2))^3 zu entwickeln:
Indem man die Wurzel des Nennerausdruckes zieht und darunter den Ausdruck (r+/-(s/2))^3 zum Quadrat nimmt (ähnlich zu der relativ karg ausgeführten Taylorentwicklung zum Potential eines Dipols siehe zum Beispiel hier matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=41348&ref=https%3A%2F%2F)
Aber irgendwie bringt mich das leider auf keinen grünen Zweig...
Nur mit der Nennerfunktion hoch 3 klappt es irendwie auch nicht wirklich...
Hättest du einen Tipp, wie man das am besten angehen könnte? Die Taylorentwicklung/Formel ist mir nämlich eig schon klar, nur sehe ich in diesem Beispiel irgendwie den Bezug zur Entwicklungsstelle/Funktion nicht wirklich...
Vielen lieben Dank nochmal, du hast mir schon wirklich weitergeholfen! [/latex] |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 14. März 2021 08:24 Titel: |
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Die anziehende Kraft zwischen den Dipolen ist, wie Du geschrieben hast
^2}+\frac{1}{(r+2s)^2}\right))
Nun kann man eine Taylor-Entwicklung machen für kleine s, s<<r.
Wenn also f(s) der Term in der Klammer ist,
=\frac{1}{r^2}-\frac{2}{(r+s)^2}+\frac{1}{(r+2s)^2})
so gilt
\approx f(0)+f^\prime(0)s+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)s^2)
Die ersten beiden Terme ergeben null, erst der Term 2. Ordnung in s ist ungleich null und führt zur angegebenen Lösung.
PS: Vielleicht ist es besser, wie im Aufgabentext angegeben die Kraft in Abhängigkeit von s/r zu schreiben und nach dieser Grösse zu entwickeln. Mit dem dimensionslosen x=s/r entwickelt man also die Funktion
=\frac{1}{r^2}\left(1-\frac{2}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+2x)^2}\right))
an der Stelle x=0. |
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Gorgone
Gast
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| Gorgone Verfasst am: 14. März 2021 12:28 Titel: |
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Habs endlich verstanden! Vielen lieben Dank für deine Hilfe, hast mich echt gerettet! Wünsch dir noch einen wunderschönen Sonntag! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 14. März 2021 17:02 Titel: |
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Gern geschehen, auch Dir noch einen angenehmen Sonntag Abend. |
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