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Nachricht |
GeorgeSc
Anmeldungsdatum: 25.01.2021
Beiträge: 1
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 GeorgeSc Verfasst am: 25. Jan 2021 15:04 Titel: Gekoppelte Masse |
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Meine Frage:
gegeben sind identische Massenpunkte welche mit einer Feder verbunden sind
Federkonstanten: k1,k2
Auslenkungen aus der Ruhelage: x1, x2
b) ich soll mit Hilfe des Newtonschen Gesetzes/Newton'schen Gesetzes zeigen,dass die auslenkung aus der ruhelage auch durch die Differentialgleichung-System (DGL System)
 \\ \ddot{x_{2} }(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{k1+k2}{m} & \frac{k2}{m}\\ \frac{k2}{m} & -\frac{k1+k2}{m}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_2 (t)\end{pmatrix} )
beschrieben werden kann
c) bestimme die Eigenwerte  und die dazugehörigen eigenvektoren  der Koeffizientienmatrix
Meine Ideen:
b) meine vermutung: ich benutze das erste Newtonsche Axion
c) fehlt mir allerdings jegliche Grundidee |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 25. Jan 2021 15:19 Titel: |
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Kannst Du bitte die vollständige Aufgabe posten, eine Skizze anfügen oder erklären, wie die Federn genau angeordnet sind? So wie ich es sehe, sind die Massen jeweils mit einer Feder k1 mit einer Wand verbunden, und zwischen Massen ist eine Feder k2?
Für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen hilft das 2. Newtonsche Prinzip, nicht das erste.
Zu c): Habt Ihr das in der linearen Algebra nicht behandelt, charakteristisches Polynom aufstellen und dessen Nullstellen finden? |
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GeorgeSch
Anmeldungsdatum: 25.01.2021
Beiträge: 4
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 25. Jan 2021 15:39 Titel: |
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zu c)
Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird.
Gegeben ist zunächst
Die Differentation sowie die Matrixmultiplikation wirken linear auf den Vektor r; die Matrix M ist außerdem zeitunabhängig.
Sei also
die Diagonalmatrix mit den zeitunabhängigen Eigenwerten.
Die Diagonalisierung erfolgt mittels einer (ebenfalls zeitunabhängigen) Matrix S, d.h.
Einsetzen liefert
Multiplikation mit S^-1 von links
Die letzte Gleichung kann mittels
geschriebene werden als
Wenn du also die Eigenwerte und damit die Diagonalmatrix kennst, kannst du dieses neue Differentialgleichungssystem lösen. Es ist entkoppelt, d.h. beide Gleichungen können mittels einer Linearkombination von e-Funktionen separat gelöst werden.
Die gekoppelten Lösungen des ursprünglichen Gleichungssystems erhältst du mittels
zurück.
Die Aufgabe (c) ist einfach ein Weg zur Lösung für Lambda und S.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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GeorgeSc.
Gast
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| GeorgeSc. Verfasst am: 26. Jan 2021 12:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | zu c)
Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird.
Gegeben ist zunächst
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woher nehme ich her für c)
das ist mir noch schleierhaft |
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GeorgeSc.
Gast
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| GeorgeSc. Verfasst am: 26. Jan 2021 12:35 Titel: Re: Gekoppelte Masse |
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für b) habe ich foldendes
 \\ \ddot{x_{2} }(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{k1+k2}{m} & \frac{k2}{m}\\ \frac{k2}{m} & -\frac{k1+k2}{m}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_2 (t)\end{pmatrix}
<br />
<br />
(-\frac{k_1+k_2}{m})² - (\frac{k_2}{m})² = 0
<br />
)
müsste ich jetzt hier die federkonstanten als Nullstellen betrachten?
so hätte ich dann
}
<br />
k_2 = t
<br />
)
oder muss ich wie folgt rechnen:
 = -\frac{k_1+k_2}{m} -\frac{k_2}{m} * x_1(t)
<br />
= \frac{-k_1}{m}*x_1(t)
<br />
<br />
\ddot{x_2}(t) = \frac{k_2}{m} + \frac{k_1+k_2}{m} * x_2(t)
<br />
= \frac{2*k_2+k_1}{m} * x_2(t)
<br />
) |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2021 14:56 Titel: |
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TomS zeigte (präzise und perfekt wie immer;)), wie grundsätzlich ein solches Problem gelöst wird. Insbesondere sieht man daraus, wie man später aus der Lösung des entkoppelten Systems nach der Diagonalisierung, r', wieder auf die Lösung des gekoppelten Systems, r, kommt.
In b) geht es nur darum zu zeigen, wie man auf das angegebene Gleichungssystem kommt.
Die Federkräfte ändern linear mit einer Dehnung/Stauchung. Betrachtet man die erste und die zweite Feder, so sind die "nach aussen" wirkenden Federkräfte
)
Dabei sind  die Federkräfte in der Ruhelage. Es muss gelten  .
Auf die erste Masse wirken in horizontaler Richtung nur diese beiden Federkräfte, und die Bewegungsgleichung lautet
)
Für die 2. Masse analog.
In c) sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix gesucht. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
=\det(M-\lambda E_n))
Aus den Eigenwerten  folgen die zugehörigen Eigenvektoren  , indem man das Gleichungssytem
löst. I.a. können zu einem Eigenwert mehrere linear unabhängige Eigenvektoren gehören. |
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GeorgeSc.
Gast
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| GeorgeSc. Verfasst am: 26. Jan 2021 15:40 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | TomS zeigte (präzise und perfekt wie immer;)), wie grundsätzlich ein solches Problem gelöst wird. Insbesondere sieht man daraus, wie man später aus der Lösung des entkoppelten Systems nach der Diagonalisierung, r', wieder auf die Lösung des gekoppelten Systems, r, kommt.
In b) geht es nur darum zu zeigen, wie man auf das angegebene Gleichungssystem kommt.
Die Federkräfte ändern linear mit einer Dehnung/Stauchung. Betrachtet man die erste und die zweite Feder, so sind die "nach aussen" wirkenden Federkräfte
oder?
Dabei sind die Federkräfte in der Ruhelage. Es muss gelten .
Auf die erste Masse wirken in horizontaler Richtung nur diese beiden Federkräfte, und die Bewegungsgleichung lautet
Für die 2. Masse analog.
In c) sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix gesucht. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Aus den Eigenwerten folgen die zugehörigen Eigenvektoren , indem man das Gleichungssytem
löst. I.a. können zu einem Eigenwert mehrere linear unabhängige Eigenvektoren gehören. |
dann habe ich folgendes für die 2. masse
<br />
F_2=F_{2,0}+k_2*[x_2(t)-x_1(t)]
<br />
<br />
F_1-F_2= m*\ddot{x_2}(t)=-k_1*x_2-k_2*(x_2-x_1)
<br />
)
Dann stelle ich die Gleichungen für  und  so um dass ich auf einer Seite null stehen habe, sprich
=0
<br />
m*\ddot{x_2}+k_1*x_2+k_2(x_2-x_1)=0
<br />
)
sodass ich nun 2 gekoppelte DGL besitze, oder? |
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GeorgeSc.
Gast
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| GeorgeSc. Verfasst am: 26. Jan 2021 15:48 Titel: |
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ich bin mir nicht sicher, aber ich hatte als nächstes im sinn die DGL zu "entkoppeln" (?), in dem ich die beiden gekoppelten DGL miteinander addiere und subtrahiere |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2021 15:52 Titel: |
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Ja, natürlich. Die Entkopplung ist die zentrale Idee und der logische nächste Schritt.
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GeorgeSc.
Gast
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| GeorgeSc. Verfasst am: 26. Jan 2021 16:13 Titel: |
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nach der zuvor genannten Rechnung komme ich jetzt für  auf
stimmt das schon überein, oder fehlt mir noch etwas für  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2021 16:20 Titel: |
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Ich habe nicht jede Rechnung geprüft, aber das ist nicht das, was ich meine.
Es geht um
so dass die DGLs entkoppeln.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2021 16:27 Titel: |
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Mit den Bewegungsgleichungen ist b) ja gelöst, denn genau diese stehen im Gleichungssystem. Als nächstes wird in c) nach den Eigenwerten und Eigenvektoren der Abbildung/Matrix gefragt.
PS: sorry, die Antwort von TomS erst jetzt gesehen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2021 16:30 Titel: |
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Ok, klar; ich war auf (c) fixiert und habe (b) übersehen; sorry.
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GeorgeSc.
Gast
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| GeorgeSc. Verfasst am: 26. Jan 2021 17:28 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Mit den Bewegungsgleichungen ist b) ja gelöst, denn genau diese stehen im Gleichungssystem. Als nächstes wird in c) nach den Eigenwerten und Eigenvektoren der Abbildung/Matrix gefragt.
PS: sorry, die Antwort von TomS erst jetzt gesehen. |
aber hat das GLS nicht eine komplett andere Form?
Da würde doch was anderes rauskommen, oder nicht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2021 17:42 Titel: |
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Ja, das System hat eine andere Form.
Das Ziel ist, diese Form zu ändern = die Gleichungen zu entkoppeln; siehe oben.
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GeorgeSc.
Gast
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| GeorgeSc. Verfasst am: 26. Jan 2021 17:52 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ja, das System hat eine andere Form.
Das Ziel ist, diese Form zu ändern = die Gleichungen zu entkoppeln; siehe oben. |
die entkoppelte form ist
 + k_1*(x_1+x_2)=0
<br />
m*(\ddot{x_1} -\ddot{x_2}) + k_1(x_1-x_2)+2*k(x_1-x_2)=0
<br />
)
und ich soll ja zeigen, dass es durch das DGL von vorhin ebenso dargestellt werden kann
ich sehe jedoch keine Gleichheit zwischen meinen Lsgen und die in der aufgabenstellung erwähnt wurde |
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GeorgeSc.
Gast
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| GeorgeSc. Verfasst am: 26. Jan 2021 18:28 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | zu c)
Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird.
Gegeben ist zunächst
Die Differentation sowie die Matrixmultiplikation wirken linear auf den Vektor r; die Matrix M ist außerdem zeitunabhängig.
Sei also
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Wenn ich jetzt die Matrix
betrachte, kann ich das Problem aus aufgabe b) nicht auch mit dem charakteristischen Polynom löse?
allerdings wüsste ich nicht, wie ich ab lösen der NS weitermachen soll, da ich dann 4 Lösungen hätte |
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GeorgeSch
Anmeldungsdatum: 25.01.2021
Beiträge: 4
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| GeorgeSch Verfasst am: 26. Jan 2021 20:05 Titel: |
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ich habe es jetzt mal versucht und bekomme
*\lambda+\lambda_1*\lambda_2 )
wenn ich jetzt aber die NS ermittle, sind diese dann auch das  , welche die Eigenwerte darstellen? |
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GeorgeSch
Anmeldungsdatum: 25.01.2021
Beiträge: 4
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| GeorgeSch Verfasst am: 26. Jan 2021 20:55 Titel: |
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dann habe ich für C) die Eigenvektoren , v_2=(0,1) ) |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2021 22:34 Titel: |
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Noch einmal kurz zu b): es geht wie gesagt nur darum, zu zeigen, dass das angegebene System von Differentialgleichungen das System beschreibt.
Oben wurde begründet, dass für die beiden Massen die Bewegungsgleichungen
)
)
gelten. Vielleicht könnte man das noch ausführlicher tun mit den Längen der entspannten Federn, die sich dann wieder herausheben, aber ich denke nicht, dass das nötig ist. Die Federkräfte ändern jeweils linear zu einer Verlängerung/Verkürzung der Feder.
Auf jeden Fall stehen genau diese Gleichungen (nach Division durch m) im gegebenen Gleichungssystem - einfach einmal die Matrixmultiplikation ausführen.
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Polynoms
=\det(M-\lambda E_n)=(\frac{k_1+k_2}{m}-\lambda)^2-(\frac{k_2}{m})^2) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2021 22:38 Titel: |
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Sorry, das geht etwas durcheinander.
Du sollst die Eigenwerte bzgl. der noch nicht diagonalisierten Matrix bestimmen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird.
Gegeben ist zunächst
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mit
und
| Myon hat Folgendes geschrieben: | ... die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
|
also
 = \det \begin{pmatrix} -\frac{k1+k2}{m} - \lambda & \frac{k2}{m}\\ \frac{k2}{m} & -\frac{k1+k2}{m} - \lambda \end{pmatrix} = 0 )
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