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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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 index_razor Verfasst am: 10. Dez 2020 18:20 Titel: Darstellung von Spin-Zuständen II |
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Verstehe auch nicht so recht, wozu die Sperrung gut sein soll. Ich wurde davon überrascht, als ich gerade folgende Antwort schreiben wollte (kann gern dahin verschoben werden):
| terminus hat Folgendes geschrieben: | dass der Betrag einer komplexen Zahl die Länge der Hypothenuse im R² ist, und dass viele komplexe Zahlen dieselbe Länge haben können (eben alle auf dem Einheiskreis, wenn Betrag=1), ist egentlich klar.
Aber wo wird hier irgendwo von Beträgen geredet?
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In der Formulierung der Eigenschaften von Phasenfaktoren wird von Beträgen geredet. In dem Satz von Susskind wird von Phasenfaktoren geredet. Da du nicht weißt, was ein Phasenfaktor ist, verstehst du die Aussage von Susskind nicht. Daß du denkst, du verstündest lediglich die Folgerung (b1) nicht, ist eine Selbsttäuschung. In Wahrheit verstehst du überhaupt nicht, wovon Susskind hier redet. Dafür mußt du erst verstehen, was Phasenfaktoren sind.
| Zitat: |
Im Satz (b) von Susskind ist jedenfalls nur von au und ad die Rede, nicht aber von ihren Beträgen.
Dass sie laut (1) normiert sind, wurde in (a) formuliert.
Aber was hat das in (b) jetzt mit Beträgen und e-Funktionen zu tun? |
In Aussage (b) ist von Phasenfaktoren die Rede. Ein Phasenfaktor hat die Form  , sprich: "e hoch i phi". Dies hat also (b) mit "e-Funktionen" zu tun.
Ich rede überhaupt nicht von der Normierungsbedingung (a)  . Bring das nicht durcheinander. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 10. Dez 2020 18:50 Titel: |
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ich verstehe das mit dem e hoch i phi als andere Schreibweise von
c=x +iy, mit x und y = reell.
eben in Polarkoordinaten
c= e^(i phi) = cos (phi) + i sin(phi) (im Einheitskreis) (berichtigt)
In der Grundaussage von Susskind ist aber nur von den je 2 reellen Komponenten die Rede, die jetzt 1 Freiheitgrad weniger haben sollen (nicht mehr 4, auch nicht mehr 3 laut Normierungsbedingung , sondern nur noch 2).
ich verstehe weder, was hier jetzt ein "Phasenfaktor" sein soll, noch wie er hier als Zusatzbedingung die Freiheitsgrade "einengt".
_________________
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 10. Dez 2020 19:10, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Dez 2020 19:08 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | ich verstehe das mit dem e hoch i phi als andere Schreibweise von
c=x +iy, mit x und y = rell.
eben in Polarkoordinaten
c=sin(phi) +icos(phi)
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Das sollte wohl besser  + i\sin(\phi)) heißen. Abgesehen davon bedeutet es genau, daß der Betrag |c|=1 ist.
| Zitat: |
In der Grundaussage von Susskind ist aber nur von den je 2 reellen Komponenten die Rede, die jetzt 1 Freiheitgrad weniger haben sollen (nicht mehr 4, auch nicht mehr 3 laut Normierungsbedingung , sondern nur noch 2).
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In den Aussagen von Susskind ist von ursprünglich 4 reellen (oder 2 komplexen) Parametern die Rede. Davon verschwindet der erste, wegen der Normierungsbedingung an den Zustand. Von den verbleibenden 3 ist einer redundant, weil Multiplikation mit einem beliebigen Phasenfaktor, welcher durch eine reelle Zahl parametrisiert wird, den Zustand nicht ändert, den diese 3 Parameter definieren. Weil also ein Parameter redundant ist, kann man ihn (im Rahmen der bereits gewählten Normierungsbedingung) beliebig fixieren. Man kann z.B. fordern, daß er gleich null sein soll. Damit bleiben dann noch 2 Parameter übrig. Welcher Schritt in diesem Argument ist dir unverständlich?
| Zitat: |
ich verstehe weder, was hier jetzt ein "Phasenfaktor" sein soll, noch wie er hier als Zusatzbedingung die Freiheitsgrade "einengt". |
Ein Phasenfaktor ist im wesentlichen genau das, was du oben selbst definiert hast  +i\sin(\phi) \equiv e^{i\phi}) . Wieso er Freiheitsgrade einschränkt, habe ich jetzt schon mehrmals beschrieben. Wenn wir hier vorankommen wollen, mußt du genauer erklären, was du daran nicht verstehst. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 10. Dez 2020 19:15 Titel: |
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| Zitat: | | Von den verbleibenden 3 ist einer redundant, weil Multiplikation mit einem beliebigen Phasenfaktor, welcher durch eine reelle Zahl parametrisiert wird, den Zustand nicht ändert, den diese 3 Parameter definieren. |
verstehe ich nicht, was willst du damit sagen?
e^i phi lese ich immer noch als Polarkoordinaten-Darstellung, was ist daran ein "Phasenfaktor"?
Der Winkel phi gehört zu c wie x und y, da kann man doch nichts weglassen?!
warum redundant,
warum Multiplikation,
warum Phasenfaktor (verstehe immer noch nicht, was das ist, ich verstehe hier nur Polarkoordinaten)
warum parametrisiert (was ist das überhaupt)
warum und was "definieren"
und welche 3 von den 4 oder welche 2 von welchen 3 Parametern (und welcher nicht mehr) ?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Dez 2020 19:40 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Von den verbleibenden 3 ist einer redundant, weil Multiplikation mit einem beliebigen Phasenfaktor, welcher durch eine reelle Zahl parametrisiert wird, den Zustand nicht ändert, den diese 3 Parameter definieren. |
verstehe ich nicht, was willst du damit sagen?
e^i phi lese ich immer noch als Polarkoordinaten-Darstellung, was ist dran ein "Phasenfaktor"?
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Man nennt es einfach so. Eine Phase ist das Argument innerhalb einer Winkelfunktion. Wegen  ist das ganze Ding also ein komplexer Phasenfaktor.
Weil man die drei Parameter auf eine gewisse Weise (siehe unten) ändern kann, ohne daß sich die physikalischen Eigenschaften ändern. Deswegen ist die Beschreibung durch drei Parameter redundant.
| Zitat: |
warum Multiplikation,
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Weil das nun mal die Art von Änderung ist, die die physikalischen Eigenschaften des Zustands gleich läßt.
Starte mit irgendeinem Zustand
})
Ich habe hier die beiden komplexen Koeffizienten mittels "Polarkoordinatendarstellung" durch vier reelle Zahlen r,q,a,b ausgedrückt. Nun multpliziere ich das ganze mit . Ergebnis
}|u\rangle + qe^{i(b+\phi)}|d\rangle\qquad\text{(2)})
Das ist derselbe Zustand wie (1), und zwar für alle  . Ich kann also an jeder Stelle, wo ich vorher (1) verwendet habe, nun (2) verwenden. Da ich dies aber für alle tun kann, kann ich es auch für, sagen wir,  tun. Damit erhalte ich dann (wegen  )
}|d\rangle.)
Daran sieht man, daß die physikalischen Eigenschaften von (1) nicht von q,r, a und b abhängen, sondern nur von q, r und der Differenz  , d.h.
Damit stehen jetzt in der Gleichung nur noch drei reelle Parameter r,q und  . Davon verschwindet ein weiterer wegen  . Bleibt
Jetzt beschreiben nur noch 2 reelle Parameter den kompletten Zustand. Und mehr benötigt man auch nicht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 10. Dez 2020 20:07 Titel: Re: Topic Spinzustände öffnen! |
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Ich denke, die Diskussion geht hier aktuell vernünftig weiter.
Ich erwarte ich, dass du - terminus - dich ernsthaft mit den Erklärungen auseinandersetzt, die Rechnungen selbst Schritt für Schritt durchgehst und bei Verständnisproblemen konkret angibst, an welcher Stelle du welches Problem siehst. Ein pauschales „Ich verstehe es nicht“ bringt gar nichts.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Dez 2020 06:36, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 10. Dez 2020 23:57 Titel: |
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Nochmal eine Darstellung, ausschließlich auf Basis bereits diskutierter Konzepte:
mit zwei komplexen Zahlen und damit vier reellen Parametern
wobei r_u den Betrag der komplexen Zahl alpha_u darstellt (analog für d)
Daraus folgt
Bedingung (1)
Daraus folgt
Die komplexen Phasenfaktoren fallen heraus.
Nun führe ich eine etwas andere Parametrisierung als index_razor ein, die explizit auf zwei Winkeln basiert (und die zwar eine neue Mehrdeutigkeit enthält, was jedoch im folgenden nicht stört)
Für beliebige Winkel theta gilt
Damit führt der Ansatz
sofort auf das gewünschte
Damit erhalten wir eine Darstellung mit drei Parametern
Der Vektor ist normiert.
Bedingung (2) mit beliebigem Winkel phi
Wir schreiben
} \right) \, |d\rangle )
Nun identifizieren wir
d.h. wir können schreiben
} \right) \, |d\rangle \sim \left( \cos\theta \, |u\rangle + \sin\theta \, e^{i\psi} \right) \, |d\rangle )
Der Phasenfaktor wurde eliminiert.
Es bleiben zwei reelle Parameter theta, psi anstelle der ursprünglichen zwei komplexen (= vier reellen) Parameter in alpha_u,d
 \, |d\rangle )
Ich würde dich jetzt bitten, das explizit durchzurechnen; die notwendigen Konzepte sollten dir alle bekannt sein! Außerdem solltest du dir klarmachen, dass und warum die Parameter von vier auf zwei reduziert werden.
Ich habe das jetzt wirklich Schritt für Schritt vorgerechnet. Falls etwas unklar ist, bitte den genauen Punkt benennen!
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 11. Dez 2020 09:44 Titel: |
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danke, aber ich kann einfach nicht mit den komplexen Zahlen rechnen wie ihr das tut (und daher auch nicht nachrechnen), und das ganze Tohuwabohu mit den Faktoren und Kets und Beträgen und Winkeln und trigonometrischen e-Funktionen und warum man hier und da einfach was neues definieren und einsetzen kann, das kann ich mir schlicht nicht vorstellen und auch nicht nachvollziehen (reelle Spalten- und Zeilenvektoren geht grade noch).
Allein schon die 3 Orthonormalbasen kann ich mir nicht vorstellen, wie sie im Raum orientiert und gegeneinander "verdreht" sind, geschweigedenn, wie irgendwelche Funktionsgrafen aus multiplizierten und/oder addierten Vektoren mit Winkel phi hier und Winkel psi da und Winkel theta dort darin aussehen
- zu viele Buchstaben.
Sogar schon das Schreiben und c+p von Formeln aus einem Beitrag ist eine Qual.
Ich gebs beser auf.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 11. Dez 2020 10:06 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | danke, aber ich kann einfach nicht mit den komplexen Zahlen rechnen wie ihr das tut (und daher auch nicht nachrechnen) |
Das sowie lineare Algebra einschließlich Matrizenrechnung ist Grundvoraussetzung. Wenn du in Mathe gut bist, ist es aber kein Problem, sich das selbst beizubringen.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | ... und warum man hier und da einfach was neues definieren und einsetzen kann, das kann ich mir schlicht nicht vorstellen und auch nicht nachvollziehen |
Wie immer, mach doch mal eine Beispiel. Du sträubst dich konsequent dagegen, auf den Punkt zu kommen.
„warum kann man nach dieser Gleichung A = B ein X = ... definieren und in die Gleichung einsetzen?“
Mit so einer Frage wird ein Schuh daraus!
Das Neue fällt ja nicht vom Himmel, es dient z.B. dazu, eine bestimmte Gleichung zu lösen.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Allein schon die 3 Orthonormalbasen kann ich mir nicht vorstellen, wie sie im Raum orientiert und gegeneinander "verdreht" sind ... |
Das hatten wir schon. Bei zwei Orthonormalbasen solltest du dir das einfach in der Ebene vorstellen können, bei drei kann sich das niemand vorstellen - das hatte ich auch erwähnt. Deswegen ist es wichtig, sich einfache Beispiele geometrisch und algebraisch klarzumachen, um anschließend eine Dimension hinzuzufügen. Algebraisch funktioniert das dann analog, auch ohne konkrete Vorstellung.
Das ist letztlich Mathematik - Verallgemeinerung von Konzepten.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Ich gebs beser auf. |
Das ist eigentlich schade. Bevor du‘s ganz aufgibst, mach mal Pause mit Susskind.
Mich würde aber deine Intention interessieren. Was möchtest du eigentlich genau verstehen? Evtl. kommst du ja mit Fragen und Prosa weiter.
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