Lagrange-Mechanik, DGL aufstellen

fragesellerlol · Gast

Hallo, es geht um die Regelungstechnik. Die Vorgehensweise stammt jedoch aus der Mathematik/Physik. Es geht um ein inverses Pendel oder auch einem Doppelpendel. Beim aufstellen der (nichtlinearen) Differentialgleichungen, welche das jeweilige System beschreibt, ist die Rede von Lagrange Gleichungen/Mechanik ..

Wieso sehe ich das zum ersten Mal? Ich erinnere mich nur an ein Lagrange Optimierungsverfahren, was ich etwas länger her, in der höheren Mathematik hatte.

Ich habe schon viele DGLn aufgestellt und der Ansatz ging immer über Kräftegleichgewicht bzw. Maschen und Knotengleichungen in der Elektrotechnik. Diese Vorgehensweise im Zusammenhang mit Lagrange seh ich zum ersten Mal. Kann mich jemand bitte aufklären?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Die Lagrangesche Mechanik ist ein mächtiges Verfahren zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen und zur erweiterten Analyse dynamischer Systeme. Statt wie in der Newtonschen Mechanik direkt die Kräfte zu betrachten, konstruiert man in der Lagrangeschen Mechanik zunächst die sogenannte Lagrangefunktion L sowie durch Integration über die Zeit die Wirkung S; diese existiert für jede beliebige, mathematisch zulässige Bahnkurve. Die Behauptung ist nun, dass die Wirkung genau dann external wird, wenn die Bahnkurve der tatsächlich realisierten Bewegung entspricht. Aus dieser Forderung erhält man die sogenannten Euler-Lagrangeschen Bewegungsgleichungen. Für einfache Systeme entsprechen diese den Newtonschen Bewegungsgleichungen, es gibt jedoch auch Systeme, die man mittels der Newtonschen Mechanik praktisch nicht behandeln kann.

Für viele Systeme gilt eine standardisierte Vorgehensweise: man ermittelt die verallgemeinerten und untereinander unabhängigen Koordinaten q und Geschwindigkeit aller beteiligten Objekte. q steht für sämtliche Koordinaten sämtlicher Objekte. Anschließend formuliert man die kinetische T und die potentielle Energie V sowie die Lagrangefunktion

Diese ist vergleichsweise einfach zu ermitteln. Die Kräfte erscheinen dann als abgeleitete Größen im Rahmen der Euler-Lagrangeschen Bewegungsgleichungen

Während die o.g. Form der Lagrangefunktion nur für einfache Systeme gilt, sind die Euler-Lagrangesche-Gleichungen praktisch universell gültig.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Gestern Abend habe ich auch mal so ein Doppelpendel probiert, allerdings mit Kräften und nur Punktmassen, damit es nicht solange dauert.

https://jsfiddle.net/Veryape/8wq2aomz/

werte eingeben, Set und dann Start,

Pendel ist rechts weiter unten.

Kann man da eigentlich sagen, wenn die Gesamt- Energie gleich bleibt, dann wirds schon passen?