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BrickBardo
Anmeldungsdatum: 07.09.2020
Beiträge: 3
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 BrickBardo Verfasst am: 07. Sep 2020 08:56 Titel: Wellenfunktion Atomorbitale darstellen |
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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit der grafischen Darstellung von Wellenfunktionen wasserstoffähnlicher Atomorbitale mittels Python. Für die sphärischen s-Orbitale ist das erstmal auch kein Problem, für das 2p0 Orbital allerdings kommt ein Winkel Theta hinzu.
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Wie genau muss ich diesen Winkel behandeln? Läuft der einfach von 0 bis 2*Pi durch, ist die Funktion also von zwei Variablen abhängig?
Ich habe noch weitere Fragen, wollte aber erstmal klein einsteigen. Ich danke euch schon mal für eure Hilfe. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 07. Sep 2020 10:37 Titel: |
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Tatsächlich hast Du nicht nur r und theta, sondern auch noch phi, weil diese Lösungen in Kugelkoordinaten dargestellt sind.
In Deinem speziellen Fall besteht aber eine Symmetrie für phi. Die Formel ist also phi-unabhängig, und deshalb erscheint es in der Formel natürlich nicht. Analog dazu liegt bei n=1 auch noch eine Symmetrie bzgl. theta vor, und die Formel ist dann nur r-abhängig.
Zu Kugelkoordinaten findest Du alles auf Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten . |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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BrickBardo
Anmeldungsdatum: 07.09.2020
Beiträge: 3
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| BrickBardo Verfasst am: 07. Sep 2020 12:14 Titel: |
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Also ich habe mal die die Wellenfunktionen Psi des 1s, 2s und 3s Orbitals, nebst ihrer zugehörigen Elektronendichte 4*Pi*r²*Psi² in ein Diagramm gezeichnet. Man erkennt auch ganz klar, dass für die 2s und 3s Orbitale die Elektronendichte bei den Nullstellen der Wellenfunktionen gleich 0 ist. Für die p-Orbitale sieht das nun ähnlich aus, wenn ich den Sinus(Theta)-Faktor einfach weg lasse. Folgende Formeln habe ich verwendet:
e^{-\frac{r}{2}}
<br />
\psi_{3s} = \frac{1}{81\sqrt{3\pi}} (27-18r+2r^2)e^{-\frac{r}{3}}
<br />
\psi_{2p_{0}} = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} re^{-\frac{r}{2}}
<br />
\psi_{2p_{1}} = \frac{1}{8\sqrt{\pi}} re^{-\frac{r}{2}}
<br />
\psi_{3p_{0}} = \frac{\sqrt{2}}{81\sqrt{\pi}} (6-r)re^{-\frac{r}{3}}
<br />
)
Wollte die Bilder anhängen, leider darf man hier keine *.svg-Dateien hochaden. Aber über folgende Links sollte es gehen:
https://www.file-upload.net/download-14280031/s-orbitale.svg.html
https://www.file-upload.net/download-14280032/p-orbitale.svg.html |
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BrickBardo
Anmeldungsdatum: 07.09.2020
Beiträge: 3
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| BrickBardo Verfasst am: 07. Sep 2020 12:29 Titel: |
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Mein nächster Schritt wäre nun die Visualisierung der Elektronendichte in der üblichen Darstellung der "Hanteln" und "Kugeln". TomS hatte ja schon einen Link gepostet, wie das typischerweise aussieht. Jetzt wird es schwierig (für mich), weil ich nicht weiß, welche Formeln man dazu benutzt. Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich, wo ich mich da einlesen kann? |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 07. Sep 2020 12:33 Titel: |
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Irgend etwas scheint bei dem Download nicht zu stimmen. Zwar konnte ich beide Dateien öffnen, aber zwischendurch hat man mir eine 11MB-zip-Datei und auch eine .exe-Datei angeboten - die wollte ich wirklich nicht haben...
Aber grundsätzlich: Deine Plots sind eindimensional. Eindimensional kannst Du nur plotten, wenn Du nur eine r-Abhängigkeit hast. Das ist aber nicht das, was Du willst.
Leider weiß ich nicht, ob Python 3D-Plots unterstützt. Entweder musst Du in Python einen entsprechenden Plot-Typ wählen, oder eine andere Software suchen.
Es ist ziemlich schwierig, die Dichte in 3D so zu plotten, dass man daraus auch noch vernünftige Informationen ablesen kann. Oft werden deshalb die Orbitale bei z.B. 90% Aufenthaltswahrscheinlichkeit geplottet; Du kannst aber auch Äquipotentialflächen plotten. Es kommt halt darauf an, was Du haben bzw. sehen und ablesen willst. |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 07. Sep 2020 12:44 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Leider weiß ich nicht, ob Python 3D-Plots unterstützt. Entweder musst Du in Python einen entsprechenden Plot-Typ wählen, oder eine andere Software suchen. |
Python ist da sehr gut ausgestattet.
Ob blender oder was was ich welche Lib, da findest du sicher etwas. 
http://www.magben.de/?h1=mathematik_fuer_ingenieure_mit_python&h2=y_lm_mayavi |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 07. Sep 2020 13:54 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Python ist da sehr gut ausgestattet. |
Interessant. Wie ich soeben gesehen habe, gibt es für die Kugelflächenfunktionen sogar eine Standardfunktion.
| BrickBardo hat Folgendes geschrieben: | | Jetzt wird es schwierig (für mich), weil ich nicht weiß, welche Formeln man dazu benutzt. Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich, wo ich mich da einlesen kann? |
Man verwendet Funktionen wie die von Dir genannten.
Schwierig ist das nicht nur für Dich, sondern für jeden, wenn man keine vorgefertigten Funktionen verwenden kann oder will. Das Problem ist ja, dass Dir diese Funktionen lediglich für jeden Punkt eine Dichte liefern. Das ist nur ein Feld; Du möchtest aber eine Oberfläche.
Diese Oberfläche kannst Du einfach definieren, indem Du schreibst Psi(r,theta,phi)=x. Das ist aber lediglich die Definition der Oberfläche.
Um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf z.B. 90% innerhalb der gesuchten Oberfläche zu bestimmen, musst Du nun x bestimmen. Ich denke, das ist in diesem Fall nur möglich, indem Du das gesamte Volumen im Bereich Psi>x integrierst, und die so erhaltene Summe durch Veränderung von x an die 90% annäherst.
Wenn Du x hast, musst Du wiederum im Feld Psi die Oberfläche für x suchen. Das ist einfacher gesagt als getan. Ich habe einmal so einen Algorithmus entwickelt, also der mir dann ein Dreiecksnetz berechnet hat. Ich weiß nicht mehr genau, aber ein paar Tausend Zeilen Code waren das schon. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2020 23:29 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | Diese Oberfläche kannst Du einfach definieren, indem Du schreibst Psi(r,theta,phi)=x. Das ist aber lediglich die Definition der Oberfläche.
Um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf z.B. 90% innerhalb der gesuchten Oberfläche zu bestimmen ... |
Der entscheidende Punkt ist, dass es sich nicht um eine zusammenhängende Fläche und demzufolge auch nicht um einen zusammenhängenden Raumbereich handelt. Orbitale zerfallen in disjunkte Komponenten. Man erkennt bereits bei den s-Orbitalen sehr leicht, dass zwiebelschalenähnliche Bereiche vorliegen.
Man betrachte Flächen S mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte p auf S
mit Komponenten
und Volumenintegralen
 = \int_{B_k} d^3x \, |\psi_{nlm}|^2)
 = \sum_k I_k(p) )
so dass innerhalb der von den S_k begrenzten Raumbereiche B_k
eine Wahrscheinlichkeit P vorliegt. Die S_k und B_k hängen implizit von p ab. Aus Vorgabe von P und “Suche” über die Flächen mit konstantem p folgt letztlich der Raumbereich B, d.h. das Orbital zu nlm:
 : I(p) \stackrel{!}{=} P)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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