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Nachricht |
SandraS
Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16
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 SandraS Verfasst am: 20. Jun 2020 22:59 Titel: Fluss durch Hohlkugel |
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Meine Frage:
Hallo,
ich möchte den Fluss  des Feldes  durch die Oberfläche einer Hohlkugel mit Radius R um den Ursprung berechnen, einmal durch Integration und einmal mit dem Gaußschen Satz.
Meine Ideen:
Ich würde sagen, dass (1) der Ausgangspunkt  sein soll.
Ich kenne die Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten:
} \partial_{\theta} e_{\theta} \sin(\theta) + \frac{1}{r \sin(\theta)} \partial_{\psi} e_{\psi})
Ich weiß, dass gilt: 
(2) Ich setze also den Ausdruck in Kugelkoordinaten ein:
} \partial_{\theta} e_{\theta} \sin(\theta) + \frac{1}{r \sin(\theta)} \partial_{\psi} e_{\psi} \, \dd V )
Jetzt weiß ich nicht, wie ich die Infos zusammen bringe.
Ich dachte, (3) ich setze  und  jeweils Null, da ich glaube, dass sie keinen Beitrag liefern bzw. das Feld sich aufhebt. Richtig?
Dann bleibt nur der erste Term übrig im Integral. Ich kann noch (4) das infinitesimale Volumenelement in Kugelkoordinaten einsetzen (5) und dann kürzen. Ich erhalte  \, \dd r \dd \theta \dd \psi)
Nun weiß ich echt nicht mehr weiter. Könnt ihr mir bitte helfen?
Zuletzt bearbeitet von SandraS am 21. Jun 2020 19:14, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 21. Jun 2020 01:13 Titel: |
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Hi,
das ist etwas komplizierter. Die Divergenz von er/r² ist nämlich proportional zur Dirac-Delta-Distribution:
 = 4 \pi \delta(r))
D.h. das Volumenintegral ergibt also gerade 4pi.
Viele Grüße,
Nils
P.S.: in deinem vorletzten Integral kannst du ruhig mal ein paar Klammern spendieren. |
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SandraS
Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16
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| SandraS Verfasst am: 21. Jun 2020 19:25 Titel: |
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Hallo Nils,
danke für Deine Antwort. Ich habe es nicht verstanden. Ich habe in meinem Beitrag die Schritte, die ich gemacht habe, durchnummeriert von (1) bis (5). Sonst habe ich nichts geändert.
Meinst Du, es wird ab Schritt (5) falsch? Ich müsste Deinen Hinweis einsetzen?
Ich verstehe nicht ganz. In der Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten stehen bei mir keine Einheitsvektoren, sondern nur die Komponenten von  in  und  Richtung, richtg?
Das ganze wäre dann der Rechenweg mit Gauß, richtig?
Ich soll noch das ganze von vorne durch Integration berechnen. Was muss ich tun?
PS: Hier die Klammern:
 + \frac{1}{r \sin(\theta)} \partial_{\theta} (e_{\theta} \sin(\theta)) + \frac{1}{r \sin(\theta)} \partial_{\psi} (e_{\psi}) \, ) \dd V ) |
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SandraS
Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16
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| SandraS Verfasst am: 21. Jun 2020 19:38 Titel: |
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Ach, ich Blindfisch, jetzt sehe ich den  .
Aber brauch ich Deinen Hinweis mit der Delta-Distribution überhaupt? Wenn ich das Integral auflöse, also die Stammfunktion bilde, verschwindet das  doch einfach, oder? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Jun 2020 03:19 Titel: |
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Hi,
also prinzipiell ist dein Vorgehen richtig. Bei (2) musst du übrigens  und nicht Null "setzen", sie sind es ganz einfach, weil das E-Feld ja nur radiale Komponenten hat. .
Das Hauptproblem liegt in Schritt 5:
)
e_r ist proportional zu 1/r². Für r ungleich Null verschwindet also der Integrand, allerdings gibt es bei r = 0 eine Singularität und du kommst deshalb an dieser Stelle mit "klassischer" Integralrechnung nicht weiter. Und hier setzt mein Hinweis mit der Dirac-Delta-Distribution an.
Es gibt allerdings noch eine - vielleicht einfachere - Methode: Da nicht angegeben ist, wie die Ladungsverteilung konkret aussieht, kann man einfach annehmen, dass sich im Zentrum der Hohlkugel eine homogen geladene kleinere Kugel mit Gesamtladung Q befindet. Diese erzeugt nämlich am Ort der Hohlkugel genau das angegebene Feld. Der Vorteil ist nun, dass du jetzt einfach das Gaußsche Gesetz direkt hinschreiben kannst:
Du kannst du also die ganze Integralrechnung sparen. 
Viele Grüße
Nils |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jun 2020 07:50 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: |
Das Hauptproblem liegt in Schritt 5:
e_r ist proportional zu 1/r². Für r ungleich Null verschwindet also der Integrand, allerdings gibt es bei r = 0 eine Singularität und du kommst deshalb an dieser Stelle mit "klassischer" Integralrechnung nicht weiter. Und hier setzt mein Hinweis mit der Dirac-Delta-Distribution an.
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Da ist keine Singularität. dV enthält ein r^2. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Jun 2020 09:09 Titel: |
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Ich meinte die Singularität von e_r. |
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SandraS
Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16
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| SandraS Verfasst am: 05. Jul 2020 21:17 Titel: |
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Hallo Nils,
Hallo Community,
vielen Dank für die Antworten.
Was ist eine Singularität hier? Eine Definitionslücke? Ich sehe keine. Wo soll die sein?
Ich habe nun nochmal gerechnet mit dem Hinweis der Dirac-Delta-Distribution.
Ich habe laut Aufgabe gegeben: 
Ich kenne die Formel: 
Ich soll nun den Fluss durch die Oberfläche der Hohlkugel berechnen, einmal mit Gauß und einmal mit Integration.
Ich glaube zu wissen, dass  gleich  ist. Das wäre also der Rechenweg mit Gauß, richtig?
Ich weiß, dass  \, \dd x = 1)
Ich rechne also zusammen mit dem Hinweis:
Zunächst setze ich  in ein. Ich ziehe die Konstanten aus dem Integral nach vorne und verwende den Hinweis mit der Dirac-Delta-Distribution. Ich erhalte:
 \, \dd V )
Ich berechne das Volumenintegral (drei Integrationen) und erhalte
Ist das richtig? Ist das der Fluss durch die Oberfläche der Hohlkugel in As?
Was mache ich nun, wenn ich ohne Gauß und nur mit Integration rechnen soll? Schubst mich mal bitte.
Vielen Dank für Antworten. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 06. Jul 2020 11:21 Titel: |
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Hallo Sandra,
| SandraS hat Folgendes geschrieben: |
Was ist eine Singularität hier? Eine Definitionslücke? Ich sehe keine. Wo soll die sein?
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Wenn du das Oberflächenintegral mit Hilfe des Gaußschen Satzes lösen willst, musst du über ) integrieren. Die Funktion  ist aber an der Stelle r = 0 nicht definiert.
| SandraS hat Folgendes geschrieben: |
Ich glaube zu wissen, dass gleich ist. Das wäre also der Rechenweg mit Gauß, richtig?
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Der erste Ausdruck ist der Rechenweg über den Satz von Gauß, der zweite ist der direkte über das Oberflächenintegral.
| SandraS hat Folgendes geschrieben: |
Ich weiß, dass
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Das wäre die 1-dim. Delta-Distribution. Weiter oben im Thread sprach ich allerdings von der 3-dim. Delta-Distribution. Das sieht aber dann ähnlich aus:
 \delta(\vec{r} -\vec{a} )\, \dd \vec{r} = f(\vec{a} ))
wobei die Integration über den gesamten Raum erfolgt und f eine sog. "Testfunktion" ist (= unendlich oft diff'bare Funktion mit kompakten Träger).
| SandraS hat Folgendes geschrieben: |
Ich rechne also zusammen mit dem Hinweis:
Zunächst setze ich in ein. Ich ziehe die Konstanten aus dem Integral nach vorne und verwende den Hinweis mit der Dirac-Delta-Distribution. Ich erhalte:
Ich berechne das Volumenintegral (drei Integrationen) und erhalte
Ist das richtig? |
Nicht ganz, das Integral ergibt einfach 4 pi, dieses kürzt sich dann mit dem 1/(4 pi) vor dem Integral weg und du erhältst einfach  , in Übereinstimmung mit dem Rechenweg über das Oberflächenintegral.
Viele Grüße,
Nils |
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