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Potential einer Hohlkugel mittels Kugelflächenfunktionen
 
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Leah.Doro
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Beitrag Leah.Doro Verfasst am: 03. Dez 2023 18:12    Titel: Potential einer Hohlkugel mittels Kugelflächenfunktionen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,
Ich habe eine Aufgabe im Bereich der Elektrodynamik in der ich nicht so recht weiterkomme.
Ich soll das elektrostatische Potential und das dazugehörige elektrische Feld einer Hohlkugel mit Radius R und der Oberflächenladungsdichte

innerhalb und außerhalb der Kugel bestimmen.
Hierbei soll ich die folgende Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen verwenden:

wobei
und

Meine Ideen:
Zuerst habe ich die Taylorentwicklung und die Vektoren r und r' aufgeschrieben.



Hierbei beschreibt

Ich habe erstmal weit außerhalb der Kugel angefangen und das Potential von da aus berechnet. Hierbei gilt, dass und , da r' < r.
Dann habe ich in die Formel

Die Kugelflächenfunktion und die Flächenladungsdichte eingesetzt. Außerdem habe ich folgende Definition eingesetzt


Für habe ich dann

Raus. Allerdings fängt hier das Problem an.
Ich weiß nicht, wie ich mit Hilfe von Kugelflächenfunktionen ausdrücken kann. Hier habe ich an die Orthogonalitätsrelationen für die Deltafunktion in der Oberflächenladungsdichte gedacht.
Außerdem weiß ich nicht wie ich die berechnen kann. Ich habe über Kugelkoordinaten nachgedacht aber war nicht sicher, ob das notwendig ist.
Außerdem weiß ich leider auch nicht wie ich das ganze für das Innere der Kugel machen kann.
Meine Überlegung war, dass und .

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte,
Leah
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