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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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 GvC Verfasst am: 01. Apr 2016 16:58 Titel: |
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| gralus hat Folgendes geschrieben: | ich komme noch nicht ganz mit dem Gauß'schen Satz klar.
Man guckt sich ein ganz kleines Flächenelement an und "prüft" dann wieviele Feldlinien da durch gehen und genau das gibt der elektr. Fluss an. |
Nein, der Gaußsche Flusssatz betrachtet nicht den Fluss durch eine infinitesimal kleine Fläche, sondern den Gesamtfluss durch eine geschlossene Hüllfläche.
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 01. Apr 2016 18:03 Titel: |
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Naja ich meinte das der elektr. Fluss angbibt wieviele Feldinien durch das infinitesimale Flächenstück gehen. So wie es halt auf dem Bild gezeigt wird. Ist das nicht so gemeint?
Also ist der Gauß´sche Satz nun diese Formel da mit dem Doppelintegral? Ich bin jetzt verwirrt. Oben im ersten Absatz im Bild steht genau das, was ich hier in dem post am Anfang geschrieben habe oder?
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 01. Apr 2016 19:29 Titel: |
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Ja gut ich hab mich im Internet schlau gemacht und man meint die "Hüllfläche", dann ist das wohl im Skriptum unglücklich formuliert, leider.
Aber z.B. (9) verstehe ich nicht.
Folgendes weiß ich:
Erstmal kann man ja ) also eine "konstante" sehen, da das überall konstant ist. Also ist senkrecht auf der Fläche und überall konstant, wo der Vektor halt auf dieser steht.
Und je weiter ich von der Ladung weggehe deste kleiner ist die Feldstärke, diese nimmt um  ab. Und r ist hier der Abstand von der Ladung zur Hüllfläche.
Kann man das so sagen?
Und dann sagt man einfach, dass  ist und wenn man das in (8 ) einsetz,t kürzt sich alles weg und es kommt eben  raus.
Ist das E jetzt so einfach definiert, dass sich immer alles wegkürzt, oder warum macht man das bzw. wie geht man da für gewöhnlich vor?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 01. Apr 2016 20:51 Titel: |
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Der Gauss'sche Satz stellt (in diesem elektrostatischem Kontext) eine Verbindung des Oberflächenintegrals auf einer geschlossenen Fläche (=Fluss) zum Volumsintegral über die Ladungsdichte (= eingeschlossene Ladung) her, und besagt, dass der Fluss  gleich der eingeschlossenen Ladung/geteilt durch ist.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 01. Apr 2016 22:14 Titel: |
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Hm danke für deine Antwort, aber so wirklich ist mir das noch nicht klar. Kann jemand bitte versuchen die gestellten Fragen oben zu beantworten, vielleicht wird es mir dann klarer?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Apr 2016 09:49 Titel: |
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Eine kurze Zusammenfasung.
1. Der elektrische Fluss misst den "Fluss des elektrischen Feldes E durch eine Oberfläche S"
Dabei ist E weder betragsmäßig noch vektoriell konstant sondern zunächst beliebig. Außerdem ist die Fläche S zunächst beliebig und muss keineswegs geschlossen sein.
Bei der Integration betrachtet man sozusagen ein infinitesimales Flächenelement. Dieses hat einen Normaleneinheitsvektor n. Aufgrund des Skalaproduktes = der Projektion auf den Normaleneinheitsvektor trägt nur die senkrecht durch das Flächenelement hindurcharbeitende Feldstärke zum Fluss bei. Der infinitesimale Fluss durch ein Flächenelement dS lautet damit
Dabei ist die elektrische Feldstärke E eine Funktion des Ortes, d.h. der infinitesimale Fluss hängt ab vom Ort = der Position des Flächenelementes, der Orientierung ausgedrückt durch n sowie der Größe des Flächenelementes. In der letzten Umformung habe ich den Winkel alpha zwischen n und E eingeführt.
Das Integral entspricht der Summation über infinitesimale Flächenelemente, die zusammen die Fläche S ergeben.
2. Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche
Betrachtet man eine geschlossene Oberfläche, d.h.
so kann man dies mittels des Gaußschen Integralsatzes umformen. Dieser Satz aus der Mathematik (nicht Physik!) besagt, dass das Oberflächenintegral eines Vektorfeldes identisch ist zum Volumenintegral über die Divergenz des Vektorfeldes.
Wenn also eine geschlossene Fläche S ein Volumen V berandet
dann gilt
3. Differentielle sowie integrale Form der Maxwellgleichung
Das Gaußsche Gesetz - nicht zu verwechseln mit dem Gaußschen Integralsatz - besagt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes (an jedem Punkt) der Ladungsdichte (an jedem Punkt) entspricht
Dies ist eine der Maxwellgleichungen in differentieller Form. Setzt man diese Beziehung nun in die obigen Integrale ein, so folgt für eine geschlossene Fläche S
Dies ist die entsprechende integrale Form des Gaußschen Gesetzes. Sie verknüpft den elektrischen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche S mit der Ladungsdichte im durch die Oberfläche S umschlossenen Volumen V, d.h. letztlich mit der Ladung Q innerhalb von V.
Diese Gleichungen sind allgemeingültig, d.h. sie gelten für beliebige Volumina V mit beliebigen Oberflächen S sowie beliebigen Ladungsdichten.
Integrale und differentielle Form sind in gewisser Weise äquivalent:
Wichtig ist, zwischen dem rein mathematischen Gaußschen Integralsatz sowie dem physikalischen Gaußschen Gesetz zu unterscheiden.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 02. Apr 2016 18:34, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Apr 2016 10:26 Titel: |
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| gralus hat Folgendes geschrieben: | | Aber z.B. (9) verstehe ich nicht. |
(9) ist eine Anwendung für den Spezialfall einer Kugelfläche mit punktförmiger Ladung im Zentrum.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | | Erstmal kann man ja also eine "konstante" sehen, da das überall konstant ist. Also ist senkrecht auf der Fläche und überall konstant, wo der Vektor halt auf dieser steht. |
Der Vektor E ist nicht konstant. Konstant ist die Projektion von E auf n. Beide zeigen (in diesem Spezialfall) in radiale Richtung
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 02. Apr 2016 12:13 Titel: |
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Ok, danke, ich habs so halbwegs verstanden, aber habe noch ein paar Fragen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Eine kurze Zusammenfasung.
1. Der elektrische Fluss misst den "Fluss des elektrischen Feldes E durch eine Oberfläche S"
Dabei ist E weder betragsmäßig noch vektoriell konstant sondern zunächst beliebig. Außerdem ist die Fläche S zunächst beliebig und muss keineswegs geschlossen sein.
Bei der Integration betrachtet man sozusagen ein infinitesimales Flächenelement. Dieses hat einen Normaleneinheitsvektor n. Aufgrund des Skalaproduktes = der Projektion auf den Normaleneinheitsvektor trägt nur die senkrecht durch das Flächenelement hindurcharbeitende Feldstärke zum Fluss bei. Der infinitesimale Fluss durch ein Flächenelement dS lautet damit
Dabei ist die elektrische Feldstärke E eine Funktion des Ortes, d.h. der infinitesimale Fluss hängt ab vom Ort = der Position des Flächenelementes, der Orientierung ausgedrückt durch n sowie der Größe des Flächenelementes. In der letzten Umformung habe ich den Winkel alpha zwischen n und E eingeführt.
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1. Was bringt mir der Normaleinheitsvektor n? Was für eine Aufgabe hat der hier? Also schon klar Einheitsvektoren sind einfach Vektoren wie (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) im dreidimensionalen Raum. Aber ich verstehe hier ihre Aufgabe nicht.
2. Ja, also wenn ich mir so eine Hüllfläche auswähle, dann hab ich ja überall immer den Feldfekter  bei jedem dS. Und genau bei der gewählten Hüllfläche hat E den gleichen Wert, darum kann man das einfach mit E immer multiplizieren und über die kleinen Flächenstücke dS aufintegrieren bzw. aufsummieren. Stimmt das so?
3. Wenn man das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren bildet, dann macht man das ja folgendermaßen: ) wobei  der Winkel zwischen den Vektoren a und b ist und wenn a und b zufälligerweise senkrecht aufeinander stehen, dann kann man einfach a*b rechnen. Also wenn die Hüllfläche eine Kugel ist und die Ladung auch so Kugelförmig jetzt aussieht, wie im Skript, dann kann ich einfach sagen, dass senkrecht auf d steht, richtig? Also eigentlich ist, dass der Grund für 2.
4. Aber wie wählt man dann E endgültig, wenn ich mir die Hüllfläche(In dem Fall Kugelförmig) ausgesucht habe? Anscheinend ist dann dann einfach E=  Und naja, wenn ich jetzt dS aufintegriere, bekomme ich einfach die Oberfläche einer Kugel: Und wenn ich E und S multipliziere kürzt sich alles weg und es bleibt übrig.
Das verstehe ich nicht ganz, wie man sich das E berechnet. Normal gilt doch E=F/Q, also die Kraft, die auf das geladene Teilche liegt, geteilt durch die Ladung selbst, also wieviel Coulumb das Teilchen hat.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Apr 2016 13:04 Titel: |
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| gralus hat Folgendes geschrieben: | | 1. Was bringt mir der Normaleinheitsvektor n? Was für eine Aufgabe hat der hier? Also schon klar Einheitsvektoren sind einfach Vektoren wie (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) im dreidimensionalen Raum. Aber ich verstehe hier ihre Aufgabe nicht. |
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge Eins. Ein Normaleinheitsvektor ist ein Einheitsvektor, der auf einer gegebenen Fläche senkrecht steht. Was du meinst sind kartesische Basisvektoren. Das sind ebenfalls Einheitsvektoren, allerdings in dem hier genannten Kontext irrelevant.
In der Aufgabe ist von einer Kugelfläche die Rede. Der Normaleinheitsvektor zu dieser Kugelfläche steht auf dieser senkrecht, weist also in radiale Richtung. Das elektrische Feld einer Punktladung weist aus Symmetriegründen ebenfalls in radiale Richtung. D.h. man erhält radiale Einheitsvektoren
Der Zwischenwinkel ist Null, der Cosinus demnach Eins, es bleibt der Betrag des E-Feldes.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | | 2. Ja, also wenn ich mir so eine Hüllfläche auswähle, dann hab ich ja überall immer den Feldfekter bei jedem dS. Und genau bei der gewählten Hüllfläche hat E den gleichen Wert, darum kann man das einfach mit E immer multiplizieren und über die kleinen Flächenstücke dS aufintegrieren bzw. aufsummieren. Stimmt das so? |
Was ist dein E? Ein Vektor? Dieser Vektor ist nicht konstant, da sich seine Richtung ändert.
Ich habe die Rechnung vorgeführt. Bei dieser speziellen Wahl der Fläche und diesem speziellen E-Feld gilt letztlich
Und nur dieser Betrag (!) ist nur auf der speziell gewählten Fläche (!) konstant.
Damit folgt für das Integral
wobei E bzw. A für den konstanten Betrag (auf S) und A für die Kugelfläche steht.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | | 3. Wenn man das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren bildet, dann macht man das ja folgendermaßen: wobei der Winkel zwischen den Vektoren a und b ist und wenn a und b zufälligerweise senkrecht aufeinander stehen, dann kann man einfach a*b rechnen. Also wenn die Hüllfläche eine Kugel ist und die Ladung auch so Kugelförmig jetzt aussieht, wie im Skript, dann kann ich einfach sagen, dass senkrecht auf d steht, richtig? Also eigentlich ist, dass der Grund für 2. |
Wenn sie parallel sind, kann man die Beträge multiplizieren; wenn sie senkrecht stehen, dann ist das Skalarprodukt Null. Und das el. Feld steht nicht senkrecht auf dem "vektoriellen Flächenelement" sondern auf dem infinitesimalen Flächenstück. Wenn das Flächenstück in der Kugeloberfläche liegt, dann zeigt der Normaleneinheitsvektor in radiale Richtung.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | 4. Aber wie wählt man dann E endgültig, wenn ich mir die Hüllfläche(In dem Fall Kugelförmig) ausgesucht habe? Anscheinend ist dann dann einfach E= Und naja, wenn ich jetzt dS aufintegriere, bekomme ich einfach die Oberfläche einer Kugel: Und wenn ich E und S multipliziere kürzt sich alles weg und es bleibt übrig.
Das verstehe ich nicht ganz, wie man sich das E berechnet. Normal gilt doch E=F/Q, also die Kraft, die auf das geladene Teilche liegt, geteilt durch die Ladung selbst, also wieviel Coulumb das Teilchen hat. |
Man wählt E nicht, sondern es folgt als Lösung der Maxwellgleichungen. Und ja, im Falle einer Punktladung zeigt es genau die von dir genannte Form. Aber diese Form ist unabhängig von der speziellen Wahl der Oberfläche; letztere ist eine beliebige, gedachte Fläche, die hier der speziellen Symmetrie des Problems angepasst ist. Wenn du diese Fläche anders wählst, ändert sich das E-Feld nicht, allerdings wird die Rechnung komplizierter (weil letztlich das Skalarprodukt der Einheitsvektoren nur für diese spezielle Wahl konstant die Eins ergibt)
Die Gleichung E = F/q ist hier nicht sinnvoll. Eigtl. lautet sie F = qE und besagt, dass wenn ein Feld E vorliegt, dass dann auf eine Probeladung q eine Kraft F wirkt. Im hier vorliegenden Fall betrachten wir jedoch keine Probeladung q, sondern die Ladung Q, die das Feld erzeugt. Das Feld der Ladung Q existiert unabhängig von der Anwesendheit einer Probeladung. Alle hier vorgenommenen Betrachtungen gelten für das Feld alleine, ohne jemals den Kraftbegriff bemühen zu müssen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 02. Apr 2016 23:45 Titel: |
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ok danke, es wird besser.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | gralus hat Folgendes geschrieben: | | 1. Was bringt mir der Normaleinheitsvektor n? Was für eine Aufgabe hat der hier? Also schon klar Einheitsvektoren sind einfach Vektoren wie (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) im dreidimensionalen Raum. Aber ich verstehe hier ihre Aufgabe nicht. |
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge Eins. Ein Normaleinheitsvektor ist ein Einheitsvektor, der auf einer gegebenen Fläche senkrecht steht. Was du meinst sind kartesische Basisvektoren. Das sind ebenfalls Einheitsvektoren, allerdings in dem hier genannten Kontext irrelevant.
In der Aufgabe ist von einer Kugelfläche die Rede. Der Normaleinheitsvektor zu dieser Kugelfläche steht auf dieser senkrecht, weist also in radiale Richtung. Das elektrische Feld einer Punktladung weist aus Symmetriegründen ebenfalls in radiale Richtung. D.h. man erhält radiale Einheitsvektoren
Der Zwischenwinkel ist Null, der Cosinus demnach Eins, es bleibt der Betrag des E-Feldes. |
Naja und dS ist ja erstmal die kleine Fläche und  ist dann der Vektor, der senkrecht auf der Fläche dS steht? Bin gerade ein bisschen verwirrt.
Aber dann haben wir ja , die in dieselbe Richtung zeigen und darum gilt ja  . Was ist dann  nun? Ja du sagtest der Normaleinheitsvektor der die Länge Eins hat und der auf einer Fläche dS senkrecht steht. Soviele Vektoren hier, die multipliziert werden ist verwirrend.
Was ist jetzt was? Kann es sein, dass  ist? Und so man eben auf  kommt, da ja die E als Vektor und dS als Vektor in dieselbe Richtung zeigen und dadurch cos(0)=1 ist. Geht es hier um das?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 03. Apr 2016 06:51 Titel: |
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| gralus hat Folgendes geschrieben: | | ... und ist dann der Vektor, der senkrecht auf der Fläche dS steht? Bin gerade ein bisschen verwirrt. |
Warum?
Wir haben zunächst ein beliebiges Flächenelement, dessen Größe wir mit  und dessen Orientierung bzw. Lage im Raum wir mit beschreiben. Zusammen ergibt das
| gralus hat Folgendes geschrieben: | | Aber dann haben wir ja , die in dieselbe Richtung zeigen ... |
Ja.
Wobei wichtig ist, dass letzteres eben gerade im hier vorliegenden Spezialfall gilt, nicht jedoch allgemein. Und genau deswegen benötigt man im allgemeinen einen umfassenderen Integralbegriff.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | | Soviele Vektoren hier, die multipliziert werden ist verwirrend. |
Na ja, letztlich sind es zwei Vektoren.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | Kann es sein, dass
ist? |
Ja, natürlich.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | Und so man eben auf
kommt, |
???
| gralus hat Folgendes geschrieben: | | Geht es hier um das? |
Ja.
Auf der hier betrachteten Kugelfläche gilt wg. der hier vorliegenden Symmetrie des E-Feldes speziell
Das hatte ich oben schon geschrieben.
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 03. Apr 2016 11:12 Titel: |
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Ahh ok, danke!
Zurück zum bestimmen des elektr. Feldes:
| Zitat: | Das Gaußsche Gesetz - nicht zu verwechseln mit dem Gaußschen Integralsatz - besagt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes (an jedem Punkt) der Ladungsdichte (an jedem Punkt) entspricht
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1.
Und das ist in Stein gemeißelt sozusagen, dass gilt einfach? Okay, gut.
Und es ist auch eine Maxwellgleichung, nur in differentieller Form?
2.
Und wenn man die Maxwellgleichung löst, bekommt man dann E sagtest du und in meine Fall ist dann: 
Folgende habe ich mir nochmals durchgelesen, um herauszufinden, wie ich auf mein E käme:
| Zitat: | | Man wählt E nicht, sondern es folgt als Lösung der Maxwellgleichungen. Und ja, im Falle einer Punktladung zeigt es genau die von dir genannte Form. Aber diese Form ist unabhängig von der speziellen Wahl der Oberfläche; letztere ist eine beliebige, gedachte Fläche, die hier der speziellen Symmetrie des Problems angepasst ist. Wenn du diese Fläche anders wählst, ändert sich das E-Feld nicht, allerdings wird die Rechnung komplizierter (weil letztlich das Skalarprodukt der Einheitsvektoren nur für diese spezielle Wahl konstant die Eins ergibt) |
| Zitat: | Dies ist eine der Maxwellgleichungen in differentieller Form. Setzt man diese Beziehung nun in die obigen Integrale ein, so folgt für eine geschlossene Fläche S
Dies ist die entsprechende integrale Form des Gaußschen Gesetzes. Sie verknüpft den elektrischen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche S mit der Ladungsdichte im durch die Oberfläche S umschlossenen Volumen V, d.h. letztlich mit der Ladung Q innerhalb von V.
Diese Gleichungen sind allgemeingültig, d.h. sie gelten für beliebige Volumina V mit beliebigen Oberflächen S sowie beliebigen Ladungsdichten.
Integrale und differentielle Form sind in gewisser Weise äquivalent:
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Wie kommt man dann, auf das von mir angegebenen E?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 03. Apr 2016 20:20 Titel: |
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| gralus hat Folgendes geschrieben: | Ahh ok, danke!
Zurück zum bestimmen des elektr. Feldes:
| Zitat: | Das Gaußsche Gesetz - nicht zu verwechseln mit dem Gaußschen Integralsatz - besagt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes (an jedem Punkt) der Ladungsdichte (an jedem Punkt) entspricht
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1.
Und das ist in Stein gemeißelt sozusagen, dass gilt einfach? Okay, gut.
Und es ist auch eine Maxwellgleichung, nur in differentieller Form? |
Ja, das ist sozusagen in Stein gemeißelt. Die Maxwellgleichungen sind das Naturgesetz des Elektromagnetismus. Und die differentielle Form ist zugleich auch die fundamentalere und zumeist die gebräuchlichere.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | 2.
Und wenn man die Maxwellgleichung löst, bekommt man dann E sagtest du und in meine Fall ist dann: |
Man erhält in diesem Fall die vektorwertige Lösung
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 03. Apr 2016 20:23 Titel: |
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Zur Lösung in diesem Spezialfall solltest du doch etwas in deinem Skript finden. Ich schreib' jedoch auch gerne eine Lösungsskizze auf.
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 03. Apr 2016 20:38 Titel: |
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Äh ok, danke.
Ich hab nochmals im Skriptum geschaut, aber leider nichts genauers gefunden, außer das oben gepostete Bild.
Würde mich freuen, wenn du mir hier weiterhelfen kannst!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 04. Apr 2016 06:22 Titel: |
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Zur Lösung partieller Differentialgleichungen gibt es verschiedene Ansätze. Im vorliegenden Fall ist das etwas speziell, da eine punktförmige Ladung = eine deltafunktionsartige Ladungsdichte vorliegt.
Eine mathematisch nicht vollständig präzise Argumentation für r > 0 lautet wie folgt: die Symmetrie des Problems führt auf den Ansatz
 = f(r)\,\vec{e}_r)
Die integrale Form des Gaußschen Gesetzes lautet
Als Volumina V betrachtet man nun Kugeln mit Radius R um den Ursprung.
Die rechte Seite liefert für jedes R > 0 die Ladung Q im Ursprung
Die linke Seite liefert gemäß der obigen Diskussion
\,\vec{e}_r = \oint_{r = R}dS\,f(r) )
Nun gilt jedoch auf der Kugelfläche
|_{r = R} = f(R))
und damit ist f auf dieser Kugelfläche konstant und darf aus dem Integral herausgezogen werden. Das Integral selbst liefert dann nur noch die Fläche der Kugel mit Radius R selbst, d.h.
 = 4\pi R^2\cdot f(R))
Damit folgt aus dem Gaußschen Gesetz
 = \frac{1}{ \epsilon_0} Q )
und somit die Lösung für f(r) und damit das elektrische Feld
 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2})
Diese Eliminierung der Abhängigkeit von weiteren Koordinaten mittels geeignet gewählter Flächen ist ein recht gängiges Verfahren für Probleme mit spezieller Symmetrie.
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 04. Apr 2016 21:30 Titel: |
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Okay, danke. Vielleicht können wir das ein bisschen genauer betrachten bitte.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zur Lösung partieller Differentialgleichungen gibt es verschiedene Ansätze. Im vorliegenden Fall ist das etwas speziell, da eine punktförmige Ladung = eine deltafunktionsartige Ladungsdichte vorliegt.
Eine mathematisch nicht vollständig präzise Argumentation für r > 0 lautet wie folgt: die Symmetrie des Problems führt auf den Ansatz
|
Das ist also so ein Einsatz, wie es in mit der e-Funktion im Eindimensionalen(DGLS's) gibt?
Und das r steht für die aktuelle Seitenlänge des Würfels die man hat, oder was ist das?
Und wieso hat der Normaleneinheitsvektor ein r als Index? Weils es für jedes kleine Flächenstück einen anderen gibt? Also die liegen ja immer woanders?
| Zitat: |
Die integrale Form des Gaußschen Gesetzes lautet
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Ahja, die linke Seite ist hier einfach die Standardgleichung für den elektr. Fluss. Und die rechte seite ist der Gauß'sche Satz in Integralform. Richtig? Das ist einfach das Gesetz nur in Integralform. Und warum ist links  und rechts beim Integral nur  ?
Man braucht doch nur eine Oberfläche der Kugel hier, oder?
| Zitat: |
Als Volumina V betrachtet man nun Kugeln mit Radius R um den Ursprung.
Die rechte Seite liefert für jedes R > 0 die Ladung Q im Ursprung
|
Ja genau, dass ist hier wieder das Gauß'sche Gesetz von der Integralform in die Differentialform gebracht, richtig?
| Zitat: |
Die linke Seite liefert gemäß der obigen Diskussion
|
Hm ich verstehe nicht, wieso hier jetzt wieder die Integrale anders sind einmal mit V und dann mit R.
Und hier wird der obige Ansatz eingeführt, richtig? Aber was ist dann genau f(r), wenn f(r) mal diesen Normaleneinheitsvektor e_r genau wieder f(r) ergibt?
| Zitat: |
Nun gilt jedoch auf der Kugelfläche
und damit ist f auf dieser Kugelfläche konstant und darf aus dem Integral herausgezogen werden. Das Integral selbst liefert dann nur noch die Fläche der Kugel mit Radius R selbst, d.h.
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Was bezweckt man mit dieser Schreibweise? Also warum setzt du r=R? R ist doch einfach der Radius der Kugel. Ja gut okay du setzt einfach einen festen Wert R in f(r) ein. also f(R) eben. Wieso erkennt man da, dass f auf der Kugelfläche konstant ist? Weil man in f einen konsten Wert R einsetzt und weil da immer dasselbe rauskommt? Wo sehe ich das denn?
Also es ist noch ein bisschen Unverständlich, aber wir kommen den ganzen näher denke ich!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 04. Apr 2016 22:15 Titel: |
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Versteh' mich jetzt bitte nicht falsch, aber ich muss dir ernsthaft sie Frage nach deinem Vorwissen stellen. Ich habe den Eindruck, dass du die grundlegenden Rechenregeln zur Vektoranalysis nicht kennst. Dann ist es natürlich schwierig, diese in der Elektrodynamik anzuwenden.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | Das ist also so ein Einsatz, wie es in mit der e-Funktion im Eindimensionalen(DGLS's) gibt?
Und das r steht für die aktuelle Seitenlänge des Würfels die man hat, oder was ist das?
Und wieso hat der Normaleneinheitsvektor ein r als Index? Weils es für jedes kleine Flächenstück einen anderen gibt? Also die liegen ja immer woanders? |
Der Ansatz hat nichts mit einer e-Funktion zu tun!
Man setzt eine allgemeine Funktion f(r) an.
Das r ist der Betrag des Ortsvektors. Wieso soll da ein Würfel vorliegen?
Das e_r bezeichnet den Einheitsvektor in radialer Richtung. Und ja, natürlich ändert er sich je Flächenstück auf einer Kugel.
| gralus hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Die integrale Form des Gaußschen Gesetzes lautet
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Ahja, die linke Seite ist hier einfach die Standardgleichung für den elektr. Fluss. Und die rechte seite ist der Gauß'sche Satz in Integralform. Richtig? |
Was ist "der Gaußsche Satz in Integralform?" Der Gaußsche Integralsatz steht in meinem ersten Beitrag.
Das Gaußsche Gesetz (in Integralform) ist nicht eine Seite der Gleichung, sondern die gesamte Zeile, so wie sie da steht. Deswegen schreibe ich auch "Die integrale Form des Gaußschen Gesetzes lautet" und darauf folgt die gesamte Gleichung.
| gralus hat Folgendes geschrieben: | | Und warum ist links und rechts beim Integral nur ? |
Ein \partial, kein \theta.
Weil links ein Oberflächenintegral und rechts ein Volumenintegral steht.
| gralus hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Als Volumina V betrachtet man nun Kugeln mit Radius R um den Ursprung.
Die rechte Seite liefert für jedes R > 0 die Ladung Q im Ursprung
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Ja genau, dass ist hier wieder das Gauß'sche Gesetz von der Integralform in die Differentialform gebracht, richtig? |
Nein, das ist die Definition der elektrischen Ladung Q. Und sicher keine Differentialform, da nirgendwo differenziert wird.
Das Gaußsche Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen elektrischem Feld und Ladungsdichte her. Steht das nicht in deinem Skript? Hast du meine Beiträge oben nicht gelesen? Da steht präziß geschrieben, was das Gaußsche Gesetz besagt.
| gralus hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Die linke Seite liefert gemäß der obigen Diskussion
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Hm ich verstehe nicht, wieso hier jetzt wieder die Integrale anders sind einmal mit V und dann mit R. |
Ich berechne das Oberflächenintegral über die Oberfläche des Volumens V. Dazu führe ich Kugelkoordinaten ein, eine davon ist r. Mit r = R wird die Oberfläche zu festem R bezeichnet. Kennst du das nicht?
| gralus hat Folgendes geschrieben: | | Und hier wird der obige Ansatz eingeführt, richtig? Aber was ist dann genau f(r), wenn f(r) mal diesen Normaleneinheitsvektor e_r genau wieder f(r) ergibt? |
Ich setze zweimal ein, daraus resultiert zweimal ein e_r; deren Skalarprodukt ergibt Eins. Zuerst wird über vektorwertige Größem integriert, nach Ausführen des Skalarproduktes dann über skalare Größen. Hast du diese Oberflächenintegrale schon mal gesehen?
| gralus hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Nun gilt jedoch auf der Kugelfläche
und damit ist f auf dieser Kugelfläche konstant und darf aus dem Integral herausgezogen werden. Das Integral selbst liefert dann nur noch die Fläche der Kugel mit Radius R selbst, d.h.
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Was bezweckt man mit dieser Schreibweise? Also warum setzt du r=R? R ist doch einfach der Radius der Kugel. Ja gut okay du setzt einfach einen festen Wert R in f(r) ein. also f(R) eben. Wieso erkennt man da, dass f auf der Kugelfläche konstant ist? Weil man in f einen konsten Wert R einsetzt und weil da immer dasselbe rauskommt? Wo sehe ich das denn?
Also es ist noch ein bisschen Unverständlich, aber wir kommen den ganzen näher denke ich! |
Du hast zunächst eine unbekannte Funktion f(r) mit beliebigem r. Dann betrachtest du jedoch ein Oberflächenintegral über eine Kugelfläche mit festem Radius R. Daraus resultiert letztlich f(R), d.h. die Funktion für festes r = R. Das ist lediglich eine präzise Schreibweise dafür, dass r beliebig, R dagegen fest ist.
f(r) ist eine Funktion von r, also r-abhängig. Auf einer Kugelfläche mit festem r = R ist f(R) dagegen konstant.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 05. Apr 2016 18:46 Titel: |
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Danke, ja einige Begriffe haben wir tatsächlich erst heute gemacht und dazu einfache uebungen. Und der Begriff maxwell gleichung oder so ist noch nie gefallen.
Wir haben da auch physikaufgaben, wo man den fluss durch einen Draht berechnen muss. Ja ich nehme an da nimmt man eine zylindrische Hüllflaeche. Aber wie soll man denn sonst die Aufgaben loesen, wenn man keine Maxwell gleichung kennt?
Oder reicht da Q/epsilon0 zu schreiben? Da das gaußsche Gesetz bei solchen sachen ja gilt.
(Werde mir das spaeter angucken und gemaueres dazu schreiben, bin nur am Handy online)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 05. Apr 2016 23:06 Titel: |
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Für die Elektrostatik benötigst du nicht die vollen Maxwellgleichungen, das Gaußsche Gesetz ist ausreichend. Dieses entspricht dem Spezialfall der einzigen relevanten Maxwellgleichung für j = 0, B = 0, Zeitableitungen = 0.
Aber die Grundbegriffe der Vektoranalysis benötigst du durchaus.
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 06. Apr 2016 21:00 Titel: |
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Danke für deine Hilfe nochmals! Hatten heute wieder ein paar Übungen zu dem Thema z.B. das Elektrische Feld mit Hilfe des Gauß'schen Satzes eines unendlich langen Drahtes berechnet etc.
Es wird eigentlich immer gleich dieser Satz angewandt und nie gesagt, wie man auf den kommt etc., aber hab mir den Thread nochmals durchgelesen und nun ist vieles auch klarer, wie am Anfang.
Gut, aber jetzt nochmals Back to Topic bitte:
Man kann ja auch den Gauß'schen Satz bei einer normalen geladenen Platte anwenden bzw. auch bei mehreren.
Im Anhang habe ich ein Bild.
12 zeigt, wie man das elektr. Feld einer unendlich langen geladenen Platte berechnet, wenn diese pos. geladen ist zeigen die Feldlinien logischerweise weg.
1. Da ist jetzt nun auch eine Fläche eingezeichnet, aber wo gehen da die Feldlinien hindurch? Ist das einfach ein Quader mit 6 Seiten? Die Feldlinen müssten dann ja durch die Seitenflächen dS1 und dS3 gehen oder?
2. Für was sind dann dS2 und dS4 gut?
3. Wie kommt der 2er hier die Formel?
Bei 13 werden zwei gleiche unendliche Lange Platten gezeigt, also mit gleicher Ladungsdichte, jedoch unterschiedlicher Ladungen(eine pos und eine neg.)
4. Wenn man die Platten getrennt betrachtet, dann zeigen ja die Feldlinien bei der neg. Platte zur Platte hin und bei der pos. ist es eben umgekehrt und wenn ich diese dann zusammenfüge mit einem gewissen Abstand d, dann habe ich innerhalb der Platten eine Feldverstärkung, da ja die Pfeile in dieselbe Richtung zeigen und außerhalb eine Auslöschung, da die Pfeile in die gegenseitige Richtung zeigen. Stimmt das so?
5. Wo ist meine Fläche, wenn ich zwei Platten nebeneinder lege? Bei 13 wurde diese ja nur auf einer Platte gezeichnet, aber wieso? Die andere Platte spielt doch auch eine Rolle?
| Beschreibung: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2016 21:48 Titel: |
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Ich versuch's mal:
Man geht wieder von der Symmetrie des Problems aus. Die geschlossene Fläche ist ein Quader mit sechs Flächen. Die zwei nicht gezeichneten Flächen parallel zur Zeichenfläche spielen wg. Symmetrie Keine Rolle, d.h. durch diese treten keine Feldlinien hindurch, also ist das Skalarprodukt Feld * Normalenvektor Null.
Generell muss man bei der Anwendung des Gaußschen Satzes zunächst immer eine geschlossene Oberfläche betrachten, denn nur für diese gilt der Satz. In Spezialfällen kann es natürlich sein, dass bestimmte Teile der Oberfläche nichts beitragen.
Bei den beiden Platten darfst du wegen der Linearität des Gaußschen Gesetzes einfach beide Einzellösungen addieren. Gegeben seien zwei Ladungsverteilungen und zwei Felder aus zwei getrennten Problemstellungen.
Dann gilt für die Summe
 = \frac{1}{\epsilon_0} (\rho_1 + \rho_2))
und deswegen ist die Summe auch wieder eine Lösung.
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 06. Apr 2016 22:28 Titel: |
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Danke.
Ja gut stimmt, da wo keine Feldlinen durchtreten, muss das Skalarprodukt Feld * Normalvektor Null sein logischerweise.
Jedoch verstehe ich immer nocht nicht, wie man bei 12 auf den 2er in der Formel kommt und bei 13 dieser weg ist.
Wieso ist das so?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 07. Apr 2016 00:13 Titel: |
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das sieht etwas inkonsistent aus; links stehen differentielle Größen, rechts nicht; ich denke, dass das Integral vergessen wurde; S ist in der Zeichnung nicht angegeben; wahrscheinlich werden Ober- und Unterseite jeweils mit S gezählt, also 2*S
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 07. Apr 2016 06:57, insgesamt einmal bearbeitet |
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 07. Apr 2016 00:21 Titel: |
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Naja mit S meint man wohl dS1-dS4 integriert, also die Gesamtfläche.
Ober- und Unterseite jeweils mit S gezählt? Ober- und Unterseite sind doch jene Flächen, so kein Feld da ist. Das ergibt doch keinen Sinn oder?
Wie leitet man sonst die Formel her für geladenen Platten? Beim Plattenkondensator ist es ja auch ohne 2, ich weiß leider nicht wirklich warum das jetzt so ist.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 07. Apr 2016 19:40 Titel: |
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| gralus hat Folgendes geschrieben: | Naja mit S meint man wohl dS1-dS4 integriert, also die Gesamtfläche.
Ober- und Unterseite jeweils mit S gezählt? Ober- und Unterseite sind doch jene Flächen, so kein Feld da ist. Das ergibt doch keinen Sinn oder?
Wie leitet man sonst die Formel her für geladenen Platten? Beim Plattenkondensator ist es ja auch ohne 2, ich weiß leider nicht wirklich warum das jetzt so ist. |
Du hast eine Platte mit einer Flächenladungsdichte sigma; für eine Rechteckfläche S auf der Platte gilt
d.h. diese Fläche enthält die Ladung Q.
Nun konstruierst du einen Quader mit Boden- und Deckfläche jeweils S unter- bzw. oberhalb der Platte. Dieser Quader enthält die Ladung Q; dies ist die rechte Seite des Gaußschen Gesetzes. Zuletzt folgt noch die Rechnung für die linke Seite.
Im Falle von zwei Platten läuft die Rechnung ähnlich, jedoch nicht identisch.
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gralus
Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79
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| gralus Verfasst am: 08. Apr 2016 21:03 Titel: |
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Ja danke, logischerweise gehen die Feldlinien ja nur durch die Ober- und Unterseite, keine Ahnung, warum da die Flächen seitlich gekennzeichnet werden.
Und so kommt man auch leicht auf 2S.
Bei zwei Platten wird halt dann das Feld im inneren verstärkt und Außen schwächer bzw. ganz ausgelöscht bei zwei gleichen Platten.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Apr 2016 21:53 Titel: |
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| gralus hat Folgendes geschrieben: | | Ja danke, logischerweise gehen die Feldlinien ja nur durch die Ober- und Unterseite, keine Ahnung, warum da die Flächen seitlich gekennzeichnet werden. |
Weil der Gaußsche Satz nur für geschlossene Flächen anwendbar ist. Dass hier nicht alle Flächen zum Oberflächenintegral beitragen folgt erst aufgrund der speziellen Feldkonfigurationen.
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zathu
Anmeldungsdatum: 08.04.2016
Beiträge: 6
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| zathu Verfasst am: 12. Apr 2016 13:51 Titel: |
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Wenn ich nun eine endliche Kondensatorplatte der Fläche A habe, kann ich diese dann auch mit dem Gaußschen Gesetz beschreiben, wenn ich sage, dass das elektrische Feld homogen ist und die Abweichungen an den Plattenrändern vernachlässigt werden?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 12. Apr 2016 16:22 Titel: |
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Ja, so kommst du auf das (bekannte) Feld im inneren eines Kondensators.
Der Gauss'sche Satz gilt übrigens immer, nicht nur bei Vernachlässigung der Randeffekte.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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