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Kreisförmige Scheibe
 
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Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 29. Apr 2020 16:11    Titel: Kreisförmige Scheibe Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo!
ich habe folgende Aufgabe:
Gegeben sei eine kreisförmige Scheibe mit Radius R und der Oberflächenladungsdichte . Hierbei seien eine Konstante und r ? der Abstand von einem Punkt auf der Scheibe zu ihrem Mittelpunkt.

a) Berechnen Sie die Gesamtladung der Scheibe.
b) Finden Sie einen Ausdruck für das Potential auf der z-Achse, die senkrecht zur Scheibe durch ihre Mitte geht, in Abhängigkeit von dem Abstand z.

Fragen:
1) Sieht erstmal meine Lösung für a richtig aus? ich bin mir nicht sicher unglücklich
2) Wie kann ich das Potential auf der z-Achse bestimmen?

Meine Ideen:
(Siehe Lösung A)



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Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 736

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Apr 2020 17:19    Titel: Antworten mit Zitat

zu a): Das Flächenelement einer Kreisscheibe ist nicht richtig. Es lautet:

dA = dphi*r*dr

Außerdem hast du unerlaubter Weise im - wenn auch falschen - Differential gekürzt und am Ende einen Fehler in der Integration gemacht (R ist ja konstant).

Ich kann nur dringend raten, dir allgemein das Thema Flächen- und Volumenintegration nochmal anzusehen.

Zu b): Du bestimmst den Beitrag jedes Flächenelements zum Potenzial und integrierst über die gesamte Fläche.

viele Grüße,
Nils
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14598

Beitrag GvC Verfasst am: 29. Apr 2020 17:55    Titel: Antworten mit Zitat

Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:
zu a): Das Flächenelement einer Kreisscheibe ist nicht richtig. Es lautet:

dA = dphi*r*dr


... oder, da bei konstantem Radius die Ladungsdichte unabhängig vom Winkel ist,

dA =2*pi*r*dr

Damit brauchst Du nur über eine Variable zu integrieren.
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 29. Apr 2020 18:40    Titel: Antworten mit Zitat

Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:
zu a): Das Flächenelement einer Kreisscheibe ist nicht richtig. Es lautet:

dA = dphi*r*dr

Ich kann nur dringend raten, dir allgemein das Thema Flächen- und Volumenintegration nochmal anzusehen.


Hast du vielleicht eine gute Webseite oder ein gutes Buch dafür? Das Thema fällt mir ziemlich schwer. Ich kann nicht "einfach" verstehen, wie man die Flächenelemente bestimmen kann.

Meine Vermutung war:

Fläche eines Kreises:
und da es ein Flächenelement ist, wird von A zu

Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:

Außerdem hast du unerlaubter Weise im - wenn auch falschen - Differential gekürzt und am Ende einen Fehler in der Integration gemacht (R ist ja konstant).


Das stimmt, das hat mich auch gestört. Danke für die Anmerkung

Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:

Zu b): Du bestimmst den Beitrag jedes Flächenelements zum Potenzial und integrierst über die gesamte Fläche.


Also mit dem berechneten dQ aus a), dA zu integrieren?


viele Grüße
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 736

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Apr 2020 19:25    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:

Hast du vielleicht eine gute Webseite oder ein gutes Buch dafür? Das Thema fällt mir ziemlich schwer. Ich kann nicht "einfach" verstehen, wie man die Flächenelemente bestimmen kann.


Fürs erste kannst du ja einfach mal auf Wikepedia nachschauen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Fl%C3%A4chenelement

Das grau eingezeichnete Flächenelement hat die Länge dphi*r und die Breite dr. Der Flächeninhalt ist also dA = dphi*r*dr.

Aber langfristig besorgst du dir am besten mal ein richtiges Lehrbuch mit dem du die Rechenmethoden von der Pieke auf lernst. Geh am besten mal in die Bib oder in einen Buchladen deines Vertrauens und schau dir verschiedene Bücher an.

Ich hatte damals dieses hier und kann es sehr empfehlen:

https://www.springer.com/de/book/9783540418504?gclid=EAIaIQobChMI1dbDk5GO6QIVxYGyCh1o_A0kEAQYASABEgIIKfD_BwE


Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:


Also mit dem berechneten dQ aus a), dA zu integrieren?




Nein, ich meinte, dass jedes Flächenelement an einem gegebenen Ort auf der Achse ein elektrisches Potenzial erzeugt (Stichwort: Potenzial einer Punktladung). Dieses hat die Form:

dPhi(z) = f(x',y') * dA

wobei x' und y' die Position auf Kreisscheibe angibt. Das Gesamtpotenzial erhält man dann durch Integration über die Kreisfläche.

Viel Erfolg,
Nils
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14598

Beitrag GvC Verfasst am: 29. Apr 2020 19:43    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:
Ich kann nicht "einfach" verstehen, wie man die Flächenelemente bestimmen kann.


Es kommt darauf an, was gegeben ist und was Du bestimmen willst oder sollst. Im vorliegenden Fall ist die Flächenladungsdichte gegeben, und Du willst die gesamte Ladung auf der Kreisfläche bestimmen. Wäre die Ladungsdichte konstant, könntest Du einfach Q=rho*A=rho*pi*R² rechnen. Nun ist die Ladungsdichte aber von r abhängig, Du brauchst aber eigentlich ein konstantes rho. Das hast Du bei konstantem r. Du musst Dir also eine infinitesimal kleine Fläche dA suchen, auf der die Ladungsdichte konstant ist, und auf der Du deshalb die infinitesimal kleine Ladung dQ=rho*dA bestimmen kannst. Diese Fläche ist im vorliegenden Fall die des im Anhang grau gekennzeichneten Kreisrings. Der ist so dünn, nämlich infinitesimal dr dünn, dass sich die Flächenladungsdichte auf dieser Fläche nicht ändert. Er hat den Unfang 2*pi*r und die Dicke dr und kann als ein zu einem Kreis gebogener ganz schmaler Streifen angesehen werden mit der Rechteckfläche dA=2*pi*r*dr. Auf diesem Kreisring kannst Du nun die Ladung



bestimmen. Die gesamte Kreisfläche kannst Du Dir aus unendlich vielen unendlich dünnen Kreisringen zusammnegesetzt denken, die wie die Schichten einer mittig durchgeschnittenen Zwiebel angeordnet sind. Um die Ladung auf der gesamten Kreisfläche zu erhalten, musst Du die Ladungen all dieser Kreisringe mit Radien von 0 bis R addieren. Die Addition infinitesimal kleiner Elemente nennt man Integration. Die gesamte Ladung ist also



Jetzt musst Du nur noch die gegebene Flächenladungsdichte einsetzen, alles was kürzbar ist, kürzen und dann die Integration nach den einfachen Integrationsregeln durchführen. Was erhältst Du dann als Ergebnis?



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Zuletzt bearbeitet von GvC am 04. Mai 2020 12:07, insgesamt einmal bearbeitet
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 04. Mai 2020 11:13    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für die ausführliche Hilfe und sorry das ich so spät geantwortet habe, ich finde, dass das mir sehr gut geholfen hat, zu verstehen, was man eigentlich mit diesen infinitesimalen Elementen macht. Ich vermute, dass mein Problem ist, dass ich nicht so gute Mathe Kenntnisse habe und aus diesem Grund weiß ich nicht genau, welche von allen Formel je nach Geometrie angewendet werden sollte. Jetzt habe ich gelernt, dass man eigentlich nicht die Geometrie von dem gesamten Körper betrachten sollte, wie ich am Anfang gesagt habe:

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:

Meine Vermutung war:

Fläche eines Kreises:
und da es ein Flächenelement ist, wird von A zu


sondern wir überlegen uns, wie dA "in jeder Stelle" des Körpers aussieht.

Meine Lösung für A) sieht erstmal so aus:



Für B) habe ich noch ein paar Schwierigkeiten und zwar Nils schreibt:

Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:

Nein, ich meinte, dass jedes Flächenelement an einem gegebenen Ort auf der Achse ein elektrisches Potenzial erzeugt (Stichwort: Potenzial einer Punktladung). Dieses hat die Form:

dPhi(z) = f(x',y') * dA

wobei x' und y' die Position auf Kreisscheibe angibt. Das Gesamtpotenzial erhält man dann durch Integration über die Kreisfläche.


Damit meint er/sie vllt:



Da wir die gesamte Ladung schon berechnet haben, bräuchten wir nur zu wissen, wie die Position aussieht (da habe ich Schwierigkeiten)
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 736

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 04. Mai 2020 11:48    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:


Damit meint er/sie vllt:



Da wir die gesamte Ladung schon berechnet haben, bräuchten wir nur zu wissen, wie die Position aussieht (da habe ich Schwierigkeiten)


Er/sie fand ich lustig! Big Laugh

Uffbasse: q ist die Ladung der Punktladung, nicht die Gesamtladung der Scheibe. Du musst also gedanklich die Oberfläche der Scheibe in viele einzelne Flächenelemente zerlegen, dir den Abstand des Flächenelements zum betrachteten Punkt auf der Achse überlegen und dann die Beträge aller Flächenelemente über die gesamte Scheibe integrieren. Außerdem ist es |x| nicht x.

Viele Grüße,
Nils
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14598

Beitrag GvC Verfasst am: 04. Mai 2020 12:14    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:
...
Meine Lösung für A) sieht erstmal so aus:


...


Nein, das ist nicht richtig. Das wäre die Ladung, die von einem Kreis mit Radius R/2 eingeschlossen wird. Du sollst aber die Ladung auf der gesamten Scheibe, also innerhalb eines Kreises mit Radius R bestimmen.
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 04. Mai 2020 13:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ugh ich bin so langsam...

Du hast recht, da ist nur eine Punktladung gemeint und nicht die gesamte Ladung

Also das Flächenelement sollte:



Dann sollte dQ ("nur eine Punktladung")



Daraus folgt:



Dann ist das Potenzial:



Aber was wäre ?

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GvC, habe ich hier vielleicht was Falsches gemacht?

(Siehe Lösung A)



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Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 736

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 04. Mai 2020 13:21    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:

Aber was wäre ?


Wie bereits gesagt: das ist der Abstand zwischen dem betrachteten Punkt auf der Achse und der Position des betrachteten Flächenelements. Vielleicht machst du dir mal eine Zeichnung...
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14598

Beitrag GvC Verfasst am: 04. Mai 2020 13:50    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:
GvC, habe ich hier vielleicht was Falsches gemacht?


Ja, R ist eine Konstante (nämlich der Radius der Scheibe) und wird deshalb ausgekammert (= vor das Integralzeichen gezogen). Was bleibt dann übrig?
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 04. Mai 2020 15:48    Titel: Antworten mit Zitat

GvC hat Folgendes geschrieben:
Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:
GvC, habe ich hier vielleicht was Falsches gemacht?


Ja, R ist eine Konstante (nämlich der Radius der Scheibe) und wird deshalb ausgekammert (= vor das Integralzeichen gezogen). Was bleibt dann übrig?


Da r wegen den Integrationsgrenzen zu R wird:

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