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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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 Wolvetooth Verfasst am: 20. Apr 2020 11:05 Titel: Totales Differential |
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Meine Frage:
Guten Morgen, ich habe folgende Aufgabe:
Es sei die Funktion f (x; y; z) = x^2 + y^2 + 3z^2 gegeben.
a) Berechnen sie das totale Differential von f.
b) Die Darstellung eines zylindrischen Koordinatensystem (r; \varphi; z) in den kartesischen Koordinaten (x; y; z) ist durch die Transformationsfunktionen
x(r; \varphi; z) = r cos\varphi
y(r; \varphi; z) = r sin\varphi
z(r; \varphi; z) = z
definiert. Berechnen Sie die totalen Differentiale der Transformationsfunktionen
c) Berechnen Sie nun das totale Differential von f in Zylinderkoordinaten df (r; \varphi; z) durch Einsetzten der Ergebnisse aus b) in a).
d) Leiten Sie df (r; \varphi; z) alternativ über die totale Ableitung von f (r; \varphi; z) durch vorheriges Einsetzen der Zylinderkoordinaten in f (x; y; z) her und vergleichen sie das Ergebnis mit c).
Ich bräuchte Hilfe mit b) c) und d)
Meine Ideen:
Ich denke, dass ich a) richtig gelöst habe. Bei b) bin ich mir leider da nicht so sicher. Aus diesem Grund konnte ich auch nicht c) und d) weiter machen.
| Beschreibung: |
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Zuletzt bearbeitet von Wolvetooth am 20. Apr 2020 13:19, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Apr 2020 11:24 Titel: Re: Totales Differential |
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| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Guten Morgen, ich habe folgende Aufgabe:
Es sei die Funktion f (x; y; z) = x^2 + y^2 + 3z^2 gegeben.
a) Berechnen sie das totale Differential von f.
b) Die Darstellung eines zylindrischen Koordinatensystem (r; \varphi; z) in den kartesischen Koordinaten (x; y; z) ist durch die Transformationsfunktionen
x(r; \varphi; z) = r cos\varphi
y(r; \varphi; z) = r sin\varphi
z(r; \varphi; z) = z
definiert. Berechnen Sie die totalen Differentiale der Transformationsfunktionen
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Hier ist gemeint
etc. Das ergibt z.B.
Was du gerechnet hast, kann ich nicht nachvollziehen. Was bedeuten die Ausdrücke hinter den geschlängelten Pfeilen?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Apr 2020 11:51 Titel: Re: Totales Differential |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Was du gerechnet hast, kann ich nicht nachvollziehen. Was bedeuten die Ausdrücke hinter den geschlängelten Pfeilen? |
Ich glaube mir ist es jetzt klarer geworden. Was ich für Zweien gehalten habe, sollen  -Symbole sein. Du scheinst aber x nur nach r und y nur nach phi abzuleiten. Das reicht natürlich nicht.
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 20. Apr 2020 13:17 Titel: Re: Totales Differential |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ich glaube mir ist es jetzt klarer geworden. Was ich für Zweien gehalten habe, sollen -Symbole sein. Du scheinst aber x nur nach r und y nur nach phi abzuleiten. Das reicht natürlich nicht. |
Genau, die sind die Termen der partiellen Ableitungen. Ich merke gerade erst, dass ich die Namen getauscht habe  (Siehe neuer Anhang)
Eigentlich ist mein df auch was du für dx hast. Aber wie mache ich jetzt weiter?
Danke für die Zeit
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Apr 2020 13:28 Titel: Re: Totales Differential |
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Ich erkenne keinen Unterschied zwischen dem neuen und dem alten Anhang.
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: |
Eigentlich ist mein df auch was du für dx hast.
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Nein, in meinem dx kommen nur partielle Ableitungen von x vor, in deinem df kommen partielle Ableitungen von x, y und z bunt gemischt vor.
| Zitat: |
Aber wie mache ich jetzt weiter?
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Erstmal dx, dy und dz korrekt ausrechnen. Das fehlt mir bis jetzt noch.
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 21. Apr 2020 10:29 Titel: |
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Mein Problem ist zu verstehen, was mit was abgeleitet werden muss. Dein dx konnte ich doch verstehen und zwar, wir leiten den ersten Term in diesem Fall (rcos\varphi) nach r ab. Dann leiten wir den zweiten Term (rsin\varphi nach \varphi ) ab und genau das gleiche für den dritten Term, also (zdz). Aber wie mache ich das für d\varphi und dz? sollte ich zum Beispiel für d\varphi bei dem zweiten Term anfangen und dann den Rest ableiten und einfügen? also:
d\varphi = partielle Ableitung von rsin\varphi nach r + partielle Ableitung von rcos\varphi nach \varphi + partielle Ableitung von z nach z (zdz)
Hier lade ich richtig hoch, was ich meine: (Siehe neuer Anhang)
Da zdz gleich 1 ist, habe ich das erstmal weg gelassen)
| Beschreibung: |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 21. Apr 2020 11:15 Titel: |
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| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | Mein Problem ist zu verstehen, was mit was abgeleitet werden muss. Dein dx konnte ich doch verstehen und zwar, wir leiten den ersten Term in diesem Fall (rcos\varphi) nach r ab. Dann leiten wir den zweiten Term (rsin\varphi nach \varphi ) ab und genau das gleiche für den dritten Term, also (zdz).
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Das klingt nicht so als hättest du richtig verstanden, wie dx berechnet wird. Zumindest ist deine Beschreibung falsch. Ich leite  einmal nach r und einmal nach phi ab;  , was ja y ist, leite ich hier überhaupt noch nicht ab.
Nochmal von vorn. Die Koordinate x ist eine Funktion von  und  , sagen wir
 = r\cos\phi)
In allgemeinen Koordinatentransformationen käme hier natürlich noch eine Abhängigkeit zur dritten Koordinate vor. Dies ist z und wird in diesem Fall von beiden Koordinatensystemen verwendet. Das vereinfacht die Sache, da x ja unabhängig von z ist. Also müssen wir nur
} )
berechnen. Dasselbe für
 = r\sin\phi)
(wieder keine z-Abhängigkeit), d.h.
} )
In Gleichungen (1) und (2) mußt du jetzt einfach nur die gegebenen Funktionen  einsetzen und ausrechnen. Bitte schreib auf, was du dabei erhältst.
| Zitat: |
Aber wie mache ich das für d\varphi und dz?
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Für  machst du im Augenblick gar nichts. Du rechnest dx und dy aus. Das Ergebnis setzt du dann in
ein, genau wie es die Aufgabe beschreibt.
| Zitat: |
Hier lade ich richtig hoch, was ich meine: (Siehe neuer Anhang)
Da zdz gleich 1 ist, habe ich das erstmal weg gelassen) |
Da geht noch einiges durcheinander. Ich weiß nicht, was du damit meinst, daß "zdz geich 1" ist. Das stimmt nicht.
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