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Vektoren als differential Operatoren
 
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vektorling
Gast





Beitrag vektorling Verfasst am: 28. Jun 2014 21:58    Titel: Vektoren als differential Operatoren Antworten mit Zitat

Hallo, ich lese grade ein Buch über mathematische Physik und die notation treibt mich in den Wahnsinn. Kann mir jemand den Unterschied zwischen:



und



Erklären? Vor allem was soll diese partielle Ableitung wo einfach nur die Ableitung drin steht, ohne das was Abgeleitet werden soll.

Später wird auch noch mal ein Vektorfeld als :



Definiert.

Kann mir das jemand mal in normaler Notation erklären?
(Alles spielt sich auf einer Manigfaltigkeit ab)
Gruß
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8387

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Jun 2014 22:00    Titel: Antworten mit Zitat

In der zweiten Gleichung fehlt ein f auf der rechten Seite (oder links ist das "(f)" zuviel).
vektorling
Gast





Beitrag vektorling Verfasst am: 28. Jun 2014 22:08    Titel: Antworten mit Zitat

Bei der zweiten Gleichung muss das f weg.

Gruß
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 28. Jun 2014 22:09    Titel: Antworten mit Zitat

Oh, ja danke smile
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8387

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Jun 2014 22:10    Titel: Re: Vektoren als differential Operatoren Antworten mit Zitat

Das hier

ist ein Differentialoperator (der auf Funktionen wirkt), und das hier:

Ist der Differentialoperator angewandt auf eine Funktion f.
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 28. Jun 2014 22:14    Titel: Antworten mit Zitat

Halt moment, ich hab totalen Quatsch geschrieben. Ich meine den Unterschied zwischen:



und



Wieso sind bei einem die Komponenten links und beim anderen rechts??

Gruß
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8387

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Jun 2014 22:16    Titel: Antworten mit Zitat

Vektorling hat Folgendes geschrieben:

Wieso sind bei einem die Komponenten links und beim anderen rechts??

Das ist egal, da das alles nur Zahlen sind und die vertauschen.
vektorling
Gast





Beitrag vektorling Verfasst am: 28. Jun 2014 22:19    Titel: Antworten mit Zitat

aso hm ok
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8387

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Jun 2014 22:22    Titel: Antworten mit Zitat

Vllt als kleine Ergänzung:
Normalerweise wuerd ich die Komponenten immer links schreiben, da dann keine Ambiguität entsteht ob der Differentialoperator noch auf sie wirken soll (insbesondere wenn es in der Diff-Op.-Schreibweise ohne Funktion die Abgeleitet wird geschrieben wird).
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 28. Jun 2014 22:26    Titel: Antworten mit Zitat

Ja ok, danke ich habs verstanden. ist ja einfach nur der Basisvektor Koordinatenfrei dargestellt.

Gruß
Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 28. Jun 2014 22:45    Titel: Antworten mit Zitat

Vektorling hat Folgendes geschrieben:
Ja ok, danke ich habs verstanden. ist ja einfach nur der Basisvektor Koordinatenfrei dargestellt.

Gruß

Die Darstellung ist nicht Koordinatenfrei. Sondern das was du geschrieben hast ist gerade das "j-te Koordinatenfeld"
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 29. Jun 2014 14:36    Titel: Antworten mit Zitat

Ohh, kann mir mal jemand ein Beispiel geben? Auf was wirkt das denn?? Auf eine Skalarfunktion? Oder auf eine Vektorfunktion? Ist das wie der Gradient einer Skalarfunktion? Wenn ich z.B. r(u,v)=(cos u, sin u, v) wie sieht das dann aus?

Gruß
Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 29. Jun 2014 14:43    Titel: Antworten mit Zitat

Vektorling hat Folgendes geschrieben:
Ohh, kann mir mal jemand ein Beispiel geben? Auf was wirkt das denn?? Auf eine Skalarfunktion? Oder auf eine Vektorfunktion? Ist das wie der Gradient einer Skalarfunktion? Wenn ich z.B. r(u,v)=(cos u, sin u, v) wie sieht das dann aus?

Gruß

Das r(u,v) das du angegeben hast, ist eine Paramtrisierung für einen Zylinder mit Radius 1. In diesem Fall sind die Abletiungen , nach den Koordinaten u,v die Koordinatenfelder. Sie wirken auf skalare Funktionen auf der Mannigfaltigkeit, aber wie gesagt in der Koordinatendarstellung bezüglich u,v.
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 29. Jun 2014 14:49    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo, ich meine jetzt als Vektor an einer Manigfaltigkeit.

Gruß
Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 29. Jun 2014 14:54    Titel: Antworten mit Zitat

Vektorling hat Folgendes geschrieben:
Hallo, ich meine jetzt als Vektor an einer Manigfaltigkeit.

Gruß

Die Tangentialvektoren erhält man in diesem Fall als Ableitungen der Parametrisierung bzw
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 29. Jun 2014 14:54    Titel: Antworten mit Zitat

Was ist X^{j}? Eine Ableitung? Oder einfach nur eine Komponente.

Gruß
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 29. Jun 2014 14:55    Titel: Antworten mit Zitat

Ja dann halt als Vektorfeld.
Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 29. Jun 2014 15:07    Titel: Antworten mit Zitat

Vektorling hat Folgendes geschrieben:
Was ist X^{j}? Eine Ableitung? Oder einfach nur eine Komponente.

Gruß

ist die j-te Koordinate deiner Karte/Parametrisierung. Das Vektorfeld entspricht dann in jedem Punkt dem Tangentialvektor in Richtung und wirkt auf eine Funktion indem er diese in Richtung ableitet. Meintest du das?
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 29. Jun 2014 15:24    Titel: Antworten mit Zitat

AHH man braucht eine Funktion UND eine Parametrisierung !!! Dann kann man die änderung des Feldes in Richtung z.B. einer Kurve berechnen. Ahh ok, ich wusste nicht ob ich jetzt eine Skalarfunktion oder eine vektorwertige Funktion brauche, das man das auch kombinieren kann daran hab ich gar nicht gedacht.
Ja danke deine Antwort hat geholfen.

smile

Gruß
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 29. Jun 2014 15:29    Titel: Antworten mit Zitat

Ah, das ist doch das gleiche wie wenn man in der Elektrodynamik den Fluss von einem E Feld durch einen Draht berechnet oder?

Gruß
Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 30. Jun 2014 19:50    Titel: Antworten mit Zitat

Vektorling hat Folgendes geschrieben:
Ah, das ist doch das gleiche wie wenn man in der Elektrodynamik den Fluss von einem E Feld durch einen Draht berechnet oder?

Gruß


Den Zusammenhang sehe ich jetzt nicht direkt, ausser das ein E-Feld auch ein Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit ist, zb einfach dem R^3.
Kannst du genauer beschreiben wie du das meinst?
Vektorling
Gast





Beitrag Vektorling Verfasst am: 01. Jul 2014 22:34    Titel: Antworten mit Zitat

Schon ok, Danke für die Hilfe smile
Gruß
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