Multipolmomente für gegebene Ladungsverteilung.

hugo123 · Anmeldungsdatum: 03.07.2006 Beiträge: 14 Wohnort: Hannover

Hi ich hab da noch ein Problem.

Ich habe eine gegebene Ladungsverteilung und soll ein paar Momente dafür angeben.

Monopolmoment: -2q+2q-q+q=0
Dipolmoment: qa+2q(-a)-q(-b)-2qb=-q(a+b)
Quadrupolmoment:
Qxx=q(2a²+2(2a)²+b²+(2b)²)=q(10a²+5b²)
Qyy=q(-2b²-2(2b)²-a²-(2a)²)=q(5a²+10b²)
Qzz=q(-a²-(2a)²+b²+(2b)²)=q(-5a²+5b²)

Sind die Momente richtig? Das Quadrupolmoment ist zwar spurfrei, da alle Ergebnisse 0 ergeben, aber ich versteh nicht wieso ich einen Eintrag in der zz-Komponente haben, da ich in z-Richtung keine Ladungsverteilung habe.

Danke für eure Hilfe.

hugo123 · Anmeldungsdatum: 03.07.2006 Beiträge: 14 Wohnort: Hannover

Kann mir keiner Helfen traurig

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Mit dem Monopolmoment bin ich einverstanden, das ist ein Skalar.

Das Dipolmoment ist aber ein Vektor. In deinem Ausdruck für das Dipolmoment fehlen an zwei Stellen noch die Einheitsvektoren

und

. Auf den richtigen Ausdruck kommst du, wenn du die Formel für das Dipolmoment sauber mit den zugehörigen Vektoren und Vektorzeichen schreibst. Wie lautet diese Formel und was bekommst du dann damit?

Welche Formeln hast du genau verwendet, um die Komponenten des Quadrupolmomentes zu berechnen? Kannst du da auch nochmal kontrollieren, ob du die jeweiligen Komponenten und/oder Einheitsvektoren richtig berücksichtigt hast?

hugo123 · Anmeldungsdatum: 03.07.2006 Beiträge: 14 Wohnort: Hannover

Die Einheitsvektoren

und

habe ich aus dem Grund weggelassen, da ich doch einfach a und b zu meinen Einheitsvektoren machen kann. Die sind auch Orthogonal, nur nicht normiert, aber das dürfte in diesem Fall keine sonderliche Rolle spielen.

Das Dipolmoment kann man so auch schnell in Vektorschreibweise angeben:

Das Quadrupolmoment ist:

Exemplarisch die xx-Komponente:

Und das ist dann wieder ein Skalar.
Geht das nicht?

PS: Kann es denn sein, dass der Quadrupol einträge in der zz-Komponente hat, obwohl nur Ladungen auf der x- und y-Achse sind?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Danke fürs Angeben der Formel und der Rechnung, jetzt habe ich verstanden, wo sich bei dir ein Fehler eingeschlichen hat:

Vorneweg ein kleiner Tippfehler: Die Ladungsverteilung, die du meinst, hat ein Minuszeichen statt des Pluszeichens in der letzten Deltafunktion:

Und nun zu deinem Rechenfehler: Beim Berechnen der Quadrupolmomente hast du fälschlicherweise Vorzeichen und Faktoren irgendwie mit in die Deltafunktion hineingezogen. Für die xx-Komponente müsste es richtig heißen:

Denn zum Beispiel gilt für den letzten Term folgendes: Die Ladung -2q befindet sich im Punkt mit den Koordinaten x=0, y=+b und z=0, also erhält man beim Integrieren über die Deltafunktion für diesen Punkt den Ausdruck

, und weil für diesen Term die Ladung gleich -2q ist, ist dieser letzte Term

.

Wenn du dasselbe richtig für die zz-Komponente berechnest, dann wirst du feststellen, dass diese nur dann ungleich Null ist, wenn

. Wenn die Ladungsverteilung in der xy-Ebene "nicht symmetrisch genug" ist, kommt es also durchaus vor, dass die zz-Komponente des Quadrupolmoments ungleich Null ist.

hugo123 · Anmeldungsdatum: 03.07.2006 Beiträge: 14 Wohnort: Hannover

Danke