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mürmel
Anmeldungsdatum: 15.04.2012
Beiträge: 14
Wohnort: Berlin
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 mürmel Verfasst am: 01. Jun 2012 23:44 Titel: Gauß'sches Gesetz -unendlich langer Zylinder |
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Meine Frage:
Aufgabe: Gegeben sei ein unendlich langer geladener Zylinder vom Radius  mit der Ladungsdichte
)
(in Zylinderkoordinaten  ).
a.) Berechnen Sie das  -Feld , das von diesem Zylinder erzeugt wird, für innen und außen!
Meine Ideen:
Hallo,
das unbekannte elektrische Feld
 \vec{e}_r + E_z\left(z\right) \vec{e}_z)
dieses unendlich langen Zylinders setzt sich doch nun aus den eben genannten Feld-Komponenten zusammen.
Frage: WEIL der Zylinder unendlich lang ist, kann ich Boden- und Deckelfläche vernachlässigen? Ich kenne die Feldkomponenten ja gar nicht!
Sonst müsste ich ja diesen Ansatz fahren und ich erhalte sehr viele Unbekannte!
Oder gibt es einen anderen Ansatz?
Ergänzung: Wenn ich tatsächlich mit allen "gegebenen" Komponenten "rechne", dann bleibt trotzdem nur die Radialkomponente des Feldes der Mantelfläche des Zylinders übrig! Außerdem bekomme ich ein uneigentliches Integral!
 \, r_H \int\limits_{0}^{\infty}\, \mathrm{d}z\int\limits_{0}^{2\pi} \, \mathrm{d}\varphi ) |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 02. Jun 2012 00:57 Titel: |
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da der zylinder unendlich lang ist, kann das e-feld nicht von z abhängen. |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 02. Jun 2012 07:52 Titel: |
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"Boden und Deckel" kann man nicht vernachlässigen, sonst darf man den Satz von Gauß gar nicht anwenden - der fordert nämlich eine geschlossene Oberfläche.
Es muss also ein endliches Volumen betrachtet werden.
In die Rechnung gehen die Flächen zwar letztendlich nicht ein, das muss man aber auch begründen!
Schau dir mal an wie die Dichte definiert ist, da keine z-Variable auftaucht, ist die Dichte unabhängig von z. Überlege dir wie man von dieser Tatsache darauf schließen kann, dass der Fluss durch Boden und Deckel verschwindet. |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 02. Jun 2012 08:06 Titel: |
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boden und deckel sind unendlich weit von jedem möglichen punkt entfernt. Daher ist ihr einfluss identisch Null.
Also kann man Boden und Deckel ignorieren. |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 02. Jun 2012 08:15 Titel: |
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Ich hätte mich vielleicht etwas genauer ausdrücken sollen.
Ich habe von dem zylindrischen Volumen gesprochen das man im Satz vom Gauß verwendet um das Feld zu berechnen, nicht vom Boden/Deckel vom Zylinder selbst. |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 02. Jun 2012 08:22 Titel: |
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| ClickBox hat Folgendes geschrieben: | Ich hätte mich vielleicht etwas genauer ausdrücken sollen.
Ich habe von dem zylindrischen Volumen gesprochen das man im Satz vom Gauß verwendet um das Feld zu berechnen, nicht vom Boden/Deckel vom Zylinder selbst. |
Dann gebe ich dir recht  |
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mürmel
Anmeldungsdatum: 15.04.2012
Beiträge: 14
Wohnort: Berlin
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| mürmel Verfasst am: 02. Jun 2012 14:24 Titel: Ok, danke! Nun zur Gesamtladung |
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Da habe ich immer noch nicht verstanden welche spezielle Grenze für die z-Komponente einzusetzen ist!
Die Ladungsverteilung sitzt ja nun nicht auf dem Hüllzylinder, sondern auf dem Zylinder mit unendlicher Ausdehung in z-Richtung!
Und wieso hängt das Feld nicht von z ab? Ich kann doch nicht die z-Komponente vernachlässigen (wurde ja bereits diskutiert), geschweige denn "einfach" eine Höhe oder Länge festlegen und den Rest der Ladungsverteilung auf diesem Zylinder vernachlässigen! Denn für das Integral in Zylinderkoordinaten hat man ja
zu berücksichtigen!
Was muss ich hier beachten?
Tut mir Leid, 'bin gerade blockiert!  
Danke |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 02. Jun 2012 15:01 Titel: |
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Die vorgegebene Ladungsdichteverteilung hängt nur von r ab. Egal, an welcher Stelle z oder phi Du Deine Betrachtungen anstellst, Du hast lediglich eine Abhängigkeit von r. Du kannst bei einem ganz bestimmten Abstand r von der Zylinderachse also gar nicht erkennen, an welcher Stelle z, phi Du Dich befindest, weil die Umgebung immer gleich aussieht. Diese Tatsache macht sich auch darin erkennbar, dass Verschiebungsflussdichtevektor und Flächenvektor der "Deckelflächen" senkrecht aufeinander stehen. Es ist aus solchen Symmetriegründen überhaupt kein Grund erkennbar, warum irgendein Fluss durch die Deckelflächen gehen sollte.
Der zur Anwendung des Gaußschen Flussatz gedachte Hüllzylinder kann jede beliebige Länge l haben. Der Ladungsinhalt ist genauso wie die Mantelfläche des Zylinders direkt proportional der Länge l. Da bei der Rechnung die Ladung im Zähler und die Fläche im Nenner stehen, kürzt sich die Zylinderlänge heraus. |
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mürmel
Anmeldungsdatum: 15.04.2012
Beiträge: 14
Wohnort: Berlin
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| mürmel Verfasst am: 02. Jun 2012 15:21 Titel: nicht homogene Ladungsverteilung |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Du kannst bei einem ganz bestimmten Abstand r von der Zylinderachse also gar nicht erkennen, an welcher Stelle z, phi Du Dich befindest, weil die Umgebung immer gleich aussieht. |
Ist das so? Auch wenn die Ladungsverteilung alles andere als homogen erscheint! Gegeben war ja
 = \varrho_0 \, \sin\left(\frac{r\,\pi}{R}\right)
<br />
)
...Ahhh, ok! Ich sehe ein was du un dein Kollege meinten!
Stimmt die LAdungsverteilung ändert sich ja nur in Abhängigkeit von r nicht aber von z! Daher wird in z-Richtung eine homogene Verteilung (für R des Zylinders) erwartet.
Danke   |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 02. Jun 2012 15:30 Titel: |
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| Zitat: | Daher wird in z-Richtung eine homogene Verteilung (für R des Zylinders) erwartet.
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Die wird nicht nur erwartet, die ist so. |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 02. Jun 2012 17:14 Titel: |
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Damit fehlt jetzt nur noch die Begründung warum der Boden- und Deckelfluss Null sind.
Was sagt eine homogene Ladungsverteilung entlang der z-Achse eines (unendlich langen) Leiter über das Feld, oder um es anschaulicher zu betrachten, über die Feldlinien aus? (Vgl. Oberfläche eines Leiters)
Ich finde diese Gedanken sollte man sich definitiv machen, um es richtig zu verstehen. Für mich ist nämlich nicht a priori klar warum genau der Fluss (lokal) entlang einer Homogenen Ladungsverteilung verschwindet. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 02. Jun 2012 17:28 Titel: |
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Es war bereits festgestellt worden, dass das Feld und damit der dielektrische Verschiebungsfluss nur in radialer Richtung verläuft. Damit gibt es keinen Fluss senkrecht dazu (in z-Richtung), also auch keinen Fluss durch die (gedachten) Deckelflächen. Das Hüllintegral nach Gauß reduziert sich also auf das Integral über der Mantelfläche des (gedachten) Zylinders.
Vielleicht zur Erinnerung der Gaußsche Flusssatz:
Das Hüllflächenintegral der Verschiebungsflussdichte (welches sich im vorliegenden Fall auf das Mantelflächenintegral reduziert) ist gleich der von der Hülle (also von der Zylindermantelfläche der Länge l) eingeschlossenen Ladung. |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 02. Jun 2012 19:20 Titel: |
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Hast recht, hab deinen Beitrag heute Mittag nur überflogen und das über den Nachmittag wohl vergessen.
| Zitat: | | Diese Tatsache macht sich auch darin erkennbar, dass Verschiebungsflussdichtevektor und Flächenvektor der "Deckelflächen" senkrecht aufeinander stehen. |
Aufgrund Mürmels Beitrag war ich mir nicht sicher ob er das ganze Intuitiv auch verstanden hat und die Frage "Warum ist das Feld ein Radialfeld" tatsächlich beantworten konnte. Seine vorangegangen Beiträge haben jedenfalls nicht darauf schließen lassen das er das aus einer homogenen Verteilung direkt schließen kann.
Finde diesen Gedanken sollte man sich einfach mal neben der Mathematik stellen, das erleichtert das herangehen bei andern Ladungsverteilungen.
Naja whatever… wenn das Nachhaken was gebracht hat, gut, wenn nicht dann hat es auch nicht geschadet... |
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