Methode der Spiegelladungen erfüllt Maxwellgleichungen!?

hugo123 · Anmeldungsdatum: 03.07.2006 Beiträge: 14 Wohnort: Hannover

Hallo zusammen,

könntet ihr mir vielleicht bei einem Problem Helfen.
Wie im Bild zu sehen ist bei x>0 (Bereich 2) ein Dielektrikum und an der Stelle

(Bereich 1) eine Ladung q im Vakuum.

Als erstes soll ich die Maxwellgleichungen für E für die Bereiche angeben.
Das wär dann:

und

Mit der Methode der Spiegelladungen soll man das E-Feld angeben. Da hab ich:

Mit dem Ansatz soll man jetzt zeigen, dass die Maxwellgleichungen erfüllt werden. Wie kann man das denn zeigen?
Danke schonmal!

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich habe das jetzt selber nicht gerechnet, aber naiv würde ich so anfangen, dass ich einfach die Ergebnisse für E (also das was Du mit der Spiegelladung ausgerechnet hast) nehme und die Divergenz davon ausrechne. Danach kannst Du ja dann sehen, ob die Gleichungen von obern erfüllt werden.
Geht das nicht? Ich musses mal irgendwann im Detail anschauen...

Gruß
Marco

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Deine Maxwellgleichungen sind nicht ganz richtig, entweder muß bei Gebiet 1 dort stehen:

falls ihr Si Einheiten benutz, und dann fehlt bei deiner Lösung noch ein Faktor

Falls ihr CGS benutzt fehlt in der Maxwellgleichung selbst ein Faktor 4\pi .

Das die Maxwellgleichungen erfüllt werden ist schon fast triveal. Die liefern ja jeweils die delta Funktionen zu den entsprechenden Punktladungen. also:

Die zweite Deltafunktion ist im Gebiet 1 immer Null, von daher ist die Maxwellgleichung in Gebiet 1 erfüllt. Analog geht es bei Gebiet 2.
Da dort die Spiegelladung q'' eine Delta funktion macht, die im Gebiet 1 liegt.
Genauso wichtig, aber aufwendiger, ist das die Randbedingungen an der Oberfläche erfüllt werden, das liefert dann auch die beziehungen zwischen q'', q' und q. Überlege dir mal welche Randbedingungen für E und D am Dieelektrikum gelten müssen. Dann setze diese in deine Felder ein.

Noch mal zu den Maxwallgleichungen:

Wenn du das mal ausrechnest wirst du sehen, das überall null rauskommt, ausser wenn

Dann divergiert der Ausdruck. Das ist schon mal typisch für ne Deltafunktion.
edit: So hatte vorhin keine Zeit um zu ende zu schreiben, weiter gehts
Dann muß man noch zeigen, das das Integral über den ganzen Raum

gilt(hier taucht das

wieder auf), am besten mit dem Gauschen Integralsatz. Dann hat man einen Peak der überall Null ist, außer beim Nullpunkt, die Fläche (bzw. das Volumen) unter ihm ist aber gleich eins. Das genügt einem als Physiker um zu sagen

ist ne Delta Funktion, einem Mathematiker dürfte man so etwas wahrscheinlich eher nicht anbieten. Delta ist ja nicht mal eine Funktion.
Dann mußt du nur noch den Ursprung verschieben.

hugo123 · Anmeldungsdatum: 03.07.2006 Beiträge: 14 Wohnort: Hannover

Danke euch beiden!

Bei der Umrechnung von D zu E hab ich geschlammt, denn es gilt ja

.
Dann ist die Maxwellgleichung im Bereich 1, die oben Angebene. Und dann fehlt natürlich der Faktor

bei dem E-Feld.
Dann gabs ja diese Umformungen:

und

Kann ich die denn jetzt ganz Analog anwenden?:

und

Dann hät ich das soweit mit der Divergenz verstanden. Jetzt müssen aber noch beide Rotationen verschwinden. Wie geht denn das?

Danke nochmal!

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

ja, das geht, du mußt ja nur

Setzen. Die Rotation kannst du entweder per Hand ausrechnen, oder du weisst, dass immer

gilt.
Dann hast du oben schon den Ansartz dafür stehen.
Es bleiben aber imer noch die Randbedingungen zu erfüllen.

hugo123 · Anmeldungsdatum: 03.07.2006 Beiträge: 14 Wohnort: Hannover

E hat natürlich ein Gradientenpotential, deswegen rot E=0, aber wenn ich das einfach nur sage, impliziere ich doch, dass das angegebene E-Feld richtig ist. Das soll ich doch aber gerade zeigen. Also muss man doch rechnen.

Aber es müsste doch reichen, wenn ich sage, dass gilt:

Rechts steht ja dann Gradient von irgendetwas und darauf die Rotation ist 0.

Die Stetigkeitsbedingungen waren doch:

und

Da werd ich mich jetzt mal ransetzen.

Danke, für deine Hilfe

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Ja genau so meinte ich das.