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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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 Patrick Verfasst am: 08. Jul 2006 13:03 Titel: Frage zur kurvenähnlichen Abhängen |
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Ich habe eine Frage:
Eine Achterbahn rollt einen Abhang runter, der kurvenähnlich ist.
Die Funktion dieser Kurve, wo die Achterbahn runterrollt , ist:
 = x^{2})
Die Achterbahn startet am Punkt x = -2 mit der Geschwindigkeit 0 m/s.
Sie rollt dann bis zum Punkt x = 0 dieser Kurve. Wie groß ist ihre Geschwindigkeit, wenn sie am Punkt x = 0 ist? Wie berechnet man es? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 08. Jul 2006 13:12 Titel: |
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Hallo!
Am einfachsten geht das über die Energieerhaltung: In Punkt x=-2LE hast Du eine Höhe von h = f(-2) =4LE. Daraus ergibt sich eine bestimmte potentielle Energie E=mgh.
Am tiefsten Punkt ist die Höhe h = 0. Die potentielle Energie muß sich in kinetische Energie "verwandelt" haben. Daraus kannst Du die Geschwindigkeit ausrechnen.
Gruß
Marco |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 08. Jul 2006 13:45 Titel: |
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Geht es vielleicht so?
Nach dem Energieerhaltungssatz der Mechanik müssen potentielle und
kinetische Energie am Anfang gleich der potentiellen und kinetischen
Energie am Ende sein.
Potentielle Energie: mgh
Kinetische Energie: 0,5mv²
Energieerhaltungssatz:
Einsetzen ergibt:
Dann kommt man auf:
Das ist die gesuchte Geschwindigkeit am Punkt x = 0? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 08. Jul 2006 13:56 Titel: |
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Ja, das sieht richtig aus! 
Bis auf die Einheiten natürlich! Wenn Du g in m/s² hast, dann mußt Du auch die Höhe in Metern angeben. Das geht leider aus der Aufgabe nicht so richtig hervor. Deshalb hab ich LE für Längeneinheiten geschrieben. Bei Deiner Endformel mit der Wurzel muß da auch irgendeine Einheit stehen, sonst stimmt das nicht.
Gruß
Marco |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 08. Jul 2006 17:49 Titel: |
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Wie wird bei diesen kurvenähnlichen Abhang , wo die Achterbahn von Punkt x = -2 bis Punkt x = 0 runterrollt, die Zeit berechnet, bis die Achterbahn an Punkt x = 0 angekommen ist? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 08. Jul 2006 19:53 Titel: |
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Hallo!
Das ist nicht ganz so einfach. Hast Du schon mal was vom Lagrange-Formulismus gehört?
Gruß
Marco |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 09. Jul 2006 08:38 Titel: |
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Ich kenne zwar Langrange an seiner Interpolationsformel für Funktionen,
aber den Formulismus kenne ich noch nicht. Was ist dieser Formulismus?
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iolaos
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 15
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| iolaos Verfasst am: 09. Jul 2006 11:40 Titel: |
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Bei der Lagrange-Mechanik spielen Kräfte nicht mehr so eine große Rolle, da man an ihnen meistens nicht so interessiert ist, sondern viel mehr an die Bewegungsgleichung.
Dies wird getan, in dem die Kräfte als Energie und Potential beschreibt, und die Koordinaten geschickt wählt, dass der Körper in Richtung dieser Koordinaten keine Arbeit verrichten muss. |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 09. Jul 2006 11:51 Titel: |
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Wie macht man sowas (als Beispiel)? |
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iolaos
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 15
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| iolaos Verfasst am: 09. Jul 2006 12:28 Titel: |
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Man überlegt sich zuerst, wieviele sogenannten Freiheitsgrade dein System hat, also wieviele Möglichkeiten (Translation, Rotation), sich zu bewegen dein System hat, in deinem Fall ist es nur eine, und zwar entlang der festgelegten Bahn.
Dann überlegst du dir welche eine Koordinate du benutzt, um diese Bahn vollkommen zu beschreiben, das ist in deinem Fall die x koordinate, da sich sowohl x, als auch y dadurch ausdrücken lassen:
davon willst du nun die kinetische Energie rausbekommen, mit der Masse m deines Zuges:
 \\ mit \qquad \dot{x}=\dot{x} \qquad und \qquad\dot{y}=2x\cdot \dot{x}\\ E=1/2m(\dot{x}^2+(2x\cdot \dot{x})^2) )
Dann drückst du noch deine Gewichtskraft  in y-richt. durch ein Potential aus:
Dann bekommst du die Lagrange Funktion (was auch immer das jetzt für dich sein mag)
^2) - mgx^2)
Für diese Funktion gilt:
Die Herleitung davon findeste zu genüge auf unetrschiedl. Art und Weisen in Büchern.
Auf jedenfall ist der linke Ausruck
der zu x-konjugierte Impuls,
und
die zu x-konjugierte Kraft, somit gilt, also auch hier: Kraft = Kraft.
(sry, wieso diese Teile das gerade ergeben kann man jetzt nicht so schnell erklären)
Auf jedenfall erhälst du, wenn du
durchführst eine Bewegungsgleichung für x, die zu lösen ist, und daraus kannst du die Zeit dann berechnen. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 09. Jul 2006 12:53 Titel: |
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Hallo!
Die sich so ergebende Differentialgleichung könnte ich jetzt aber auch nicht "einfach mal so" lösen... Linear ist sie auf jeden Fall nicht mehr!
Gruß
Marco |
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iolaos
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 15
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| iolaos Verfasst am: 09. Jul 2006 13:03 Titel: |
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ok, soviel zu lagrange
könnt man das nich eigentlich auch so machen:
^2 +\left(\frac{\partial y(x)}{\partial x}\right)^2 }}) |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 09. Jul 2006 13:12 Titel: |
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@iolaos: Gehst Du jetzt von einer konstanten Geschwindigkeit aus?
Das ist ja gerade das Problem: Die Geschwindigkeit ist von y abhängig. Man könnte das ganze sicher auch ohne Lagrange rechnen, muß dann aber schon noch die variable Geschwindigkeit irgendwie ins Integral rein bekommen. Unterm Strich wird es wohl genau so kompliziert, oder komplizierter, als mit Lagrange.
Also, ich hätte jetzt grade keine einfache Lösung parat... 
Gruß
Marco |
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iolaos
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 15
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| iolaos Verfasst am: 09. Jul 2006 13:20 Titel: |
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haah, hast recht, bin so vertrottelt, ok zweiter versuch (sry @ patrick für die ganze verwirrung):
ok
^2 + \left(\frac{\partial y(x)}{\partial x}\right)^2}dx \\ t= \int_x \frac{\sqrt{ \left(\frac{\partial x}{\partial x}\right)^2 +\left(\frac{\partial y(x)}{\partial x}\right)^2}}{v} dx\\t= \int_x \frac{\sqrt{ \left(\frac{\partial x}{\partial x}\right)^2 +\left(\frac{\partial y(x)}{\partial x}\right)^2}}{\sqrt{2gy(x)}} dx)
Zuletzt bearbeitet von iolaos am 09. Jul 2006 14:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 09. Jul 2006 13:58 Titel: |
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Hallo!
Ja, das sieht mir schon richtiger aus... Ich habe das hier:
mal bei http://integrals.wolfram.com/index.jsp eingegeben (stimmt das noch ). Das hier kam dabei raus:
}+\sqrt{4x^2+1}\right)}{\sqrt{2g}\cdot x})
Müßte man mal plotten...
Gruß
Marco |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 12. Jul 2006 19:19 Titel: |
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Ich habe das mit dem Lagrange-Formalismus so gelöst:
Eine Kugel rollt einen Abhang der
Funktion  = -x^{2})
von Punkt x = 1 bis Punkt x = 2 nach unten.
Meine Lagrange-Funktion lautet:
(\dot{x})^{2}+mgx^{2})
 Das xxp ist das x mit dem Punkt drüber! (Wie bekommt man diesen
Punkt über das x?)
[as_string: mit "\dot{x}", zwei Punkte dann mit "\ddot{x}"]
Diese nach xxp abgeleitet:
m(\dot{x}))
Und nach x ohne Punkt darüber:
m(\dot{x})^{2}+2mgx )
Dann entsteht nun:
m(\dot{x}) = (4x^{2})m(\dot{x})^{2}+2mgx )
Und daraus kommt eine DGL:
 = \frac{(4x^{2})(\dot{x})^{2}-2gx}{(4x^{2}+1)} )
"xdxp" ist das x mit zwei Punkten darüber!
Die Lösung dieser DGL ist bei mir:
Hierbei sind A und B Konstanten.
Durch die Anfangswertbedingungen
und
habe ich die Konstanten A und B ermittelt :
Die vollständige Bewegungsgleichung ist dann:
)
Startpunkt: 1
x = 2
(siehe Aufgabenstellung)
Dann einsetzen und nach t auflösen:
Ist das die richtige Lösung? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 12. Jul 2006 20:03 Titel: |
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Hallo!
Ich habe nur den Anfang gelesen, aber müsste die L-Funktion nicht L = T-V = ... - mgx² sein, also ein Minus statt ein Plus?
Gruß
Marco
//Edit: Gerade sehe ich noch: ist das Quadrat beim x bei der Ableitung nach x nicht zu viel? Müßte das beim Ableiten nicht weg gehen? |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 12. Jul 2006 20:37 Titel: |
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Die Funktion ist  = -x^{2})
Die potentielle Energie ist:
)
Wird diese Energie von der kinetischen Energie abgezogen (Lagrange):
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 12. Jul 2006 20:43 Titel: |
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| Patrick hat Folgendes geschrieben: | | Die Funktion ist |
Ach so, das hatte ich übersehen... Ich war noch bei der Funktion vom Anfang des Threads ohne das Minus. Dann isses ok...
Gruß
Marco |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 12. Jul 2006 22:05 Titel: |
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ist meine Berechnung richtig? |
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iolaos
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
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| iolaos Verfasst am: 12. Jul 2006 22:21 Titel: |
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prinzipiell schon, allerdings haste dich bei der partiellen ableitung nach x vertan.
und hinterher bei der zeitlichen ableitung musst du beachten, dass sowohl x als auch dx/dt von t abhängen |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 13. Jul 2006 13:44 Titel: |
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So habe ich nach x abgeleitet:
m und xxp (x mit Punkt drüber) sind konstant.
 + mgx^{2})
 + 2mgx)
Hoppla, ich habe nur vergessen die Potenz abzuziehen!
Dann ist meine DGL:
 + 2gx}{(4x^{2} + 1)})
sonst alles richtig? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 13. Jul 2006 14:02 Titel: |
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Wie iolaos schon geschrieben hat, denke ich auch, dass die totale Ableitung nach der Zeit nicht korrekt ist. Allerdings verstehe ich auch noch nicht so ganz, wie Du von Deinen Ableitungen dann auf die DGL kommst. In den Ableitungen ist keine zweite Zeitableitung von x dabei, aber in der DGL dann schon? Du mußt ja nur die beiden Terme gleich setzen, wie kommt da dann noch eine Ableitung dazu?
Kannst Du vielleich nochmal Deinen Term für
aufschreiben? Ich steig da sonst irgendwie nicht durch...
Gruß
Marco
PS: Ich habe bei Deinem letzten Post die Ableitung noch zu einer partiellen gemacht. Dieses "komisch d" bekommst Du mit "\partial" in latex |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 13. Jul 2006 14:32 Titel: |
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Die Lagrange-Funktion
\dot{x}^{2}+mgx^{2})
wird nach xxp abgeleitet, dabei ist x ohne Punkt darüber und m konstant:
\dot{x})
Es ist nun der eine Term
\dot{x})
Ich habe im Internet ein paar Beispiele angeschaut und da war
was muss ich mit d/dt machen? |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 13. Jul 2006 16:11 Titel: |
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Hallo!
Die Punkte meinen ja nur die Zeitableitung. Es ist also nur eine kürzere Schreibweise für d/dt.
Allerdings mußt Du die Kettenregel und die Produktregel dabei beachten. Z. B.:
usw.
Hast Du das gemacht? Ich schau's mir gleich nochmal an... Was hast Du als Zeitableitung denn konkret raus?
Gruß
Marco |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
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| Patrick Verfasst am: 13. Jul 2006 19:54 Titel: |
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danke für diese Anweisung!
Jetzt mache ich so die Zeitableitung:
\dot{x} = m(8x\dot{x}^{2}+4x^{2}\ddot{x} + \ddot{x}) )
Und das DGL kommt auf Demonse (also sofort):
 = m(4x\dot{x}^{2}+2gx) )
ist das richtig? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 13. Jul 2006 20:37 Titel: |
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OK!
Das habe ich auch raus.
Gruß
Marco |
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