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Metallstab biegen / Trägheitsmoment
 
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Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 05. Dez 2019 17:12    Titel: Metallstab biegen / Trägheitsmoment Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich habe eine Aufgabe, die ich nicht früher gesehen habe:

Ein homogener dünner Metallstab der Länge L (Masse M) soll für Experimente zur Illustration der Mechanik starrer Körper an einer Stelle
um 90° gebogen werden.

(a) Leiten Sie eine Gleichung her, mit der Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des gebogenen Stabes in Abhängigkeit von x und L vorhersagen können.

(b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J(x) des gebogenen Stabes bezüglich einer Drehachse, die senkrecht auf der vom gebogenen Stab aufgespannten Ebene steht und durch die Biegestelle verläuft.

(c) Berechnen Sie die Lage der Biegestelle x = xmin, für die das Trägheitsmoment des gebogenen Stabes minimal wird, und das zugehörige Trägheitsmoment J(xmin).

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt, habe ich dies mal nicht so viele Ideen...

Für (a) sollten wir vielleicht diese Information um 90° nutzen, um die Koordinaten des Schwerpunkts zu stellen.

Dann könnten wir mit dem Koordinatensystem diese Formel nutzen:



Wobei die gesammte Masse des System ist.

Für (B) könnten wir vielleicht den Satz von Steiner anweden. Ich wüsste aber nicht wie.

(c) Hier habe ich leider keine Idee. Vielleicht könnten wir mit der Funktion J(x) arbeiten

Vielen Dank für die Hilfe !
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 05. Dez 2019 18:22    Titel: Antworten mit Zitat

zu a)

Das an der Stelle x abgebogene Stück hat die Masse



Das restliche Stück hat die Masse



: Abstand zur Stelle x

Momentengleichung





Morgen geht's weiter.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 05. Dez 2019 23:07    Titel: Antworten mit Zitat

Zu a): Aus der Definition des Schwerpunkts folgt, dass Du den Schwerpunkt des gesamten Körpers als Schwerpunkt von Schwerpunkten einzelner Teile berechnen kannst (Linearität des Integrals). Du kannst also einfach die Schwerpunkte der beiden Teilstücke betrachten. Wenn Du nun den Ursprung des Koordinatensystems in die Biegestelle legst, musst Du gar nichts rechnen - die Koordinaten sind einfach die Schwerpunkte der beiden Teilstücke multipliziert mit dem jeweiligen Masseanteil.

Zu b): auch hier kannst Du das Trägheitsmoment aus den beiden einzelnen Trägheitsmomenten bezüglich der Endpunkte der Teilstücke zusammensetzen (allenfalls den Satz von Steiner dazu benutzen).

Zu c): Ohne zu rechnen sollte klar sein, wo das Minimum von J(x) liegt. Verlangt ist natürlich, dass dies auch rechnerisch gezeigt wird, also die Nullstelle von dJ(x)/dx bestimmt wird.
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 06. Dez 2019 18:25    Titel: Antworten mit Zitat

Mathefix hat Folgendes geschrieben:
zu a)

Das an der Stelle x abgebogene Stück hat die Masse



Das restliche Stück hat die Masse



: Abstand zur Stelle x

Momentengleichung





Morgen geht's weiter.


Hallo Mathefix,
erstmal vielen Dank für die Erklärung. Könntest du bitte mehr dazu sagen? (vielleicht mit einer Skizze) Ich kann leider immer noch nicht verstehen, woher die Gleichung kommt, es sieht aber wie eine lineare Funktion aus.
Danke Hilfe
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 06. Dez 2019 18:30    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Zu a):. Wenn Du nun den Ursprung des Koordinatensystems in die Biegestelle legst, musst Du gar nichts rechnen - die Koordinaten sind einfach die Schwerpunkte der beiden Teilstücke multipliziert mit dem jeweiligen Masseanteil.


Das hier habe ich leider nicht verstanden, den Rest aber doch grübelnd

Myon hat Folgendes geschrieben:

Zu b): auch hier kannst Du das Trägheitsmoment aus den beiden einzelnen Trägheitsmomenten bezüglich der Endpunkte der Teilstücke zusammensetzen (allenfalls den Satz von Steiner dazu benutzen).


Ich habe schon eine Lösung für B (Siehe Lösung B) Thumbs up!
Ich weiß nicht, ob es richtig ist oder nicht aber ich habe den Satz von Steiner benutzt

Myon hat Folgendes geschrieben:


Zu c): Ohne zu rechnen sollte klar sein, wo das Minimum von J(x) liegt. Verlangt ist natürlich, dass dies auch rechnerisch gezeigt wird, also die Nullstelle von dJ(x)/dx bestimmt wird.


Da ich a) nicht verstanden habe, denke ich, dass ich aus diesem Grund nicht c) verstehen kann Hilfe



Lösung B.jpg
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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 07. Dez 2019 10:57    Titel: Antworten mit Zitat

Der Schwerpunkt des gebogenen Stabs ist einfach die Summe der mit den Massen gewichteten Schwerpunkte der einzelnen Stabteile, wie aus der Definition des Schwerpunkts folgt (die Dichte ist hier homogen):




Wenn Du nun den Ursprung des Koordinatensystems in die Biegestelle legst und die beiden Stabteile auf der x- bzw. y-Achse liegen, so kannst Du die Koordinaten von fast direkt ablesen. Die Schwerpunkte der einzelnen Stabteile liegen sicher in der Mitte der jeweiligen Teile, und ihre Massen sind einfach m1=x/L*M, m2=(L-x)/L*M.

Zu b): So wie ich sehe, hast Du einfach das Massenträgheitsmoment eines Stabs bezüglich dessen Stabendes bestimmt. Das kann aber nicht die Lösung der Aufgabe sein, denn das Trägheitsmoment hängt sicher von x ab. Aber mit den Trägheitsmomenten der einzelnen Stabteile, z.B. I1=1/3*m1*x^2, kannst Du einfach das Trägheitsmoment des ganzen gebogenen Stabs bilden. Dieses ist einfach die Summe der einzelnen Trägheitsmomente (auch das folgt aus der Definition des Trägheitsmoments).
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2019 12:10    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:


Hallo Mathefix,
erstmal vielen Dank für die Erklärung. Könntest du bitte mehr dazu sagen? (vielleicht mit einer Skizze) Ich kann leider immer noch nicht verstehen, woher die Gleichung kommt, es sieht aber wie eine lineare Funktion aus.
Danke Hilfe


Folge dem Vorschlag von Myon,weil der einfacher zu rechnen ist. Ich hatte den Koordinatenurspung in den Schwerpunkt gelegt, was eine aufwendige Rechnung nach sich zieht.
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 08. Dez 2019 16:46    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Der Schwerpunkt des gebogenen Stabs ist einfach die Summe der mit den Massen gewichteten Schwerpunkte der einzelnen Stabteile, wie aus der Definition des Schwerpunkts folgt (die Dichte ist hier homogen):




In den Integralgrenzen, welche Teile meinst mit Teil 1 und Teil 2?
Teil 1 ist der nicht gebogene Teil? und Teil 2 die gebogene Stelle?

Myon hat Folgendes geschrieben:

Wenn Du nun den Ursprung des Koordinatensystems in die Biegestelle legst und die beiden Stabteile auf der x- bzw. y-Achse liegen, so kannst Du die Koordinaten von fast direkt ablesen. Die Schwerpunkte der einzelnen Stabteile liegen sicher in der Mitte der jeweiligen Teile, und ihre Massen sind einfach m1=x/L*M, m2=(L-x)/L*M.


Könntest du bitte außerdem eine vektorielle Skizze machen?
Ich kann irgendwie mir nicht vorstellen, was du meinst. Ich habe versucht mein Koordinatensystem mit Orts- und Richtungsvektoren vom Stab zu verbinden aber es bringt mir nicht eine klare Lösung der Aufgabe.


Myon hat Folgendes geschrieben:


Zu b): So wie ich sehe, hast Du einfach das Massenträgheitsmoment eines Stabs bezüglich dessen Stabendes bestimmt. Das kann aber nicht die Lösung der Aufgabe sein, denn das Trägheitsmoment hängt sicher von x ab. Aber mit den Trägheitsmomenten der einzelnen Stabteile, z.B. I1=1/3*m1*x^2, kannst Du einfach das Trägheitsmoment des ganzen gebogenen Stabs bilden. Dieses ist einfach die Summe der einzelnen Trägheitsmomente (auch das folgt aus der Definition des Trägheitsmoments).


Also, dann hätten wir für das Trägheitsmoment:



Und wir haben 2 Teile:



Dann ist:








Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 08. Dez 2019 19:05    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:
In den Integralgrenzen, welche Teile meinst mit Teil 1 und Teil 2?

Mit Teil 1 bzw. Teil 2 unter dem Integralzeichen ist gemeint, dass über die Volumen der beiden Stabteile, die durch die Biegestelle getrennt sind, integriert wird.

Zitat:
Könntest du bitte außerdem eine vektorielle Skizze machen?
Ich kann irgendwie mir nicht vorstellen, was du meinst. Ich habe versucht mein Koordinatensystem mit Orts- und Richtungsvektoren vom Stab zu verbinden aber es bringt mir nicht eine klare Lösung der Aufgabe.

Sorry, aber das ist nun eine ziemliche Zangengeburt... Die Schwerpunkte der einzelnen Stabteile liegen doch einfach in deren Mitte. Liegen die Stabteile auf der x- bzw. y-Achse, sind die Schwerpunkte also



Nun noch wie angegeben die beiden Schwerpunkte mit den jeweiligen Massen der Teilstücke gewichten (Mulitplikation mit m1/M bzw. m2/M) und addieren.

Zitat:
Also, dann hätten wir für das Trägheitsmoment:


...

Weshalb integrierst Du ein Trägheitsmoment nochmals? Das kann schon dimensionsmässig nicht aufgehen.

Wie gesagt, das Trägheitsmoment eines dünnen Stabs bezüglich einer Achse durch ein Stabende ist 1/3*m*l^2. Hier hat man 2 solcher Stäbe (die beiden Stabteile), der eine mit Länge x und Masse x*M/L, der andere mit Länge (L-x) und Masse (L-x)*M/L. Wie gross sind also die beiden Trägheitsmomente? Das Trägheitsmoment des ganzen gebogenen Stabs ist einfach die Summe dieser einzelnen Trägheitsmomente.
Physiker33



Anmeldungsdatum: 09.12.2019
Beiträge: 8

Beitrag Physiker33 Verfasst am: 09. Dez 2019 19:53    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin auch am Lösen der Aufgabe:
b)


Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 09. Dez 2019 23:00    Titel: Antworten mit Zitat

Weshalb subtrahierst Du die Trägheitsmomente - sie müssen doch addiert werden. Und dann kann man noch etwas vereinfachen, der x^3-Term fällt weg.
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 09. Dez 2019 23:56    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe jetzt wieder alles gelesen und jetzt habe ich alles verstanden.
Ich hätte aber nur noch eine Frage und zwar:

Myon hat Folgendes geschrieben:

Die Schwerpunkte der einzelnen Stabteile liegen sicher in der Mitte der jeweiligen Teile, und ihre Massen sind einfach m1=x/L*M, m2=(L-x)/L*M.


Also



Ich verstehe, nicht wie ihr die beiden Massen berechnet habt Hilfe
Vielen bin ich einfach sehr müde Schläfer
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 10. Dez 2019 00:01    Titel: Antworten mit Zitat

Physiker33 hat Folgendes geschrieben:
Ich bin auch am Lösen der Aufgabe:
b)




Eigentlich, so





oder? grübelnd

Wir wollen ja die Trägheitsmomente addieren
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