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Nachricht |
Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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 Wolvetooth Verfasst am: 20. Nov 2019 22:48 Titel: Wegintegral der Schwerkraft |
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Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie das Wegintegral der Schwerkraft  für die Bewegung eines Körpers (Masse m = 1,0kg) entlang einer Kreisbahn, die in der xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems verläuft und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Der Startpunkt der Bahn liegt im Punkt  (Koordinaten im Metern) beim Polarwinkel 
a) Berechnen Sie das Wegintegral in Abhängigkeit vom Polarwinkel  , der einen variablen Endpunkt der Bewegung auf der Kreisbahn angibt.
b) Geben Sie für folgende Endpunkte der Bewegung den Wert des Wegintegrals an und interpretieren Sie das jeweilige Ergebnis bezüglich Vorzeichen und Betrag der Arbeit sowie der potenziellen Energie des Körpers im Schwerefeld in Bezug auf den Punkt  :  ;  und 
Meine Ideen:
Wenn ich ehrlich bin, habe ich gar keine Ahnung wie man das Wegintegral löst.
Ich habe ein bisschen recherchiert und gefunden, dass wir zuerst wissen müssen, was wir überhaupt integrieren (über das Skalarfeld oder über das Vektorfeld) [Ich weiß aber nicht, ob wir gerade mit einem Skalarfeld oder mit einem Vektorfeld arbeiten.]
Dann habe ich herausgefunden, dass das Wegintegral allgemein so definiert ist:
In unserem Fall, haben wir nur 2 Komponente (x und y). Also wäre:
Wobei die Kraft der Schwerkraft in  Richtung entspricht
Das Wegintegral sollte von starten und bei  beenden.
Ich vermute, dass das Integral in unserem Fall nicht mit dr integriert werden musst, sondern mit 
Leider waren das meine Ideen. Weiter weiß ich nicht 
Könnte jemand mir bitte helfen? |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3403
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| ML Verfasst am: 21. Nov 2019 09:07 Titel: Re: Wegintegral der Schwerkraft |
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Hallo,
Du hast  und Punkte auf der Kreisbahn in der Form  = \begin{pmatrix} r \cdot \cos(\varphi) \\ r \cdot \sin(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix} ) mit  gegeben. Berechnen sollst Du:
 .
Da Du nicht  hast, sondern nur ) , verwendest Du die Kettenregel:
 ,
und berechnest:
 .
Um zu überprüfen, ob das Integral richtig gelöst wird, kannst Du die Arbeit elementar über  berechnen.
Viele Grüße
Michael |
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 22. Nov 2019 16:39 Titel: Re: Wegintegral der Schwerkraft |
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Hallo Michael!
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Deine Nachricht hat mir sehr gut geholfen.
| ML hat Folgendes geschrieben: | | mit gegeben |
Könntest du mir vielleicht erklären, warum der Radius = 1 ist? der war nicht in der Aufgabenstellung 
| ML hat Folgendes geschrieben: | Da Du nicht hast, sondern nur , verwendest Du die Kettenregel:
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Ich weiß, wie man mit der Kettenregel integriert aber wie hast du es hier gemacht? (Die Umwandlung von zu 
Dann wäre mein erstes Integral:
Und wo oder wie sollte ich jetzt  = \begin{pmatrix} r \cdot \cos(\varphi) \\ r \cdot \sin(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix}) in einsetzen damit ich mit der Integration anfangen kann?
Ich werde lieber weitermachen, wenn du mir zuerst antwortest, um mir unnötige Fehler/falsche Wege zu sparren 
Viele Grüße! |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3403
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| ML Verfasst am: 23. Nov 2019 02:55 Titel: Re: Wegintegral der Schwerkraft |
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Hallo,
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: |
| ML hat Folgendes geschrieben: | | mit gegeben |
Könntest du mir vielleicht erklären, warum der Radius = 1 ist? der war nicht in der Aufgabenstellung
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Der Mittelpunkt der Kreisbewegung ist im Koordinatenursprung. Zusätzlich ist der Punkt P0 gegeben. Dessen Entfernung vom Ursprung ist nach dem Satz des Pythagoras gerade die gesuchte Länge 1.
| Zitat: |
Ich weiß, wie man mit der Kettenregel integriert aber wie hast du es hier gemacht?
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Gegeben sei eine glatte Funktion ) . Mit  bezeichnest Du die Änderung des Wertes von f, der sich ergibt, wenn Du den aktuellen x-Wert um das (differentiell kleine) Schrittchen  und den y-Wert um das (differentiell kleine) Schrittchen  in y-Richtung erhöhst.
Es gilt:
Der Ausdruck  ist der Anteil an , der durch das Wandern um ein Schrittchen in x-Richtung hervorgerufen wird. Analog ist  der Anteil an der Änderung von f, der durch das Wandern um ein Schrittchen in die y-Richtung erfolgt.
Wenn Dir das komisch vorkommt, stell Dir im ersten Ansatz mit einem noch unvollständigen Verständnis vor, dass man die Differentiale mit dem "runden" (partiellen)  gegen die totalen Differentiale mit dem "normalen"  kürzen kann.
Im nächsten Anlauf musst Du dann erkennen, dass man das runde immer dann nutzt, wenn man nur eine unabhängige Variable ändert. Bei dem totalen Differential schaut man sich an, wie sich die Größe ändert, wenn man alle unabhängigen Variablen erhöht.
Woher kommt die einfache Addition?
Da man jede gutmütige Funktion in der Umgebung eines Punktes durch ihre Tangentialebene annähern kann, kannst Du Dir anstelle der Funktion f ihre Tangentialebene vorstellen. Schließlich gehen wir ja nur differentielle (unendlich kleine) Schritte vom aktuellen Punkt weg.
Wenn Du das totale Differential
https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential#Einfacher_Fall
verstanden hast, ist die Kettenregel anschaulich leicht zu verstehen.
| Zitat: |
Und wo oder wie sollte ich jetzt in einsetzen damit ich mit der Integration anfangen kann?
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Als erstes leiteste Du nach  ab.
}{\partial \varphi} = \begin{pmatrix} -r \cdot \sin(\varphi) \\ r \cdot \cos(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix})
Anschließend bildest Du das Skalarprodukt mit . Dadurch fallen die ganzen Vektoren weg, und es bleibt ein ganz normales Integral übrig.
Viele Grüße
Michael |
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 25. Nov 2019 14:02 Titel: Re: Wegintegral der Schwerkraft |
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Vielen Dank für deine vollständige Antwort!
Du hast mir wirklich sehr gut geholfen und ich habe alles verstanden
LG
Wolvetooth! |
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