Schwerkraft

lilly · Gast

Hallo zusammen,

ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht verstehe! Es geht darum, die Abweichung der Schwerkraft von Newtons-Gestz zu bestimmen! Ich bitte um dringende Hilfe! Danke schön!!!

Also:

Eine tellerförmige Raumstation der Masse m befindet sich im Gravitationsfeld eines Planeten der Masse M, parallel zur Oberfläche orientiert. Ihr Radius sei r und ihr Mittelpunkt befinde sich im Abstand R>>r vom Mittelpunkt des Planeten. Bestimmen Sie die Abweichung der Schwerkraft von Newtons -gamma*Mm/R² - Gesetz.

Hinweis: Behnadeln Sie die Raumstation als Kreisfläche ( DIcke Null, konstante Flächenmassendichte = m/pi*omega²) , die Sie sich in Kreisringe aufgeteilt denken. Der kugelsymmetrische Planet darf als Punktmasse angenommen werden.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

worum geht es hier den?
Die Schwerkraft unterliegt dem NG, es sei denn es geht um Abweichungen die durch die allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden. Und das erscheint mir für eine Schule etwas zu hoch gegriffen.

Was soll hier denn getzeigt werden?
Wieweit die Masse des Raumschiffs die Erdanziehung überlagert?
Aber auch das unterliegt dem NG.

lilly · Gast

Hey,

in der Aufgabenstellung geht es darum, die Abweichung der Schwerkraft zu errechnen! ... das ist keine Schulaufgabe! :-)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die Abweichung durch die Masse des Raumschiffs ?
Oder geht es um Effekte durch die ART ?
Kreist das Raumschiff stationär um den Planeten?

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Ich nehm mal an, es ist der Fehler gemeint, den man erhält, wenn man die scheibenförmige Station als Punktmasse annimmt.
Der äußere Teil der Station hat ja schließlich einen geringfügig größeren Abstand zur punktförmigen Gravitationsquelle als der Mittelpunkt, wenn man davon ausgeht, dass die Station tangential zum Planeten steht.

Das Newton Gesetz ist dann natürlich weiterhin gültig (vorr. ART ist nicht zu berücksichtigen), allerdings ist nun der Abstand r eine Ortsfunktion, daher musst du über die einzelnen Massenelemente der Raumstation aufintegrieren!

lilly · Gast

Hey,

ja es geht darum die Abweichung der Schwerkraft von Newtons-Gesetz zu brechnen. Könnte mir da jemand behilflich sein ??? Danke.

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Hilft dir das, was ich geschrieben habe nicht... leider bin ich nicht fähig jetzt ne Zeichnung zu machen und das hier einzufügen....

Da das das G-Feld radialsymmetrisch ist, kannst du ne flache Scheibe, die tangential auf der Umlaufbahn steht halt nicht ganz als Massenpunkt annehmen, weil die "Ränder" deiner Scheibe weiter von der Gravitationsquelle entfernt sind als der Mittelpunkt.
Deswegen musst du die Scheibe in Kreisringe der Breite dr (Infinitesimal) aufstückeln und dann über diese Breite integrieren.
Vorher musst du natürlich die Abhängigkeit des Radiuses der Kreisscheibe mit der Entfernung zum Planeten berechnen...

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Für mich ist die konkrete Aufgabenstellung eigentlich noch immer unklar bzw. unpräzise formuliert.

lilly · Gast

Hey FloTor,

das was du sagst verstehe ich schon, nur ich weiß nicht wie die Rechnung aussehen soll! :-(

lilly · Gast

Hallo,

kann mir jemand vielleicht die Rechnung zeigen und mir bei der Aufgabe helfen ???? Danke.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Das durch die eigene Massenanordnung verursachte Feld an der unmittelbaren Oberfläche der unendlich dünnen Scheibe mit Flächenmasse

kann man direkt aus dem Gauss'schen Satz berechnen.

Das Oberflächenintegral über die Feldstärke ergibt sich zu

G x Masse die die Oberfläche einschliesst:

Daher

Die Radialkomponente muss daher Null sein. Dies gilt aber nur auf der Scheibe, nicht in einem endlichen Abstand von derselben.

Vielleicht nicht sehr nützlich - aber wenn Du besser ausdrücken könntest

genau berechnet werden soll ...

lilly · Gast

Hey,

also: Es soll die Abweichung der Schwerkraft von Newtons-Gesetz, was in der Aufgabenstellung angegeben ist ausgerechnt werden. Die Raumstation soll als Kreisfläche behandelt werden, die man in Kreisflächen aufteilen soll. Den kugelsymmetrischen Planeten kann man als Pnuktmasse auffassen. ... ich meine, man soll zunächst die Schwerkraft in diesen Gravitationsfeld ausrechnen und dann mit dem Newton-Gesetz vergleichen ...

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

@lilly: Du wiederholst die Aufgabenstellung einfach immer nur! Dadurch wird sie nicht klarer.
Die Aufgabe ist erstmal völliger Schwachsinn: Wie soll man mit Hilfe des Newton'schen Gravitationsgesetz eine Abweichung von Newton's Gravitationsgesetz zeigen? Das macht doch überhaupt keinen Sinn!!!
Klar, es gibt in der Realität eine Abweichung davon, wenn man das mit der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet. Aber erstens denke ich, dass man das in der Aufgabe nicht machen soll (dazu fehlen dann doch einige Angaben, wie schnudl ja schon geschrieben hat) und zweitens ist das vielleicht etwas zu hoch gegriffen. Auf der anderen Seite glaube ich, dass so lange das quasi statisch betrachtet wird, die ART in die Newton'sche Schwerkraft übergeht, aber ich kenne mich mit der ART leider (noch) nicht aus und kann deshalb dazu nix weiter sagen.
Also Bitte: Versuch doch endlich mal zu sagen, was Du eigentlich fragen willst. Und komm nicht wieder mit dieser Abweichung Newton<->Newton, weil es da per Definition keine geben kann.
Erzähl uns doch mal etwas zum Kontext der Aufgabe: Wo kommt sie hier, was wird da als Wissen erwartet (Ist es eine Schulaufgabe? Ist sie aus dem ersten Semester Studium? Ist es vielleicht aus einer ART Vorlesung?) Vielleicht könnten wir dann etwas genauer erraten, was damit jetzt eigentlich gemeint ist.
Das einzige, was mir irgendwie vielleicht plausibel erscheint, ist das mit den Scheibenringen und dem aufintegrieren. Du hast ja bei dem äußeren Ring für alle Massenpunkt einen etwas größeren Abstand zum Erdmittelpunkt als bei den inneren. Die Anziehungskraft zwischen Erde und Station ist dann eben das Integral über die Anziehungskräfte alle Massepunkte der Scheibe. Das ist logischerweise anders, als wenn ich nur den Schwerpunkt der Scheibe betrachte, der ja am nähesten an der Erde ist. Die anderen Punkte sind alle weiter weg und dadurch ist die Kraft auch geringer und so.
Aber: DAS IST _KEINE_ ABWEICHUNG VON NEWTONS THEORIE!!!! Sondern genau das ist Newtons Theorie. Man könnte nur sagen, das ist eine Abweichung wenn man als Näherung nur den Schwerpunkt betrachtet, im vergleich zu einer richtigen Rechnung. Aber Newton kann beim besten Willen nix dafür wie Du oder der Aufgabensteller nähert oder nicht nähert. Selbst wenn man die exaktere Theorie der ART nimmt, kommt man auf ein falsches Ergebnis durch dieser Näherung.
Also was meinst Du jetzt mit der "Abweichung von Newton's Gravitationstheorie"???

Ich bin verzweifelt!
Marco.

lilly · Gast

Ach ja das hätt ich jetzt nicht gedacht, dass das keine Abweichung ist!!! ... aber in der Aufgabe steht, dass ich eine Abweichung berechnen soll!!! ... ivh weiß auchn nicht was damit gemeint sein soll ... ich tippe wirklich auf das ART ... bin im 1.Semester!

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also, wenn Du im ersten Semester bist, kann ich mir nicht vorstellen, dass es was mit ART zu tun hat, ehrlich nicht! Ich denke dann eher (deshalb hatte ich das erste Semester auch erwähnt...) dass es dann mit dem Aufintegrieren zu tun hat, weil man solche Sachen gerne im ersten Semster macht. Dazu vielleicht diese Überlegungen:
Das Gravitationsgesetz ist ja (nach Newton):

Da das ganze radialsymmetrisch ist, kannst Du also z. B. das so legen, dass der Erdmittelpunkt und der Scheibenmittelpunkt auf der x-Achse liegen und Du beim Integrieren nur immer die x-Komponente betrachtest, weil sich die anderen für jeden Ring ja ausgleichen müssen. Als Abstand hast Du nach Pyth. für jeden Massepunkt auf einem solchen Ring:

ich hab hier jetzt y genommen als Radius "auf der Scheibe", also vom Mittelpunkt der Scheibe zu den Massepunkten auf dem Ring. Jetzt mußt Du aber die Kraft nochmal auf die x-Achse projizieren:

Als nächstes mußt Du Dir überlegen, wieviel Masse überhaupt auf einem solchen Ring verteilt ist. Wenn die Scheibe homogen sein soll, brauchst Du also die (infinitesimal kleine) Ringfläche:

Also Ringumfang mal die kleine Dicke des Ringes. Daraus sollte man dann also die Kraft für einen solchen Ring bekommen können, in Abhängigkeit von y (überleg Dir vielleicht für y doch besser einen anderen Buchstaben. y ist da nicht die beste Wahl, mir fällt aber grad nix besseres ein...)
Jetzt kannst Du über y von 0 bis zum Radius der Scheibe die x-Komponenten der Kräfte integrieren und solltest zu einer Kraft kommen. Das sieht aber etwas nach Rechenarbeit aus, dafür hab ich leider gerade keine Zeit, obwohl ich eigentlich schon Lust drauf hätte, aber ich muß noch Weihnachtsgeschenke kaufen gehen!
Wenn Du jetzt eine einfache Rechnung machst, indem Du nur die Gesamtmasse nimmst und das einfach in das Newton'sche Grav.-Gesetz einsetzt mit dem Abstand Mittelpunkt der Scheibe <-> Erdmittelpunkt, dann bekommst Du eine geringfügig andere Kraft. Ich denke jetzt, dass diese Abweichung eben gerade das gesuchte ist. Hatte aber nichts mit einer Abweichung von der Newton'schen Gravitation zu tun, das will ich nochmal betonen! Das ist einfach nur einmal etwas genauer berechnet und einmal genähert und das im Vergleich!

Ich hoffe, Du weißt jetzt, was Du für die Aufgabe tun mußt! Viel Spaß dabei!

Gruß
Marco

lilly · Gast

Hey Marco,

danke für deine Hilfe! ... ich werde versuchen eine Lösung zu finden, aber wenn du Zeit findest das zu rechnen, kannst du mir ja mal deinen Lösungsweg zeigen, damit ich mal vergleichen kann und mögliche Fehler sehe. Danke!!!

Gruß

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Ah danke, das war genau das, was ich zum Ausdruck bringen wollte.... sry, meine didaktischen Fertigkeiten sind nur minimal ausgeprägt Augenzwinkern

Aber ich bin mir auch ziemlich sicher, dass dieser Fehler durch die Näherung als punktförmige Masse gemeint ist... ART keinesfalls, das wär absolut lächerlich für erstes Semester.

Gast

Ich kann mir nicht vorstellen dass da was vernüftiges rauskommen kann !

Nach Aufgabenstellung ist R groß gegen den Planetenradius, und eine Raumstation per Definition klein gegen einen Planeten, dh. die Abstände der äußeren Stationsteile zum Planeten können in keinem relevanten Maß größer sein als der Abstand des Zentralpunktes. Einen praktisch sinnvollen, von Null verschiedenen Wert kann das nicht ergeben.

Vielleicht sollt du aber gerade diese "Null" nachweisen. Nur, für sonen Müll würde ich mein Rechner nicht schwingen, das Resultat ist auch so klar.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Also... ich habe mich jetzt mal tatsächlich hingesetzt und das gerechnet.
@FloTor: Ich glaube nicht, dass Deine didaktischen Fähigkeiten schlecht sind! Mir zumindest war schon klar, dass Du genau das meintest, was ich versucht hatte etwas genauer zu beschreiben. Aber eigentlich war Deine Antwort genau so gut zu verstehen. Eigentlich war Deine Antwort der Grund, warum ich die ganze Zeit nichts zu der Aufgabe gesagt hatte, weil eigentlich meines Erachtens schon alles gesagt war...
@Lilly: Ich will wirklich nicht arrogant wirken oder unhöflich Dir gegenüber sein. Bitte verstehe mich also nicht falsch, aber:
Wenn Du im ersten Semester Physik (oder etwas ähnliches) studierst, dann gehen ich mal davon aus, dass Du in der Schule einigermaßen gut in Physik warst und wahrscheinlich auch in Mathe. Ehrlich gesagt verstehe ich dann aber Deine Posts nicht so ganz. Wenn Du schreibst: "hätt ich jetzt nicht gedacht, dass das keine Abweichung ist" dann muß ich irgendwie daran zweifeln, dass Du überhaupt den ganzen Zusammenhang verstanden hast. Genau so, wie Du immer wieder wiederholt hast, dass es um die Abweichung in der Aufgabe ginge, obwohl ja schon einige Leute die Zusammenhänge, wie ich finde, recht genau geschildert hatten. Irgendwie passt das für mich nicht. Mich würde echt interessieren, an welche Abweichung Du dabei gedacht hattest. Mit anderen Worten: Ich habe den Eindruck, dass Du ein paar grundlegendere Sachen noch nicht kapiert hast (das ist nicht schlimm, dafür ist ein solches Forum ja gut...) und es wäre besser, wenn wir an den grundlegenden Dingen anfangen, als jetzt mit einer solchen Aufgabe.
Also nochmal, nimm es mir bitte nicht alzu krumm, dass ich das hier so sage. Aber ich denke, dass ich Dir so am meisten helfe.
@Gast: Ja, die Aufgabe ist wirklich ziemlich bescheuert! Der Meinung bin ich auch. Nur Lilly kann dafür nichts! Deshalb versuche ich es halt doch mal.
Jetzt aber zur eigentlichen Aufgabe. Ich habe das jetzt hier ohne Mathematica/Maple/MuPAD oder so gerechnet. Es kann also gut sein, dass ein paar Rechenfehler drin sind! Irgendwie kommt auch nicht wirklich was so richtig Sinnvolles raus, wie ich finde. Ich wäre also jedem dankbar, der vielleicht nochmal drüberschauen könnte, ob das so Sinn macht. Ich selbst habe auch keine Lust mehr das alles im Detail nochmal noch zu rechnen.
Ich habe ein kleines Bild gemacht, das hoffentlich verdeutlicht, was ich gerechnet habe. Um überhaupt etwas zu sehen, konnte ich aber das mit r<<R nicht machen.
Im ersten Schritt geht es darum, die Kraft eines schmalen Ringes in x-Richtung zu bestimmen (oder minus x, ist aber egal. Mich interessieren so wie so nur die Beträge). Dazu die kurze Überlegung, dass ich wirklich nur die x-Komponente brauche: Jeder Punkt auf dem Ring wird auch noch andere Komponenten haben, aber wenn ich den ganzen Ring betrachte müssen sich die anderen Komponenten gegenseitig aufheben, so dass nur noch etwas in x-Richtung übrig bleibt. Also kann ich auch gleich nur diese Komponente betrachten.
Auf einen Massering wirkt also diese Gewichtskraft:

Jetzt muß man noch die ganzen y integrieren:

Für den genäherten Fall bekommt man ja:

Naja, ich hatte gehofft, dass man jetzt schon deutlich sehen kann, was der Unterschied ist. Leider sehen sich die beiden Ergebnisse (zumindest für mich) jetzt nicht so richtig ähnlich. Deshalb glaube ich, dass ich mich wahrscheinlich irgendwo vertan habe. Leider sind das immer die doofsten, offensichtlichsten Fehler, die man selber übersieht. Deshalb wäre ich echt froh, wenn sich das nochmal jemand anschauen könnte!
Ich würde jetzt vielleicht versuchen eine Taylor-Entwicklung der exakten Rechnung zu machen und dann mal sehen, ob da nicht was mit dem genäherten Ergebnis vergleichbares rauskommt. Besonders schön wäre natürlich, wenn man sehen könnte, dass wenn man die ersten paar Glieder noch mitnimmt das gleiche wie bei der Näherung rauskommt und ab dem x-ten Glied aber ein Unterschied oder so ähnlich. Das ist mir jetzt aber gerade zu viel Arbeit. Vielleicht könnte das jemand mal mit Mathematica/Maple und Co. ausprobieren. Vielleicht dann auch nochmal meine Integration nachrechnen...
Naja, weiß nicht ob das alles überhaupt sinnvoll ist.

Gruß
Marco

lilly · Gast

Hallo,
ich habe das versucht, aber ich komm nicht klar! Kann mir das jemand vorrechnen bitte!!!! Danke.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Also obwohl ich die Ausführungen von @as_string nicht genau nachgerechnet habe sehen sie für mich recht plausibel aus. Das Integral kann mit Substitution

leicht gelöst werden.

Der Korrekturfaktor erscheint auch sinnvoll, da kleiner als 1.

Wo ist jetzt noch das Problem ? Es wurde für Dich ja schon Zeile für Zeile vorgerechnet !

grübelnd

lilly · Gast

Hey,

ich komm mit dieser Aufgabe garnicht zurecht! Kannst du mir das bitte vorrechnen! Aber so jeden nötigen Schritt damit ich das auch verstehe!!!
Danke schön!

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Man kann die Wurzel an der Stelle x=1 in eine Taylorreihe entwickeln und erhält in erster Näherung:

für

Daher nach einem leichten Zwischenschritt

da

Dies eingesetzt in @as_string's exakte Formel liefert unmittelbar die gewünschte Näherungsformel.

Grüsse+Prosit
Michael

lilly · Gast

Ist dann die Aufgabe gelöst ???

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Das musst du ja wissen. Du hast die Aufgabe ja gepostet...
Man könnte nun noch (wie von @as_string vorgeschlagen) die Taylorentwicklung nach r durchführen. Für r=0 geht die exakte Lösung dann in die bekannte Newtonsche Formel über. Die "Abweichung" sollte dann in erster Näherung durch das Glied der Entwicklung in r^4 gegeben sein.

Also im Detail (ohne Gewähr ! - mache selbst die Taylorentwicklung an Stelle 0):

Aus dem hast Du das fertige Resultat :

Im übrigen schliesse ich mich meinem Vorgänger an ! Du musst erst das vorherige (den Ansatz von @as_string) verstehen. Der letzte Schritt gibt dem Resultat nur den letzten Schliff, ist aber nicht wirklich "physikalisch".

lilly · Gast

HAllo zusammen,

danke für eure Hilfe! Ich denke ich habe das alles soweit verstanden! ... aber ist die Aufgabe damit auch gelöst?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo Lilly!

lilly · Gast

Ja tut mir leid, aber du musst nicht gleich nen dicken schieben! Wer bist du denn? ... bleib ma locker !!!

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Ui! Jetzt hast Du's mir aber gegeben! Bin echt getroffen! geschockt

Aber irgendwie hilft das weder Dir noch mir weiter.

Gruß
Marco

Edit:
Naja, vielleicht schreib' ich doch noch etwas mehr dazu:
Da hattest eine Aufgabe gepostet, die ziemlich merkwürdig formuliert war und keinem hier im Forum so wirklich klar wurde, was denn die eigentliche Aufgabe sein soll. Dann gab's ein paar Spekulationen darüber, während denen Du eigentlich immer nur die Aufgabe wiederholt hattest, ohne noch irgendwas dazu zu sagen, das irgendwie weiterhelfen konnte. Ich habe dann die meines Erachtens wahrscheinlichste Aufgabenstellung ziemlich detailiert, wie ich finde, durch gerechnen, worauf Du nur geschrieben hast, dass Du immer noch nicht weiter kommst und gefragt hast, ob das jemand vorrechnen könne. Ich weiß nicht, was man da noch genauer vorrechnen sollte, als das was ich schon gerechnet hatte. Zumal: Was genau hattest Du an dieser Stelle nicht kapiert? Hättest Du geschrieben, was Du nicht kapiert hast, hätte man Dir vielleicht helfen können... schnudl hat dann ja auch gefragt, wo denn jetzt noch das Problem sein soll. Dann schreibst Du einfach nochtmal, dass Du es vorgerechnet haben möchtest, was ja auch wieder nicht weiterhilft.
Ja, und dann kam die Frage, ob jetzt die Aufgabe gelöst sei, worauf scnudl und ich eben nochmal schrieben, dass wir das auch nicht wissen können, weil wir doch gar nicht wirklich wissen, was mit der ursprünglichen Aufgabe gemeint war! Dann sagst Du wieder, dass Du es inzwischen zwar einigermaßen kapiert hättest und stellst dann schon wieder die selbe Frage von wegen, ob die Aufgabe jetzt gelöst sei. Sollen wir jetzt nochmal genau die selben Texte schicken wie vorher auch? Oder was erwartest Du? Wenn Du verstanden hast, was wir gerechnet haben, dann weißt Du doch inzwischen genau so gut wie wir, ob die Aufgabe damit gelöst ist oder nicht, wieso fragst Du uns also ein zweites Mal? Versteh ich einfach nicht grübelnd

Versuch doch mal eine konkrete Frage zu stellen was die Physik betrifft. Z. B.: Wie kommt man auf die Kraft, die auf einen Ring der Scheibe ausgeübt wird? Oder: Wieso muß ich da die Kraft in x-Richtung nehmen? Oder vielleicht auch Fragen zu den einzelnen Schritten der Rechnung, oder was weiß ich. Darauf könnten wir Dir dann eine Antwort geben und Du würdest vielleicht damit etwas verstehen, was Du vorher noch nicht verstanden hattest. Aber die Frage, ob die Aufgabe jetzt komplett gelöst ist oder nicht... Du hattest ja ursprünglich eine Frage gestellt, also solltest Du doch am ehesten wissen, ob Deine Frage damit beantwortet ist.
Tut mir leid, wenn mein letzter Post etwas beleidigend war. War eigentlich gar nicht so gedacht und ich fand's halt irgendwie witzig... hab vielleicht manchmal einen merkwürdigen Humor...