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clueless_noob
Gast
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 clueless_noob Verfasst am: 30. Okt 2019 22:45 Titel: Schrödingergleichung mit Landau-Eichung umschreiben |
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Meine Frage:
Hallo.
Ich will eine Aufgabe lösen, aber ich komm nicht recht weiter.
Ein geladenes Teilchen (Ladung Q) ist beschränkt auf die x-y-Ebene und einem Magnetfeld in Richtung parallel zur z-Achse mit Betrag B ausgesetzt.
Ich soll zeigen, dass wenn man das Vektorpotential
 )
wählt, die Schrödingergleichung in folgende Form gebracht werden kann:
^2)\psi(x,y) = E\psi(x,y) )
Meine Ideen:
Ich wollte die Lagrangefunktion (x bzw. Zeitableitung v. x und A sollen Vektoren sein)
aufstellen und in die Hamiltonfunktion transfomieren mittels
Aber dann verschwinden bei mir jegliche Terme die A bzw. Komponenten davon enthalten. Die generalisierten Impulse hab ich ja durch Ableitung der Lagrangefunktion nach der Zeitableitung der Komponenten von x erhalten.
Egal wie oft ich es nochmal rechne, es kommt immer dasselbe raus.
Bin ich auf dem Holzweg oder hab ich nur ein Brett vorm Kopf? |
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clueless_noob
Gast
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| clueless_noob Verfasst am: 30. Okt 2019 22:50 Titel: |
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hab mich vertan:
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 30. Okt 2019 23:50 Titel: |
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Wenn Du H in Abhängigkeit der Geschwindigkeiten ausdrückst, fallen die Abhängigkeiten von A tatsächlich weg. H ist aber eine Funktion der generalisierten Impulse (, die dann zu Ableitungen werden).
(Da fehlt auch noch ein x in deiner Schrödingergleichung.) |
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clueless_noob
Gast
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| clueless_noob Verfasst am: 31. Okt 2019 10:50 Titel: |
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Danke für die Antwort.
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | H ist aber eine Funktion der generalisierten Impulse (, die dann zu Ableitungen werden). |
Also muss ich die Geschwindigkeit durch den generalisierten Impuls ausdrücken?
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | (Da fehlt auch noch ein x in deiner Schrödingergleichung.) |
Ja, aber ich dachte mir, dass die Energie keine explizite Ortsabhängigkeit hat, weil es kein elektrisches Feld geben soll. Die Kraftwirkung des Magnetfeldes ist doch von der Geschwindigkeit des Teilchens abhängig.
Oder hab ich dich falsch verstanden? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2019 11:10 Titel: |
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| clueless_noob hat Folgendes geschrieben: |
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | H ist aber eine Funktion der generalisierten Impulse (, die dann zu Ableitungen werden). |
Also muss ich die Geschwindigkeit durch den generalisierten Impuls ausdrücken?
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Ja.
| Zitat: |
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | (Da fehlt auch noch ein x in deiner Schrödingergleichung.) |
Ja, aber ich dachte mir, dass die Energie keine explizite Ortsabhängigkeit hat, weil es kein elektrisches Feld geben soll. Die Kraftwirkung des Magnetfeldes ist doch von der Geschwindigkeit des Teilchens abhängig.
Oder hab ich dich falsch verstanden? |
A_y hängt doch von x ab. |
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clueless_noob
Gast
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| clueless_noob Verfasst am: 31. Okt 2019 12:04 Titel: |
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Ach... Ja stimmt, sorry *facepalm*
Also nun ist dies meine Hamiltonfunktion
 ()
Das sollte so stimmen oder?
Dann muss ich nur noch die Terme mit p_y,B,Q,c und x in der entsprechenden Binomischen Formel zusammenfassen.
Das i und die reduzierte Planck-Konstante bekomme ich dann in die Formel rein, wenn ich den Impulsoperator in der Ortsdarstellung einsetze und die Planck-Konstante aus der Klammer ziehe. |
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clueless_noob
Gast
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| clueless_noob Verfasst am: 31. Okt 2019 12:05 Titel: |
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Ähm nein, die Impulsquadrate sollten ohne den Faktor 1/2 in der Klammer sein. Aber sonst müsste es stimmen |
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clueless_noob
Gast
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| clueless_noob Verfasst am: 31. Okt 2019 12:49 Titel: |
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Ich würde mich über einen kleinen Tipp zur zweiten Teilaufgabe freuen.
Ich soll zeigen, dass eine Lösung wie folgt geschrieben werden kann
 )
Dann soll ich a durch k ausdrücken, erklären wie u(x-a) aussieht und warum die Eigenwerte durch
)
gegeben sind.
Ich hab die Lösung einfach eingesetzt und kann e^{iky} eliminieren, dann bleibt diese Gleichung
 + u(x-a)(2\frac{QBx}{\hbar}k -\frac{Q^2B^2x^2}{\hbar^2}-k^2 + \frac{2mE}{\hbar^2} ) = 0 )
Und hier stecke ich grade fest. Ich wollte erst
^2)
ausklammern, aber das hilft mir nur bedingt. Wäre der Faktor vor u(x-a) nicht von x abhängig, würde ich hier eine e-Funktion als Ansatz wählen.
Ich bin nicht sicher wie ich die DGL behandeln soll. Ein Eulerscher Multiplikator vielleicht? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2019 15:51 Titel: |
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Wenn Du siehst wie die Energieeigenwerte aussehen sollen, könnte Dir schon ein Gedanke kommen, um was für eine Lösung es sich handelt. (Je nachdem wieviel QM Du schon hattest.)
Tipp: Die Energie hat einen kinetischen Term und einen potentiellen der im wesentlichen aussieht wie x^2. So ein System kennst Du 100%ig schon.
Falls Du gar nicht weiter kommst, steht hier die Lösung:
http://lampx.tugraz.at/~hadley/ss2/IQHE/landau.php |
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clueless_noob
Gast
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| clueless_noob Verfasst am: 31. Okt 2019 17:38 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn Du siehst wie die Energieeigenwerte aussehen sollen, könnte Dir schon ein Gedanke kommen, um was für eine Lösung es sich handelt. |
Die Energieeigenwerte gehören zum harmonischer Oszillator, nicht wahr?
Aber mich stört das a irgendwie.
Aber ich könnte doch die Variable x-a einfach durch bsp x' bezeichnen und dann x durch x'+a ausdrücken.
Der Übergang zur zweiten Ableitung nach x' sollte doch einfach sein, weil x' linear in x ist.
Dann würde ich a finden, indem ich die Gleichung, die ich erhalten habe mit der DGL für den harmonischen Oszillator vergleiche. a wäre dann also die Ruhelage bzw. die x-koordinate der Ruhelage |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2019 20:50 Titel: |
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richtig. und eine bestimmte Kombination der bei Dir auftretenden Variablen gibt Dir dann a. |
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clueless_noob
Gast
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| clueless_noob Verfasst am: 31. Okt 2019 21:58 Titel: |
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Dankeschön für deine Hilfe  |
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