Differentialgleichung der harmonischen Schwingung

saim_time · Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 7 Wohnort: KÖLN

hallo!

ich bin froh dieses forum gefunden zu haben, denn seit tagen such ich die antowrt auf einige fragen und bin bis jetzt nicht fündig geworden...

weiss jemand wie diese frage gemeint ist

'wie lautet die differentialgleichung der harmonischen schwingung
a) linear

b) kreisförmig'

was ich dazu finden konnte im Lindner war:

zu a)

y(t)=y( aber mit ^ drüber) * sin ( 2 pi* t/T + phi * 0(wobei dies keine null sondern ein griech. buchstabe ist) )

zu b)

genau wie oben ausser 2 pi mit w( aber dem griech. w) * t

wohlmöglich lacht ihr euch schlapp, aber ich komme einfach nicht drauf, könnt ih rmir helfen?

eine weitere ist:

wie sieht die ort-zeit-funktion von harmonischen schwingungen aus?

ist damit jetzt diese zeichnung gemeint ( das koordinaten system mit der sinus welle und diesen kreisen) oder eine richtige formel?

falls mir jemand helfen könnte, indem er die antowrt weiss oder mir sagen wo ich mich erkundigen soll, wäre ich sehr dankbar.

mfg
saim_time

[Da dies eine neue Frage ist, habe ich für sie ein neues Thema aufgemacht , Gruß, dermarkus]

saim_time · Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 7 Wohnort: KÖLN

also zu b) die 2*pi * 1/T wird durch w ersetzt!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Vielleicht hilft es dir ja schon, wenn ich dir Tipps dazu gebe, was die Bezeichnungen meinen:

Das, was du als y(t) = ... angibst, ist die Orts-Zeit-Funktion einer linearen harmonischen Schwingung. Denn y (so hast du ihn hier genannt) ist der Ort und t ist die Zeit.

Das ist die Lösung der Differentialgleichung für die lineare harmonische Schwingung. (In der kommt die Funktion y(t) und ihre zweite Ableitung nach der Zeit vor.)

Für eine Kreisbewegung steht anstelle des Ortes y der Winkel alpha (Wenn ich den Winkel hier mal alpha nenne). Die Winkel-Zeit-Funktion ist also ein alpha(t), das so periodisch hin- und herschwingt wie oben dein y(t). Und in der zugehörigen Differentialgleichung steht also die Funktion alpha(t) und ihre zweite Ableitung nach der Zeit.

Hilft das dir schonmal weiter? Hast du so eine Differentialgleichung schon mal gesehen, und kannst du dich nun an sie erinnern?

saim_time · Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 7 Wohnort: KÖLN

nur nochmal um sicher zu gehen:

die lineare differentialgleichung einer harmonischen schwingung ist die orts-zeit-funktion der harmonischen schwingung?

leider kann ich das mit dem winkel alpha mir nich tganz vor augen führen...aber anstelle des y kommt ein winkel (hier in dem fall alpha) hin?
und die 2.te ableitung?

ach ich weiss nicht so recht...ich guck nochmal im lindner nach morgen und antworte ob ich es nachvollziehen kann.

danke vielmals!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

saim_time · Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 7 Wohnort: KÖLN

sorry...ich möchte dich nicht auf die palme bringen...aber ich glaube ich könnte es besser nachvollziehen wenn ich die jeweiligen formeln vor augen hätte.
ich will mich jetzt nicht anstellen, aber verstehe das irgendwie nicht mit zweite ableitung in die DGL einsetzen usw.

kannst du mir die vielelicht aufschreiben damit ich mir das visualisieren kann?

danke

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das ist mir schon klar, dass du dir das besser vorstellen kannst, wenn du die Formeln direkt siehst. Weil das Hinschreiben der DGL aber ja schon die komplette Lösung einer deiner Teilaufgaben ist, hatte ich versucht, dir erstmal Tipps zu geben, damit du dich selber dran erinnern kannst.

Für eine lineare harmonische Schwingung einer Masse m an einer Feder mit Federkonstante D sieht die Differentialgleichung so aus:

Kommt dir das bekannt vor?

saim_time · Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 7 Wohnort: KÖLN

also die funktion die du aufgeschrieben hast...die kenn ich nicht.
was ist denn mit dem y passiert?

ich fang mal ganz von vorn an...auslenkung heisst doch wie weit das pendel hin und her schwingt, oder?

die kreisförmige harm. schw., kann die auch als drehbewegung bezeichnet werden?

die lineare harm. schw., wird doch so genannt weil das BZ-system die
y-achse eines koordinatensystems oder?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Unterscheidung zwischen linear und kreisfömig in dieser Aufgabe meint:

"linear": Der Körper schwingt auf einer geraden Linie hin und her. (Wir beschreiben also die Auslenkung des Körpers als y(t) )

"kreisförmig": Der Körper schwingt auf einer Kreisbahn hin und her. (Wir beschreiben also die Auslenkung des Körpers durch den Auslenkungswinkel

)

Die zwei Punkte über dem y bedeuten die zweite Ableitung von y(t) nach der Zeit.

Kennst du die Gleichungen F = - D*s und F= m*a ? Mit

und y=s bekommst du damit direkt die Differentialgleichung, die ich hingeschrieben habe. Kommst dir das dann bekannt vor?

saim_time · Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 7 Wohnort: KÖLN

ok...ich weiss nicht wie du auf kraft kommst (F ist doch kraft,oder?)

aber ich glaube ich begreife langsam den unterschied, zwischen den beiden formeln...bei der kreisförmigen wird die formel für kreisfrequenz mit angegeben, und bei der linearen nicht, stimmts?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Kraft verwende ich zum Aufstellen der Gleichung:

Die Kraft F, die den Körper beschleunigt (=m*a) ist gleich der Rückstellkraft F=-D*s der Feder.

Die Kreisfrequenz

kommt in beiden Lösungen vor:

linear:

DGL :

,

Lösung:

(alpha ist der Phasenwinkel der Schwingung)

kreisförmig:

DGL:

(mit Trägheitsmoment I des schwingenden Körpers bezüglich der Drehachse und Federkonstante D_K der Drehfeder)

Lösung:

saim_time · Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 7 Wohnort: KÖLN

aso...der unterschied der formeln liegt also darin, dass bei linear y für die achse steht

und bei kreisförmig phi für die kreisförmige bewegung...

super, danke dir.