Freier Fall und Impulsänderung Affe und Kokosnuss

Icegirly · Gast

Meine Frage:
Ich muss für die Uni wöchentlich Physikübungen lösen und komme bei einer Frage in der Dynamik nicht weiter. Es ist mehr eine Überlegungsaufgabe als eine Rechenaufgabe.

Ein Affe fällt mit einer Kokusnuss von einer Palme nach unten. Er möchte mit möglichst kleiner Erdbeschleunigung auf Boden landen. Soll er Kokosnuss nach oben werfen, nach unten, horizontal oder behalten. Soll er sie auf bestimmter Höhe loslassen? Argumentieren sie mit v-t Diagramm.

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass es um den freien Fall geht und um eine Impulsänderung wenn der Affe die Nuss loslässt. Ich komme aber nicht auf einen Lösungsansatz bzw kann mir das ganze physikalisch nicht vorstellen.

Bin für jede Hilfe dankbar:)

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Was ist eine "kleine Erdbeschleunigung"?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Wahrscheinlich soll der Affe mit möglichst kleiner Geschwindigkeit auf dem Boden auftreffen.

Im Aufgabentext steht ja bereits, dass mit dem Verlauf im v/t-Diagramm argumentiert werden soll. Wie sieht denn im Fall ohne Kokosnuss bzw. wenn der Affe die Kokosnuss nicht abwirft die Bewegung in diesem Diagramm aus?

Beim Werfen der Kokosnuss kann man annehmen, dass dies mit einem bestimmten Kraftstoss erfolgt, dass also die Kokosnuss mit einer bestimmten Relativgeschwindigkeit abgestossen wird. Daraus folgt, dass auch die Geschwindigkeit des Affen um einen bestimmten Betrag ändert. Dies also im v/t-Diagramm einzeichnen.

Wenn Du nun noch beachtest, dass das Integral der v(t)-Kurve bis zum Erreichen des Bodens gleich sein muss wie im Fall ohne Kokosnuss, wird klar, wann die Kokosnuss geworfen werden muss. Die Richtung sollte ohnehin klar sein. (Tipp: egal wann die Kokosnuss abgeworfen wird, die Auftreffgeschwindigkeit hängt nur ab von der Flugzeit. Diese muss also möglichst kurz sein.)

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

@franz: Ich denke, das ist nicht richtig. Zum einen (Argumentation im v/t-Diagramm): Wenn der Affe die Kokosnuss unmittelbar vor dem Auftreffen abwirft, dann ändert die Flugzeit nicht im Vergleich zum Fall ohne Abwurf. Wirft er die Nuss vorher ab, verlängert sich die Flugzeit, und die Auftreffgeschwindigkeit wird grösser. Zum anderen (Energiebetrachtung): geht man von einer bestimmten festen Änderung der Geschwindigkeit aus, so ist die Verringerung der kinetischen Energie des Affen ebenfalls am grössten, wenn er die Kokosnuss unmittelbar vor dem Autreffen auf dem Boden abwirft.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo Myon!

Du hast recht, die Energiedifferenz wächst mit der Geschwindigkeit vor dem Nußwurf, womit die Differenz der Endgeschwindigkeiten unten am größten ist.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Hallo Myon & Franz,

ich habe folgende Überlegung angestellt:

Ohne Abwurf der Kokosnuss beträgt die Aufprallgeschwindigkeit des Affen

h = Fallhöhe

Durch senkrecht nach unten gerichteten Abwurf der Kokosnuss ändert sich durch die Impulsänderung die Geschwindigkeit des Affen.

t_k = Zeitpunkt des Abwurfs der Kokosnuss
v_k = Abwurfgeschwindigkeit der Kokosnuss
m_A = Masse des Affen
m_K = Masse der Kokusnuss
v'_A = Geschwindigkeit des Affen
v_A = Aufprallgeschwindigkeit des Affen

v_A ist minimal, wenn t_k den grösstmöglichen Wert, also kurz vor dem Aufprall erreicht.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

@Mathefix: Falls Dein Fazit heissen soll, dass der Zeitpunkt des Abwurfs nicht relevant ist, dann ist dies nicht richtig. Siehe meinen letzten Beitrag. Es ist optimal, die Kokosnuss unmittelbar vor dem Auftreffen am Boden abzuwerfen (abgesehen von der untenstehenden Einschränkung).

Dass der Zeitpunkt sicher nicht egal sein kann, sieht man am Fall, wo die Kokosnuss gleich beim Start (wo v=0 ist) abgeworfen wird. Dann nämlich wird die Auftreffgeschwindigkeit sogar erhöht.

Wenn

die Geschwindigkeitsänderung ist, welche der Affe durch den Abwurf erfährt, so ist die Auftreffgeschwindigkeit

(

sei die Höhe des Abwurfs). Auch hier sieht man, dass v minimal wird für

.

Eine Einschränkung gilt dabei: ist die Abwurfgeschwindigkeit der Kokosnuss so gross, dass

dann ist es besser, die Kokosnuss gar nicht abzuwerfen.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Nochmal die gesamte Lösungskizze mittels Energiesatz:
1) Ein Affe der Masse M fällt von der Höhe h_0 auf h
2) wirft er die Kokosnuss der Masse m mit der Geschwindigkeit u nach unten
3) und landet schließlich bei h = 0

Offensichtlich muss v(h) maximiert werden, so dass der erste Term minimiert wird. Maximales v(h) erreicht man dadurch, dass der Affe die Kokosnuss direkt über dem Boden abwirft.

Aber! In die Berechnung gegen ja noch weitere Parameter m/M und u ein. Wenn diese passen, dann kann der Affe sein v’(0) tatsächlich minimieren bzw. exakt Null erreichen. Wenn er jedoch zu stark nach unten wirft, d.h. v’(0) < 0, dann kommt er gar nicht auf dem Boden auf, sondern wird wieder nach oben fliegen - und beim zweiten Mal ohne Kokosnuss ungebremst auf dem Boden aufkommen.

Interessant ist also die Nullstelle

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Habe mit meiner Gleichung folgendes Beispiel gerechnet:

m_a = 10 kg
m_k = 1 kg
v_k = 10 m/s
h = 20 m
t_k = 2 s

Bei Fall mit Kokosnuss beträgt die Aufprallgeschwindigkeit 19,8 m/s nach 2,01 s.

Wird die Kokosnuss nach t_k = 2 s mit der Geschwindigkeit v_k = 10 m/s abgestossen, beträgt die Aufprallgeschwindigkeit 12,7 m/s.

So wirklich hat das Manöver dem armen Affen nicht geholfen: Affe tot.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

@Mathefix: Ohne gross zu rechnen sollte eigentlich klar sein, wie der Affe die Aufprallgeschwindigkeit auf 0 (bzw. beliebig klein) runterbringt: er muss die Kokosnuss unmittelbar vor dem Boden so abwerfen, dass er eine Geschwindigkeitsänderung von

erfährt. Er muss also die Kokosnuss mit einer Geschwindigkeit von

nach unten werfen. Dann wird auch der obige Ausdruck für die Geschwindigkeit =0.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Der Rechenweg über die Zeit ist ungeschickt - auch wenn die Hilfestellung in der Aufgabe dies vorgibt.

Der Ansatz über den Gradienten hilft auch nicht, weil das Minimum - wenn überhaupt eines vorliegt - außerhalb des zulässigen Bereiches liegen kann. Nehmen wir an, die Abwurfgeschwindigkeit u für die Kokosnuss sei so groß, dass der Affe nach oben katapultiert wird. In diesem Fall wäre es sinnvoll, bis zu einer Höhe h < 0 zu fallen und dort die Kokosnuss abzuwerfen, so dass die darauf folgende nach oben steigende Wurfparabel ihren Scheitel bei h = 0 hat. Das ist aber unphysikalisch. Gesucht ist außerdem nicht das Minimum, sondern die Nullstelle von v’(h = 0).

Wenn du zwei unabhängige Variablen h und u zulässt, dann folgt aus meiner Rechnung sofort die Lösung: Freier Fall bis bzw. Abwurf bei h = 0 mit

- siehe Myon

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Nebenbei ein Blick auf die Wirklichkeit (wie auch bei Greifvögeln mit Nüssen, Ziegen oder kleinen Kindern).