Gleichung mit Hyperbelfunktionen

ATtiny · Anmeldungsdatum: 19.01.2019 Beiträge: 22

Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier eine Mathe-Aufgabe bei der mittels einer geeigneten Substitution
alle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen bestimmt werden sollen:

leider stoße ich hierbei an meine Grenzen.

Meine Ideen:
Erst einmal habe ich -2 ausgeklammert und dann beide Seiten durch -2 geteilt.

Mein nächster Schritt führt über die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen:

und

=>

Nun multipliziere ich die Potenz aus:

fasse zusammen und multipliziere die Klammer aus:

vorausgesetzt bis hierher bin ich überhaupt noch auf der richtigen Spur,
wie könnte ich hier nun weitermachen?
Vielen Dank schonmal im Voraus!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Beim Ausmultiplizieren ist ein Fehler passiert. Es sollte eine Gleichung

resultieren. Nun kannst Du

setzen, dann hast Du eine quadratische Gleichung in y und kannst auflösen.

ATtiny · Anmeldungsdatum: 19.01.2019 Beiträge: 22

Vielen Dank für die Hilfe,
habe den Fehler entdeckt, nun komme ich auf folgende Umformungen:

Meine Gleichung lautet also:

Durch Erweitern des "rechten Teils", zusammenfassen und teilen durch (-4) komme ich auf:

Aber wie käme ich mit der von Dir genannten Methode dann auf eine quadr. Gleichung?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

ATtiny · Anmeldungsdatum: 19.01.2019 Beiträge: 22

Dann habe ich wohl mit der falschen Ausgangsgleichung gerechnet, denn in der Klausur, aus der diese Aufgabe stammt steht

leider habe ich aber keine Lösungen zur Aufgabe.

Nichtsdestotrotz komme ich durch die von Myon vorgeschlagene Substitution auf folgende Lösungen:

Wenn ich nun nicht die sinh Funktion quadriere, sondern nur x komme ich auf folgenden Endstand:

Hier bin ich nun was reelle (oder überhaupt irgendwelche) Lösungen angeht hoffnungslos überfragt,
ich gehe stark davon aus, dass mein Prof.

meinte.
Danke für die Hilfe!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870