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Kugelwelle löst d'Alembert-Gleichung, Kreiswelle nicht
 
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Schlossvippach



Anmeldungsdatum: 24.06.2022
Beiträge: 1

Beitrag Schlossvippach Verfasst am: 24. Jun 2022 14:41    Titel: Kugelwelle löst d'Alembert-Gleichung, Kreiswelle nicht Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Wenn ich eine Kugelwelle im 3 D Raume betrachte, so stellt die Wellenfunktion (1) eine Lösung der d'Alembertgleichung in Kugelkoordinaten dar, mit und wenn , da sich die Energie der Erregung, welche Proportional zur Auslenkung zum Quadrat ist, auf einer Kugelschale im Raum verteilen muss.

Ich habe die Wellenfunktion in die D'alembert Gleichung eingesetzt und überprüft, dass die Wellenfunktion die d'Alembert Gleichung erfüllt. Das passte.

Soweit so gut.

Analog wollte ich die Wellenfunktion einer Kugelwelle bestimmen und haben angenommen, dass (2) eine Lösung der d'Alembertgleichung in Zylinderkoordinaten mit sein muss, wenn und , da sich nun die Energie der Erregung auf dem Kreisumfang verteilen muss.

Setze ich nun die o.g. Wellenfunktion (2) in die d'Alembert Gleichung ein sehe ich, dass die Wellenfunktion keine Lösung der d'Alembert Gleichung (in 2D Kreiskoordinaten oder 3D Zylinderkoordinaten) ist, da bei mir ein Term nicht verschwindet...

Dabei sollte doch eigentlich auch die o.g. Wellenfunktion der Kreiswelle eine Lösung der D'Alembertgleichung sein....



Meine Ideen:
Ich vermute einen Denkfehler bei der Nutzung von 2D Kreis oder 3D Zylinderkoordinaten. Außerdem kann es natürlich auch ein, dass ich mich bei wiederholt verrechnet habe und es gar kein Problem gibt... Für Unwahrscheinlich halte ich es, dass ich die falsche Wellenfunktion für die Kreiswelle angesetzt habe, da z.B. http://lampx.tugraz.at/~hadley/physikm/script/waves/circular2d.de.php auf die selbe Wellenfunktion kommt...


Freue mich sehr auf euren Input!
Schlossvippach2
Gast





Beitrag Schlossvippach2 Verfasst am: 24. Jun 2022 14:44    Titel: Korrektur Antworten mit Zitat

Im zweiten Abschnitt muss es natürlich heissen: "Kreiswelle" im Satz "Analog wollte ich... "Kreiswelle" ..."
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jun 2022 14:46    Titel: Antworten mit Zitat

In der Kugelwelle darf kein Term "kx" stehen sondern "kr", sie hat die Form



Der Zusammenhang zischen omega und k ist wie üblich von den Details der Wellengleichung abhängig.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Schlossvippach3
Gast





Beitrag Schlossvippach3 Verfasst am: 24. Jun 2022 15:10    Titel: Danke... Antworten mit Zitat

Hallo Tom, danke, dass ist korrekt, war aber auch ein Tippfehler. Gerechnet haben ich mit für die Kugel- und die Kreiswelle.

Lediglich die Radiusabhängige Amplitude habe ich bei der Kugelwelle proportional zu 1/r und bei der Kreiswelle als proportional zur Wurzel von 1/r angekommen, um die Energie einmal auf der Kugeloberfläche, einmal auf dem Kreisumfang zu verteilen.

Wenn man die Wellenfunktion inkl. der Radiusabhängigen Amplitude in die D'alembert Gleichung setzt (und zwar egal ob complex, rein Realteil, rein imaginärteil, habe ich alle ausprobiert) löst mein Ansatz für die Kugelwelle die D'Alembertgleichung mit dem Laplace in Kugelkoordinaten; jedoch die Wellenfunktion für die Kreiswelle NICHT die d'Alembertgleichung mit dem Laplace in Kreiskoordinaten (oder Zylinderkoordinaten).

Und das verwirrt mich doch sehr...
Schlossvippach3
Gast





Beitrag Schlossvippach3 Verfasst am: 24. Jun 2022 15:10    Titel: Danke... Antworten mit Zitat

Hallo Tom, danke, dass ist korrekt, war aber auch ein Tippfehler. Gerechnet haben ich mit für die Kugel- und die Kreiswelle.

Lediglich die Radiusabhängige Amplitude habe ich bei der Kugelwelle proportional zu 1/r und bei der Kreiswelle als proportional zur Wurzel von 1/r angekommen, um die Energie einmal auf der Kugeloberfläche, einmal auf dem Kreisumfang zu verteilen.

Wenn man die Wellenfunktion inkl. der Radiusabhängigen Amplitude in die D'alembert Gleichung setzt (und zwar egal ob complex, rein Realteil, rein imaginärteil, habe ich alle ausprobiert) löst mein Ansatz für die Kugelwelle die D'Alembertgleichung mit dem Laplace in Kugelkoordinaten; jedoch die Wellenfunktion für die Kreiswelle NICHT die d'Alembertgleichung mit dem Laplace in Kreiskoordinaten (oder Zylinderkoordinaten).

Und das verwirrt mich doch sehr...
Schlossvippach4
Gast





Beitrag Schlossvippach4 Verfasst am: 24. Jun 2022 15:21    Titel: Etwas genauer: Antworten mit Zitat

Für die Kugelwelle ist

ist erfüllt (ist eine wahre Aussage), aber für die Kreiswelle ist



NICHT erfüllt (ist keine wahre Aussage).
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5270

Beitrag Myon Verfasst am: 24. Jun 2022 15:48    Titel: Re: Kugelwelle löst d'Alembert Gleichung, Kreiswelle nicht.. Antworten mit Zitat

Schlossvippach hat Folgendes geschrieben:
Setze ich nun die o.g. Wellenfunktion (2) in die d'Alembert Gleichung ein sehe ich, dass die Wellenfunktion keine Lösung der d'Alembert Gleichung (in 2D Kreiskoordinaten oder 3D Zylinderkoordinaten) ist, da bei mir ein Term nicht verschwindet...

Ist bei mir auch so, ein Term

verschwindet nicht.
Schlossvippach 5
Gast





Beitrag Schlossvippach 5 Verfasst am: 24. Jun 2022 16:28    Titel: Re: Kugelwelle löst d'Alembert Gleichung, Kreiswelle nicht.. Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Schlossvippach hat Folgendes geschrieben:
Setze ich nun die o.g. Wellenfunktion (2) in die d'Alembert Gleichung ein sehe ich, dass die Wellenfunktion keine Lösung der d'Alembert Gleichung (in 2D Kreiskoordinaten oder 3D Zylinderkoordinaten) ist, da bei mir ein Term nicht verschwindet...

Ist bei mir auch so, ein Term

verschwindet nicht.


Danke @Myon

Die Frage ist nun: setze ich tatsächlich den falschen Laplace an; wenn ja:
warum ist der falsche Laplace für die Kreiswelle ODER setze ich das falsche an (wahrscheinlicher - aber aufgrund der Energieerhaltung auch irgendwie komisch...).

Mit der Lösung der DGL die sich aus der d'Alembertgleichung in 2D Kreiskoordianten ergibt stecke ich gerade auch fest, da mir die spezifische Form der sich ergebenen linearen DGL nichts sagt...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jun 2022 18:40    Titel: Antworten mit Zitat

Der Laplace ist ok, aber ich denke, dass die vermeintliche Lösung keine ist.

Ich bin mir auch nicht mehr sicher, ob mein o.g. Ansatz so funktioniert.

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Schlossvippach5
Gast





Beitrag Schlossvippach5 Verfasst am: 24. Jun 2022 18:59    Titel: Tja... Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Der Laplace ist ok, aber ich denke, dass die vermeintliche Lösung keine ist.

Ich bin mir auch nicht mehr sicher, ob mein o.g. Ansatz so funktioniert.


Bin mittlerweile auch davon überzeugt, dass am Ansatz was nicht stimmt.

Dein Ansatz sollte Zielführend sein, denn damit sind ja alle Fälle abgedeckt, selbst wenn würde uns die DGL das ja sagen.


Wenn ich den Ansatz (mit einer komplexen Wellenfunktion) weiter verfolge, also
bringt mich das auf die komplexe lineare DGL 2. Ordnung:
bei der ich dann mathematisch keinen Angriff finden (habe versucht die DGL mit einer Linearkombination von rein Real und rein Komplex zu lösen, das führt mich aber zu Widersprüchen).

Irgendwie denke ich die ganze Zeit, dass das ja nicht so schwer sein kann, da es in 3D so schön klappt, aber auch in den Fachbüchern, die ich zur Hand habe, habe ich keine Herleitung für die Kreiswelle gefunden, die das Problem auflöst. (Demtröder nur 3D, Tipler und Gerissen gar nicht, Fließbach und Feynman auch nicht...)
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jun 2022 19:16    Titel: Antworten mit Zitat

So geht's mir gerade auch.

Natürlich kann man die Differentialgleichung auch anders lösen.

Statt



evtl. besser


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Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Jun 2022 22:46, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jun 2022 22:45    Titel: Antworten mit Zitat

So, ich hab‘ mal rumgefragt. Der o.g. Ansatz für N = 3 funktioniert ähnlich für N = 2m+1 jedoch nicht für N = 2m.

Vernünftigerweise setzt man



Damit folgt aus der N-dim. Wellengleichung





die entsprechende Helmholtzgleichung



mit Lösungen



mittels Besselfunktionen erster Art J und zweiter Art Y was in N = 3 auf die bekannten Lösungen führt.

Siehe auch

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bessel_function

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Schlossvippach6
Gast





Beitrag Schlossvippach6 Verfasst am: 25. Jun 2022 09:45    Titel: Vielen dank... Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
So, ich hab‘ mal rumgefragt. Der o.g. Ansatz für N = 3 funktioniert ähnlich für N = 2m+1 jedoch nicht für N = 2m.

Vernünftigerweise setzt man



Damit folgt aus der N-dim. Wellengleichung





die entsprechende Helmholtzgleichung



mit Lösungen



mittels Besselfunktionen erster Art J und zweiter Art Y was in N = 3 auf die bekannten Lösungen führt.



Macht Sinn, danke für deine/eure Hilfe.

Ich muss zugeben, dass ich nicht damit gerechnet habe, dass der Übergang N=3 zu N=2 so ein Fass aufmacht smile.
Schlossvippach6
Gast





Beitrag Schlossvippach6 Verfasst am: 25. Jun 2022 09:45    Titel: Vielen dank... Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
So, ich hab‘ mal rumgefragt. Der o.g. Ansatz für N = 3 funktioniert ähnlich für N = 2m+1 jedoch nicht für N = 2m.

Vernünftigerweise setzt man



Damit folgt aus der N-dim. Wellengleichung





die entsprechende Helmholtzgleichung



mit Lösungen



mittels Besselfunktionen erster Art J und zweiter Art Y was in N = 3 auf die bekannten Lösungen führt.



Macht Sinn, danke für deine/eure Hilfe.

Ich muss zugeben, dass ich nicht damit gerechnet habe, dass der Übergang N=3 zu N=2 so ein Fass aufmacht smile.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2022 10:20    Titel: Antworten mit Zitat

Ich auch nicht, sonst hätte ich dich nicht mit dem völlig impraktikablen Ansatz gequält.
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