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Nachricht |
WhiteLine
Gast
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 WhiteLine Verfasst am: 14. Jan 2019 11:33 Titel: Potential zu gegebenem Kraftfeld |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe folgendes Kraftfeld gegeben und soll prüfen, ob zu diesem ein Potential existiert.
 = -a \vec{r} ) (a soll ungleich 0 sein)
Wenn ja, soll ich das Potential auch angeben und zusätzlich prüfen, ob die Energieerhaltung gilt.
Meine Ideen:
Mein Ansatz ist, dass die Rotation für konservative Kraftfelder verschwindet.
Ist also die Rotation null, kann ich das Kraftfeld als Gradient meines Potentials ausdrücken.
Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wie der Vektor r aussehen soll und wie ich das Integral bilden muss, um auf das Potential zu kommen.
Bin für jede Hilfe dankbar  |
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benruzzer
Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160
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| benruzzer Verfasst am: 14. Jan 2019 22:14 Titel: |
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Der Vektor r ist der Ortsvektor und schaut somit folgendermaßen aus:
Nutze um das Potential zu Bestimmen die Definition der Kraft aus:
Um nun auf V zu kommen, kannst du elementweise hochintegrieren:
<br />
)
Die Integrationskonstante ist hier sehr wichtig. Diese kann bei der x-Komponente von y und z abhängen.
Diesen Schritt wiederholst du für alle Komponenten (wovon hängen die Int.-Konstanten ab?).
Das Potential muss dann insgesamt alle drei Gleichungen, die sich aus den drei Komponenten ergeben erfüllen.
Das ist die formale Lösung. Die Aufgabe kann aber auch durch raten gelöst werden |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. Jan 2019 10:37 Titel: |
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| WhiteLine hat Folgendes geschrieben: |
Mein Ansatz ist, dass die Rotation für konservative Kraftfelder verschwindet.
Ist also die Rotation null, kann ich das Kraftfeld als Gradient meines Potentials ausdrücken.
Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wie der Vektor r aussehen soll und wie ich das Integral bilden muss, um auf das Potential zu kommen.
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Wenn es überhaupt ein Potential gibt, dann erhält man seinen Wert im Punkt  als Wegintegral (=Arbeit) über  entlang einer Kurve, die in endet und von irgendeinem Referenzpunkt  aus startet. Dafür, daß die Wahl der Kurve hierbei keine Rolle spielt, sorgt das Verschwinden der Rotation von , das du schon gezeigt hast. Deswegen hängt der Wert dieses Integrals nur vom Anfangs- (Referenzpunkt) und vom Endpunkt ab. Eine andere Wahl des Referenzpunktes ändert den Potentialwert an jedem Punkt um dieselbe additive Konstante. Diese Konstante ändert nichts am Gradienten, also der Kraft. Das zeigt nur, daß das Potential nicht eindeutig bestimmt ist (=Eichfreiheit).
Wenn es möglich ist, d.h. der Definitionsbereich von dies zuläßt, wählt man als Integrationswege einfach Geraden, die von nach laufen. Man nennt in diesem Fall den Definitionsbereich "sternförmig". Die Voraussetzung der Sternförmigkeit liefert eine verbreitete Variante des Poincare-Lemmas, von dem wir hier einen Spezialfall betrachten.
In diesem Fall ist die Sternförmigkeit gegeben und du kannst wie beschrieben vorgehen: Als Referenzpunkt bietet sich der Ursprung mit Ortsvektor  an. Als Kurve kannst du also
 = t \vec{r}_{\mathcal{P}}, \qquad t = 0..1)
verwenden, wobei  der Ortsvektor zum festen aber beliebigen Punkt ist. Falls es unklar ist, hier nochmal die formale Definition des Wegintegrals entlang )
)\cdot \dot{\vec{c}}(t)\dd t.)
Unter dem Integral steht das Skalarprodukt aus und dem Tangentialvektor  an die Kurve. Ich würde dir empfehlen auf genau diesem Weg einmal die Aufgabe zu lösen.
Es gibt aber noch einen einfacheren formalen Trick, der in diesem Spezialfall hilfreich ist:
Man schreibt  und erhält damit eine parametrisierungsunabhängige Form des Kurvenintegrals über 
in der die "vektorwertige Differentialform"  auftritt. Das Skalarprdukt lautet in diesem Fall also
Diesen Ausdruck kann man mit Hilfe der Produktregel für das Skalarprodukt des Vektors  mit sich selbst leicht auf eine Form bringen, die man sofort integrieren kann. |
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WhiteLine
Gast
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| WhiteLine Verfasst am: 15. Jan 2019 14:00 Titel: |
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| benruzzer hat Folgendes geschrieben: | Der Vektor r ist der Ortsvektor und schaut somit folgendermaßen aus:
Nutze um das Potential zu Bestimmen die Definition der Kraft aus:
Um nun auf V zu kommen, kannst du elementweise hochintegrieren:
Die Integrationskonstante ist hier sehr wichtig. Diese kann bei der x-Komponente von y und z abhängen.
Diesen Schritt wiederholst du für alle Komponenten (wovon hängen die Int.-Konstanten ab?).
Das Potential muss dann insgesamt alle drei Gleichungen, die sich aus den drei Komponenten ergeben erfüllen.
Das ist die formale Lösung. Die Aufgabe kann aber auch durch raten gelöst werden |
Hallo,
ich habe mit diesem Weg jetzt die Potentialfunktion:
 = \frac{a}{2} x^{2} + \frac{a}{2} y^{2} + \frac{a}{2} z^{2})
Ist das richtig ? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. Jan 2019 15:31 Titel: |
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Das Ergebnis stimmt, wie du leicht selbst prüfen kannst, indem du  berechnest und feststellst, ob das ergibt.
Wenn du das berechnet und nicht geraten hast, wäre aber interessant zu erfahren wie die einzelnen Schritte aussehen. Dafür mußt du m.E. verstanden haben wie man Wegintegrale ausführt. |
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WhiteLine
Gast
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| WhiteLine Verfasst am: 15. Jan 2019 16:17 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Das Ergebnis stimmt, wie du leicht selbst prüfen kannst, indem du berechnest und feststellst, ob das ergibt.
Wenn du das berechnet und nicht geraten hast, wäre aber interessant zu erfahren wie die einzelnen Schritte aussehen. Dafür mußt du m.E. verstanden haben wie man Wegintegrale ausführt. |
Alles klar, danke.
Ich habe, wie von dir vorgemacht, erst die x-Komponente meines Vektors integriert und die Konstante nur abhängig von y und z gemacht aber nicht von x.
Dann habe ich das Ergebnis der ersten Integration genommen und nach y abgeleitet, also 0, und dann die Integrationskonstante gleich der zweiten Komponente meines Vektors gesetzt, damit eben diese wieder herauskommt wenn ich diese nach y ableite.
Den selben Schritt hab ich dann für z wiederholt und bin so auf mein Potential gekommen.
Ich habe die gleiche Aufgabe auch noch für diese Kraftfeld gegeben:
 = -b * | \vec{\dot{r} } | * \vec{\dot{r}} )
b soll ungleich 0 sein.
Wie gehe ich denn dann hier vor ?
Ich habe ja jetzt die die Kraft nur noch in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und nicht in Abhängigkeit vom Ort gegeben. Eigentlich dürfte es dafür ja kein Potential geben oder?
Aber wie kann ich das beweisen?  |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. Jan 2019 18:50 Titel: |
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| WhiteLine hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | Das Ergebnis stimmt, wie du leicht selbst prüfen kannst, indem du berechnest und feststellst, ob das ergibt.
Wenn du das berechnet und nicht geraten hast, wäre aber interessant zu erfahren wie die einzelnen Schritte aussehen. Dafür mußt du m.E. verstanden haben wie man Wegintegrale ausführt. |
Alles klar, danke.
Ich habe, wie von dir vorgemacht, erst die x-Komponente meines Vektors integriert und die Konstante nur abhängig von y und z gemacht aber nicht von x.
Dann habe ich das Ergebnis der ersten Integration genommen und nach y abgeleitet, also 0, und dann die Integrationskonstante gleich der zweiten Komponente meines Vektors gesetzt, damit eben diese wieder herauskommt wenn ich diese nach y ableite.
Den selben Schritt hab ich dann für z wiederholt und bin so auf mein Potential gekommen.
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Das kann ich nicht nachvollziehen. Eine Rechnung zu sehen, wäre schön.
Du kannst nicht einfach nur eine Komponente eines Vektorfeldes integrieren. Was soll das ergeben? Ein Vektorfeld kannst du nur entlang einer Kurve integrieren.
Ein Ausdruck wie
entspricht dabei einer Integration parallel zur x-Achse (entlang deren  sind). Trotzdem mußt du angeben von wo aus du startest und wo du endest. Du kannst z.B. jeden Punkt ) vom Ursprung aus erreichen, indem du dich entlang dreier achsenparalleler Geradenstücke bewegst, nämlich
1) von  bis 
2) von bis 
3) von bis  .
Das ergäbe dann die Summe der drei Integrale
 = a\int_{(0,0,0)}^{(x,0,0)}x\dd x + a \int_{(x,0,0)}^{(x,y,0)}y \dd y + a\int_{(x,y,0)}^{(x,y,z)}z\dd z)
Aber das müßtest du erstmal anhand der allgemeinen Form
)\cdot \dot{\vec{c}}\dd t)
zeigen. Dies ist zwar nicht schwer, wenn du sowieso schon verstanden hast, wie Kurvenintegrale funktionieren. Aber noch einfacher ist es fürs erste, direkt entlang der einzigen Geraden =t\vec{r}_{\mathcal{P}} = t(xe_x + ye_y + ze_z)) zu integrieren, wie ich vorgeschlagen habe.
| Zitat: |
Ich habe die gleiche Aufgabe auch noch für diese Kraftfeld gegeben:
b soll ungleich 0 sein.
Wie gehe ich denn dann hier vor ?
Ich habe ja jetzt die die Kraft nur noch in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und nicht in Abhängigkeit vom Ort gegeben. Eigentlich dürfte es dafür ja kein Potential geben oder?
Aber wie kann ich das beweisen? |
Ich weiß nicht. Ist hier vielleicht ein "verallgemeinertes" Potential mit
 = - \frac{\partial V}{\partial \vec{r}}+\frac{\dd }{\dd t}\frac{\partial V}{\partial\dot{\vec{r}}})
gemeint? |
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