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Justadu
Anmeldungsdatum: 26.11.2018
Beiträge: 1
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 Justadu Verfasst am: 26. Nov 2018 13:09 Titel: Gleichgewichtspositionen Perle auf rotierendem Ring |
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Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt: Eine Perle der Masse m gleite ohne Reibung auf einem Ring des Radiuses R , der um seine vertikale Achse mit eine konstanten Winkelgeschwindigkeit  rotiere. Die Gleichgewichtskonfigurationen der Perle hängen von der Winkelgeschwindigkeit ab. Berechnen Sie diese als Funktion von und zeigen Sie, ob diese stabil oder instabil sind. Und der Hinweis das die Gleichgewichtspositionen die Nullstelen der Ableitungen vom Potential V sind.
Meine Ideen:
Ich musste in den Aufgaben davor die Lagrange Funktion und die Euler Lagrange Gleichungen herleiten. Diese sind:
+mgRcos\Phi)
und
sin\Phi=0 ) .
Meine erste Frage ist ist das Potential V Lediglich die Potentielle Energie des Systems? Also:
=-mgRcos\Phi )
Und wie leite ich eine Funktion her die von der Winkelgeschwindigkeit abhängt?
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 26. Nov 2018 22:41 Titel: |
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Sag mal, ist es nicht so, Justadu, dass die Perle genau an dem Platz verweilt, auf den sie gesetzt wurde, da ohne Reibung auf die Perle keinerlei Kraft wirkt, egal, wie schnell sich der Ring dreht.
Oder liege ich da falsch - klär mich mal bitte auf.
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Justaduu
Gast
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| Justaduu Verfasst am: 26. Nov 2018 22:57 Titel: |
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Auf die Perle wirkt die Erdanziehung. Dies bringt sie zur Bewegung.
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 26. Nov 2018 23:19 Titel: |
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| Justaduu hat Folgendes geschrieben: | | Auf die Perle wirkt die Erdanziehung. Dies bringt sie zur Bewegung. |
Erklär mal bitte, Justaduu, wenn die Achse des Rings vertikal steht.
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Justaduu
Gast
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| Justaduu Verfasst am: 26. Nov 2018 23:28 Titel: |
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Ich versteh nicht ganz was ich erklären soll. Die Perle hat, nehme ich an, genug anfängliche Geschwindigkeit als das sie bis zum höchsten Punkt des Ringes kommt und von dort durch die Erdanziehung wieder Beschleunigt wird. Es wird in der Aufgabe nicht explizit erklärt aber ich nehme an das es so ist.
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isi-1
Gast
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| isi-1 Verfasst am: 26. Nov 2018 23:41 Titel: |
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| Justaduu hat Folgendes geschrieben: | | Ich versteh nicht ganz was ich erklären soll. Die Perle hat, nehme ich an, genug anfängliche Geschwindigkeit als das sie bis zum höchsten Punkt des Ringes kommt und von dort durch die Erdanziehung wieder Beschleunigt wird. Es wird in der Aufgabe nicht explizit erklärt aber ich nehme an das es so ist. |
Weißt Du, Justaduu, wenn der Ring um seine vertikale (also senkrechte) Achse rotiert, ist die Perle immer auf gleicher Höhe.
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Justaduu
Gast
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| Justaduu Verfasst am: 26. Nov 2018 23:44 Titel: |
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Das ist mir bewusst. Ich nehme an die Perle hat eine Anfangsgeschwindigkeit, da sie sie sich ansonsten nicht um den Ring drehen würde.
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 27. Nov 2018 14:07 Titel: |
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| isi-1 hat Folgendes geschrieben: | | Du, Justaduu, wenn der Ring um seine vertikale (also senkrechte) Achse rotiert, ist die Perle immer auf gleicher Höhe. |
Mir scheint, da liegt ein Missverständnis vor. Wenn ich mir die oben angegebene Lagrangefunktion ansehe, dann gilt die für einen senkrecht stehenden Ring, der sich um eine senkrechte Achse durch seinen Mittelpunkt dreht.
| Justadu hat Folgendes geschrieben: | | Meine erste Frage ist ist das Potential V Lediglich die Potentielle Energie des Systems? |
Der Anteil der kinetischen Energie der Perle, der durch die Rotation des Rings entsteht, ist von  abhängig, aber nicht von  .Deshalb kann er mit geeignetem Vorzeichen wie eine potentielle Energie behandelt werden. So ist der Hinweis offenbar gemeint. Gleichgewichtspunkte der Perle sind zunächst mal ihre unterste und oberste Position. Die sind instabil. Bei geeigneter Größe der Parameter gibt es rechts und links von der Drehachse noch 2 stabile Gleichgewichtspunkte.
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Justaduu
Gast
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| Justaduu Verfasst am: 27. Nov 2018 14:13 Titel: |
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Danke erstmal für die Antwort. Ich hab mir bereits gedacht das der oberste und unterste Punkt Gleichgewichtspositionen sind aber ich verstehe gerade nicht wieso der untere Punkt auch instabil ist. Könntest du mir vielleicht auch noch einen Tipp geben wie ich das ganze als eine Funktion von der Winkelgeschwindigkeit angebe? Ich hab keine Ahnung wie ich das angehen soll.
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 27. Nov 2018 14:44 Titel: |
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Du hast doch oben die Lagrangefunktion
angegeben. Wenn man dort die nur von  abhängigen Terme als effektives Potential betrachtet, hat man das Potential
-mgRcos\Phi)
Dieses Potential ist nach abzuleiten und dann sind die Nullstellen der Ableitung zu bestimmen.  ist dabei wie  nur ein Parameter. Ein Gleichgewichtspunkt ist stabil, wenn das Potential dort ein Minimum hat. Bei einem Maximum ist es instabil. Ganz oben und ganz unten hat man Maxima. Der entscheidenden Parameter für die Existenz der seitlichen Minima ist
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Justaduu
Gast
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| Justaduu Verfasst am: 27. Nov 2018 15:22 Titel: |
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Vielen Dank für die Antwort. Ich hab es jetzt mal versucht wenn man es Ableitet erhält man ja:
Und das ist Offensichtlich null für alle Nullstellen von sin. Dann kann man das Ganze ja umformen zu:
 )
Dies hat ja nur Nullstellen wenn  kleiner ist als  . Und wie beschreibe ich die Nullstellen dann? Also offensichtlich ist es Null wenn  aber ich weiß ja nicht wann das der Fall ist oder?
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 27. Nov 2018 15:31 Titel: |
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Aus  folgt  .
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Justaduu
Gast
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| Justaduu Verfasst am: 27. Nov 2018 15:39 Titel: |
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Danke. Eine letzte Frage noch. Du hast ja geschrieben das es zwei Punkte gibt. Links und Rechts von der Drehachse. Aber die Gleichung ist doch nur Null für einen bestimmten Wert von Cos oder? Ich kann mir das ganze nicht wirklich vorstellen. Vielen Dank für die Hilfe.
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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Justaduu
Gast
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| Justaduu Verfasst am: 27. Nov 2018 16:01 Titel: |
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Oh okay. Vielen Dank für die Hilfe.
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physik0
Gast
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| physik0 Verfasst am: 17. Sep 2021 10:24 Titel: |
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Hi,
ich muss mich leider mit der selben Aufgabenstellung rumschlagen und verstehe nicht ganz, wie man auf die Lagrange-Formel kommt. Es gilt ja L = T - V und nicht L = T + V. Aber warum rechnet ihr dann +m g R cos() ? Habe das ganze durchgerechnet und es müssten unterschiedliche Ergebnisse herauskommen
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 17. Sep 2021 10:43 Titel: |
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Wenn der Winkel vom tiefsten Punkt aus gerechnet wird, liegt die Perle relativ zum Mittelpunkt des Rings auf der Höhe
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