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Za-hef
Anmeldungsdatum: 13.11.2011
Beiträge: 36
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 Za-hef Verfasst am: 18. Dez 2023 12:37 Titel: Grund für Parabel in rotierendem Wassergefäß |
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Hallo!
Ich habe mich mit dem bekannten Problem der Parabel befasst, die sich bildet, wenn z. B. eine Zylindergefäß mit Wasser rotiert. Ich verstehe, wie die Gleichung für die Parabel hergeleitet werden kann, das ist nicht das Problem!
Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie die Parabel überhaupt entsteht, d.h. in der Phase der Winkelbeschleunigung von Omega=0 bis zur bestimmten Endwinkelfrequenz.
Um mein Problem zu veranschaulichen, nehmen wir den tiefsten Punkt der Parabel, der mit der Rotationsachse zusammenfällt. Er ist offensichtlich niedriger als der ursprüngliche Wasserstand. Das bedeutet, dass ein kleiner Teil des Wassers (nennen wir ihn mal ein Tröpfchen) während der Übergangsphase eine Nettokraft nach unten erfahren haben muss. Woher kam diese Kraft? Alle Tröpfchen, die bei t=0 entlang der Rotationsachse liegen, erfahren bei Drehung keine Zentrifugalkraft, die Nettokraft müsste also bei 0 bleiben.
Dasselbe gilt für die Tröpfchen nahe den Rändern. Sie "klettern" höher als der ursprüngliche Wasserstand, müssen also eine Nettokraft nach oben erfahren haben. Ich verstehe nicht, wie das passieren kann.
Was fehlt in meinem naiven Modell? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 18. Dez 2023 17:12 Titel: Re: Grund für Parabel in rotierendem Wassergefäß |
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| Za-hef hat Folgendes geschrieben: | | Das bedeutet, dass ein kleiner Teil des Wassers (nennen wir ihn mal ein Tröpfchen) während der Übergangsphase eine Nettokraft nach unten erfahren haben muss. |
"Kann", aber nicht "muss". Es würde reichen, wenn ein Teil des Wassers nur von innen nach außen fließt. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 18. Dez 2023 17:30 Titel: |
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Auf ein Massenelement dm wirken die Zentripetalkraft dF_z und die Gewichtskraft dF_g
Resultierende Kraft (Normalkraft)
Steigung der resultierenden Kraft
Gleichung einer Parabel
 = z_0+ \frac{\omega^{2}}{2\cdot g} \cdot r^{2} )
Da das Wasservolumen konstant und durch die Zylinderwand begrenzt ist, fliesst das verdrängte Wasser nach oben. s. Beitrag Dr. Stupid. |
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Za-hef
Anmeldungsdatum: 13.11.2011
Beiträge: 36
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| Za-hef Verfasst am: 19. Dez 2023 08:16 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: |
"Kann", aber nicht "muss". Es würde reichen, wenn ein Teil des Wassers nur von innen nach außen fließt. |
Da muss ich wohl zustimmen. Könnte man dann aber nicht naiv denken, dass das "Loch" welches sich bildet auch zylindrisch geformt sein könnte?
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Auf ein Massenelement dm wirken die Zentripetalkraft dF_z und die Gewichtskraft dF_g
.... |
Das ist m.E. die Standardherleitung der Parabelgleichung, wenn sich das System bereits in dem beschriebenen Zustand befindet. Sie sagt aber nichts über den Grund der Entstehung dieser Form aus.
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Da das Wasservolumen konstant und durch die Zylinderwand begrenzt ist, fliesst das verdrängte Wasser nach oben. s. Beitrag Dr. Stupid. |
Ich bin mir nicht sicher, ob das eine zufriedenstellende Erklärung ist. Dass sich ein Paraboloid bildet finde ich daraus nicht ersichtlich. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 19. Dez 2023 09:56 Titel: |
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Noch ein Erklärungsversuch: Auf Wasserteilchen auf der Drehachse wirkt keine Zentrifugalkraft, richtig. Auf sie wirkt nur die Gewichtskraft nach unten und Druckkräfte von den umgebenden Teilchen. Es muss sich in der Mitte ein Druckgradient so einstellen, dass dieser gleich der Dichte der Gewichtskraft (Kraft pro Volumen) ist.
Auf Wasserteilchen abseits der Drehachse wirkt die Zentrifugalkraft nach aussen. Im Kräftegleichgewicht führt dies am Boden des Gefässes zu einem radial mit r^2 ansteigenden Druck (Druckgradient wiederum gleich der Dichte der Zentrifugalkraft) und einer Druckverringerung in der Mitte.
Wenn also das Gefäss beginnt zu rotieren, werden Wasserteilchen nach aussen getrieben, bis sich ein neues Kräftegleichgewicht einstellt. Der Druck in der Mitte sinkt, durch die Gewichtskraft der Wassersäule darüber wirkt auf Teilchen in der Mitte eine Nettokraft nach unten, und sie sinken. Das Kräftegleichgewicht ist erreicht, wenn überall der Druckgradient gleich der Kraftdichte aus Gewichts- und Zentrifugalkraft ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 19. Dez 2023 11:05 Titel: |
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Es handelt sich um die Darstellung des stationären Zustandes des Systems, nicht um die detaillierte Berechnung der Fließbewegung in diesen stationären Zustand.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 19. Dez 2023 12:00 Titel: |
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| Za-hef hat Folgendes geschrieben: | | Da muss ich wohl zustimmen. Könnte man dann aber nicht naiv denken, dass das "Loch" welches sich bildet auch zylindrisch geformt sein könnte? |
Wenn nur die Zentrigugalkraft wirken würde, dann wäre da auch der Fall. Es gibt aber nocht die Schwerkraft. Das Wasser ist im mitrotierenden Systemen im hydrostatischen Gleichgewicht, wenn die Summe beider Kräfte senkrecht zur Oberfläche wirkt. Andernfalls wird es durch die parallel zur Oberfläche liegende Kraftkomponente beschleunigt (bei einer horizontalen Oberfläche nach außen und bei einer zylindrschen nach innen). |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 20. Dez 2023 23:34 Titel: |
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Ein anderer Ansatz:
Man betrachtet die Masse M[z] und die Gesamtenergie E[z] als Funktionale der unbekannten Funktion z(r), die die Form der Wasseroberfläche beschreibt. Dann minimiert man E[z] unter der Bedingung, dass M[z] die Masse m liefert.
M[z] folgt aus der Integration der Dichte rho über den mit Wasser gefüllten Raumbereich Omega
} dh = 2\pi\rho \int_0^R dr \, r \, z(r) )
Analog berechnet man
 )
 )
Man definiert
)
Variation nach z und xi liefert die Bedingungen
für Extrema von E[z] bei gleichzeitiger Konstanz von M[z].
Mittels der Ableitungen von F nach xi und z folgen die beiden Gleichungen
 + \xi)
Aus der ersten Gleichung folgt
 = -\frac{1}{2g} \omega^2 \, r^2 - \frac{1}{g} \xi)
Dies ist bereits die gesuchte Parabelform.
Der unbekannte Lagrange-Multiplikator xi folgt durch Einsetzen dieses Ergebnisses in M[z]. Die resultierende Gleichung löst man nach xi auf und erhält so die Verschiebung der Parabel dergestalt, dass M[z] den korrekten Wert m reproduziert.
Diese Herleitung besagt, dass …
| Za-hef hat Folgendes geschrieben: | | der Grund der Entstehung dieser Form |
… darin besteht, dass die Gesamtenergie E für festgehaltene Masse M durch die Parabelform von z(r) stationär wird.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. Dez 2023 15:03 Titel: |
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Um die Frage grundsätzlich zu beantworten, muss m.E. die Navier-Stokes Strömungsgleichung angewendet werden, da die Rotation der Massenteilchen durch Reibung erfolgt. Newton'sches Fluid unterstellt
Die bisherigen Herleitungen beschreiben den statischen Zustand. Um das Strömungsverhalten darzustellen, müsste eine steigende /fallende Winkelgeschwindigkeit angenommen werden.
Das ist alles sehr kompliziert, für mich jedenfalls. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 22. Dez 2023 16:35 Titel: |
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Was du skizzierst ist natürlich völlig korrekt. Zum einen müsste der "Mitnahmeeffekt" der Rotation beschrieben werden. Zum anderen sollte daraus die Parabelform folgen, ohne dass man den stationären Zustand heranziehen muss.
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Selim
Gast
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| Selim Verfasst am: 23. Dez 2023 15:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Bedeutet das, dass die Oberfläche nach außen hin niedriger wird? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 23. Dez 2023 15:29 Titel: |
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Gut aufgepasst.
Nein, es bedeutet, dass ich irgendwo einen Vorzeichenfehler habe.
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Selim
Gast
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| Selim Verfasst am: 24. Dez 2023 11:32 Titel: |
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Ich denke, es handelt sich nicht um einen Vorzeichenfehler, sonder es liegt daran, dass die Wechselwirkungsenergie der Flüssigkeitsteilchen (vulgo Druck) nicht berücksichtigt ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 24. Dez 2023 13:07 Titel: |
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Guter Punkt.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
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| Mathefix Verfasst am: 25. Dez 2023 13:16 Titel: |
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Noch ein Versuch
Gleichgewichtsbedingung: An jeder Stelle ist die Summe der Partialdrucke = 0
Druck durch Gewichtskraft
Luftdruck
Druck durch Zentrifugalkraft
^{2} }{2} )
= \frac{(r\cdot \omega) ^{2} }{2\cdot g} -\frac{p_0}{\varrho \cdot g} ) |
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Selim
Gast
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| Selim Verfasst am: 26. Dez 2023 11:25 Titel: |
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Nicht der Druck, sondern die Summe der Kräfte auf ein Flüssigkeitsteilchen muss null sein. Dazu gehört neben der Gewichts- und der Zentrifugalkraft auch der Druckgradient.
Die Oberfläche ist dann die Fläche, an der der Flüssigkeitsdruck gleich dem Luftdruck plus Oberflächenspannung ist. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Dez 2023 12:35 Titel: |
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| Selim hat Folgendes geschrieben: | Nicht der Druck, sondern die Summe der Kräfte auf ein Flüssigkeitsteilchen muss null sein. Dazu gehört neben der Gewichts- und der Zentrifugalkraft auch der Druckgradient.
Die Oberfläche ist dann die Fläche, an der der Flüssigkeitsdruck gleich dem Luftdruck plus Oberflächenspannung ist. |
Kraft ist implizit im Druck enthalten.
S. Myons Erklärung.
Schreib bitte zu Deiner These die Gleichungen auf. |
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