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Zeit und Weg bei Ausrollendem Fahrzeug berechnen
 
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Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 16:20    Titel: Zeit und Weg bei Ausrollendem Fahrzeug berechnen Antworten mit Zitat

Huhu... ich bin ein wenig am Verzweifeln, da ich zu diesem Thema (außer einem einzigen, ähnlichen Thread) absolut nichts finde. Ich hoffe, mir kann hier weitergeholfen werden.

Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Ein Auto mit der Masse m= 1,5t und einer Anfangsgeschwindigkeit von v0 = 144 Km/h rollt auf einer ebenen Straße aus.

a) Wir vernachlässigen zunächst den Luftwiderstand und betrachten nur den Rollwiderstand = 0,01.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? Welchen Bremsweg hat es dabei zurück gelegt?

Ich habe versucht, den Bremsweg und die Bremszeit zu errechnen, komme dabei aber auf 16m und 0,8s, was doch schlecht stimmen kann, oder?

b) Bei hohen Geschwindigkeiten kann der Luftwiderstand eigentlich nicht vernachlässigt werden. Wir gehen von einem Widerstandsbeiwert von Cw = 0,26 und einer Querschnittsfläche von A = 2,5m² aus. Ab welcher Geschwindigkeit vL übersteigt die Luftreibung die Rollreibung? Die Dichte der Luft sei p = 1,2kg/m³

c) Wie entwickelt sich die Geschwindigkeit zeitlich, d.h. wie lautet v(t) während des Ausrollens mit Luft- und Rollreibung? Ermitteln Sie dazu zunächst die Kraft F(v) und setzen diese in das Newtonsche Gesetz F=mdv/dt ein. Zeigen Sie, dass die Lösung die Form v(t) = a tan (bt+c) besitzt und bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c.

d) Nach welcher Zeit kommt das Auto unter der Berücksichtigung von Roll- und Luftreibung zum Stillstand?

Vielen Dank im Voraus, ich würde mich sehr über etwas Hilfe freuen!

MfG, Cas
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 16:30    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

für a)

überleg Dir mal, wie groß die Kraft ist, die das Auto abbremst.
Mit F = m * a kommst Du auf die (konstante) Bremsverzögerung.
Damit sollte es möglich sein, die Bremszeit zu bestimmen.

Für den Bremsweg kannst Du auch den Energieerhaltungssatz anwenden.
Die anfängliche kinetische Energie wird ja vollständig in Bremsarbeit umgesetzt.

Gruß
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 16:33    Titel: Antworten mit Zitat

hansguckindieluft hat Folgendes geschrieben:
Hallo,

für a)

überleg Dir mal, wie groß die Kraft ist, die das Auto abbremst.
Mit F = m * a kommst Du auf die (konstante) Bremsverzögerung.
Damit sollte es möglich sein, die Bremszeit zu bestimmen.

Für den Bremsweg kannst Du auch den Energieerhaltungssatz anwenden.
Die anfängliche kinetische Energie wird ja vollständig in Bremsarbeit umgesetzt.

Gruß


Danke sehr, ich versuch es mal!

MfG, Cas
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 16:56    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, ich habe für die Bremszeit jetzt 4,077s raus, was viel plausibler klingt als 0,8s.
Allerdings komme ich beim Bremsweg auf 8155m, was mir etwas viel erscheint...

Gerechnet habe ich folgendermaßen:

1/2 * m * v² = µ * m * g * s

Das habe ich nach s umgestellt:

s = v²/(2*µ*g)

Eingesetzt erhalte ich:

s = (40m/s)²/(2*0,01*9,81m/s²) = 8154,9m

Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?

MfG, Cas
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 21. Nov 2018 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:
Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?


Welcher Fehler?
Ach so ja, bei der Zeit hast Du Dich um zwei Zehnerpotenzen verrechnet.
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 21:02    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe a) und b) gelöst, jetzt hänge ich bei c) fest... Irgendwelche Ansätze?
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 21:26    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:
Ich habe a) und b) gelöst, jetzt hänge ich bei c) fest... Irgendwelche Ansätze?


Naja, der Ansatz steht ja schon in der Aufgabenstellung. Du sollst die auf das Auto wirkende resultierende Kraft F(v) in Newtons F=m*dv/dt einsetzen.
Das ist dann eine DGL, die Du z. B. durch Trennung der Variablen lösen kannst. Die Koeffizienten bekommst Du, indem Du in die Lösung die Anfangsbedingungen einsetzt.

Gruß
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 21:41    Titel: Antworten mit Zitat

hansguckindieluft hat Folgendes geschrieben:
Cassiel hat Folgendes geschrieben:
Ich habe a) und b) gelöst, jetzt hänge ich bei c) fest... Irgendwelche Ansätze?


Naja, der Ansatz steht ja schon in der Aufgabenstellung. Du sollst die auf das Auto wirkende resultierende Kraft F(v) in Newtons F=m*dv/dt einsetzen.
Das ist dann eine DGL, die Du z. B. durch Trennung der Variablen lösen kannst. Die Koeffizienten bekommst Du, indem Du in die Lösung die Anfangsbedingungen einsetzt.

Gruß


Okay, bin bis zu dem Teil mit den Koeffizienten gekommen und habe jetzt wohl eine Denkblockade... Soll ich einfach durch ausprobieren herausfinden, was ich wo einsetzen muss? Ich sehe da nämlich keine Logik Hilfe
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 22:05    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:

Okay, bin bis zu dem Teil mit den Koeffizienten gekommen und habe jetzt wohl eine Denkblockade... Soll ich einfach durch ausprobieren herausfinden, was ich wo einsetzen muss? Ich sehe da nämlich keine Logik Hilfe


Was hast Du denn raus? Die Integrationskonstante ermittelst Du, indem Du die Anfangsbedingung v(t=0)=v1 in die allgemeine Lösung einsetzt. Für t setzt Du Null ein und löst dann nach der Integrationskonstanten auf.
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 22:09    Titel: Antworten mit Zitat

Luftwiderstands: 520N
Rollwiderstand: 147.15N

F(v) = 150N

Also würde ich dann einsetzen

40(0)= a tan (0+c)?

Ich versteh nicht wo das tan herkommt.... oder was ich für a einsetzen soll... weil das ist doch nicht die Beschleunigung, oder?
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 22:28    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:

Ich versteh nicht wo das tan herkommt.... oder was ich für a einsetzen soll... weil das ist doch nicht die Beschleunigung, oder?


Wie jetzt? Du solltest doch "zeigen", dass die Lösung diese Form besitzt. Das heißt, Du sollst die DGL lösen. Hast Du das gemacht?


Zuletzt bearbeitet von hansguckindieluft am 21. Nov 2018 23:56, insgesamt einmal bearbeitet
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 22:31    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, weil ich nicht weiß, wie ich das machen soll. Ich versteh überhaupt nichts mehr.
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 22:37    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:
Nein, weil ich nicht weiß, wie ich das machen soll. Ich versteh überhaupt nichts mehr.


Keine Panik. Das wird schon.
Hast Du die Kraft F(v) aufgeschrieben, die auf das Auto wirkt, und in F = m * dv/dt eingesetzt? Weißt Du, was "Trennung der Variablen" ist?
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 22:40    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das habe ich gemacht.

150N = 1500kg * 40m/s / 400s

Keine Ahnung ob das stimmt... Und was Trennung der Variablen ist, weiß ich auch nicht...
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 22:45    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:
Ja, das habe ich gemacht.

150N = 1500kg * 40m/s / 400s

Keine Ahnung ob das stimmt... Und was Trennung der Variablen ist, weiß ich auch nicht...


Nein, das stimmt nicht. dv/dt ist ein Differential. Weißt Du, was das ist?

Lass die Zahlenwerte erstmal komplett weg. Schreib die Kraft als Formel hin.
Zahlen kommen erst ganz am Schluss.

Weißt Du denn, was eine Differentialrechnung (DGL) ist, und wie man sowas prinzipiell löst?
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 22:47    Titel: Antworten mit Zitat

F = m * a
oder nicht?

Theoretisch weiß ich, was ein Differential ist, nur nicht, wie man damit rechnet.
Und wie man eine Differentialgleichung löst, weiß ich auch nicht....
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 22:52    Titel: Antworten mit Zitat

Dann weiß ich nicht, wie man Dir eine solche Aufgabe stellen kann.
Also: F = m*a ist schon mal gut.
Die Beschleunigung a ist ja die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Also kannst Du das "a" durch dv/dt ersetzen. Schreib das mit der wirkenden Kraft mal hin.
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 22:53    Titel: Antworten mit Zitat

Also F = m * dv/dt ?
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 23:01    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:
Also F = m * dv/dt ?


Ja schon, aber jetzt musst Du doch für F noch die Kraft einsetzen, die auf das Auto wirkt. Das ist doch die Rollreibungskraft und die Luftwiderstandskraft, oder? Setz die mal für F ein.
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 23:03    Titel: Antworten mit Zitat

Also einfach Rollreibungskraft und Luftwiderstand zusammenrechnen?

147.15N + 520N = m * dv/dt

667.15N = m * dv/dt

So?
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 23:19    Titel: Antworten mit Zitat

mü * m * g + (cw * A * v²) / 2 = m * dv/dt
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 23:21    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:
Also einfach Rollreibungskraft und Luftwiderstand zusammenrechnen?

147.15N + 520N = m * dv/dt

667.15N = m * dv/dt

So?


Hatte ich nicht weiter oben erwähnt, dass Du die Zahlen vergessen sollst?
Du musst die Kräfte als Formel hinschreiben.
Cassiel



Anmeldungsdatum: 21.11.2018
Beiträge: 13

Beitrag Cassiel Verfasst am: 21. Nov 2018 23:21    Titel: Antworten mit Zitat

Cassiel hat Folgendes geschrieben:
mü * m * g + (cw * A * v²) / 2 = m * dv/dt


So?
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Nov 2018 23:42    Titel: Antworten mit Zitat

Ja genau. Außer, dass beim Luftwiderstand noch die Dichte der Luft fehlt.
Jetzt muss die DGL gelöst werden. Das heißt, Du suchst eine Funktion v(t), welche die DGL erfüllt.
Die Lösung kann durch Trennung der Variablen erfolgen: Du bringst das dv (und alles, was mit v zu tun hat) auf die eine Seite der Gleichung, und das dt auf die andere Seite. Dann können beide Seiten integriert werden.
Hoppenced



Anmeldungsdatum: 23.07.2018
Beiträge: 6
Wohnort: GERMANY

Beitrag Hoppenced Verfasst am: 22. Nov 2018 09:44    Titel: Antworten mit Zitat

Ich finde es einfach heraus, indem ich ausprobiere, was ich wo einsetzen muss?
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
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Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 22. Nov 2018 11:01    Titel: Antworten mit Zitat

Hoppenced hat Folgendes geschrieben:
Ich finde es einfach heraus, indem ich ausprobiere, was ich wo einsetzen muss?


???

Du musst die Differentialgleichung lösen.
Wenn Du die Variablen trennst, und auf je eine Seite bringst, sieht das Ganze doch so aus:



k ist einfach eine Zusammenfassung von Konstanten:


Jetzt kannst Du beide Seiten integrieren:


Das Ergebnis ist dann die "allgemeine Lösung" der DGL.
Die Konstanten a und b stehen damit schon fest. Durch die Integration bekommst Du aber noch eine Integrationskonstante c.
Um diese zu bestimmen, musst Du in die allgemeine Lösung der DGL die Anfangsbedingung v(t=0)=v0 einsetzen und nach c auflösen.
Dadurch bekommst Du die angepasste Lösung der DGL.

Aber fang ersmal mit den Integralen an.

EDIT: ich hatte bei der Luftreibungskraft das v^2 vergessen (danke an GvC), und bei der Zusammenfassung der Konstanten den Beiwert cw


Zuletzt bearbeitet von hansguckindieluft am 22. Nov 2018 15:40, insgesamt 3-mal bearbeitet
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 22. Nov 2018 11:14    Titel: Antworten mit Zitat

hansguckindieluft hat Folgendes geschrieben:
...
Wenn Du die Variablen trennst, und auf je eine Seite bringst, sieht das Ganze doch so aus:



k ist einfach eine Zusammenfassung von Konstanten:

...


Das wundert mich jetzt doch ein wenig. Ich frage mich nämich, wo Du das Geschwindigkeitsquadrat aus der Strömungswiderstandskraft gelassen hast.
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1211

Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 22. Nov 2018 11:31    Titel: Antworten mit Zitat

GvC hat Folgendes geschrieben:

Das wundert mich jetzt doch ein wenig. Ich frage mich nämich, wo Du das Geschwindigkeitsquadrat aus der Strömungswiderstandskraft gelassen hast.


Oh, danke fürs aufpassen. Ich werde es in meinem Beitrag korrigieren.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5536

Beitrag Mathefix Verfasst am: 23. Nov 2018 16:25    Titel: Antworten mit Zitat

zu c)

Mit



und





Komme ich auf



;





zu d)

v(t) = 0





Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 24. Nov 2018 09:42, insgesamt 5-mal bearbeitet
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5270

Beitrag Myon Verfasst am: 23. Nov 2018 17:13    Titel: Antworten mit Zitat

Das v im arctan sollte nicht unter der Wurzel stehen. Dann wird das Argument auch dimensionslos.
Weiter sollte in der Differentialgleichung auf der einen Seite ein Minus stehen, denn die Kräfte wirken entgegen der Richtung der Geschwindigkeit. Sonst wird die Zeit negativ.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5536

Beitrag Mathefix Verfasst am: 23. Nov 2018 17:40    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:


@Myon

Danke! Bei den fisseligen Brüchen vertut man sich schon mal.

Korrigiert.
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