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Steve33
Anmeldungsdatum: 20.11.2018
Beiträge: 1
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 Steve33 Verfasst am: 20. Nov 2018 14:53 Titel: Hamiltonfunktion und DGL |
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Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind typischerweise Differentialgleichungen zweiter Ordnung in t , während die Gleichung H = C eine Differentialgleichung erster Ordnung ist und daher häufig einfacher zu lösen ist. Lösen Sie diese Gleichung um eine stationäre Lösung von Gl. ( 1 ) zu finden. In der Rechnung müssen Sie mehrfach Wurzeln ziehen. Sie dürfen dabei das Vorzeichen von Konstanten und den Wurzeln so wählen das Sie eine reele positive Lösung bekommen. H ist die Hamiltonfunktion ) und Gl. (1) ist = \int_t^T \! L(x,\dot{x}) \, \dd x ) . Außerdem ist gegeben =x\dot{x} (2\alpha -\dot{x})) und die Randbedingungen x(ti)=0 und x(tf)=Q. (ti ist als Start definiert und tf als Ende)
Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war es die gegebene Lagrange Funktion einzusetzen in die Hamiltonfunktion und diese zu Lösen. Ich erhalte dann die DGL  die ich versucht habe zu lösen aber ein komisches Ergebnis erhalten hab. Das Ergebnis ist =(3*\sqrt{c}/2*(t+k)^{2/3}) . Nun weiß ich nicht wirklich weiter ist mein Ansatz bereits Falsch? Und wie krieg ich die Randbedingungen in mein x(t)? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2018 20:53 Titel: |
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Zunächst:
)
Wie lauten dann
Dann - ohne dass ich die Zwischenergebnisse kontrolliert hätte: aus
folgt mittels Trennung der Variablen sowie Integration
Die Randbedingung für t = 0 steckt dann im rechten Integral.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 20. Nov 2018 21:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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Steve3
Gast
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| Steve3 Verfasst am: 20. Nov 2018 21:01 Titel: |
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p wäre dann  und H wäre dementsprechend  wobei sich dies kürzen lässt zu  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2018 21:03 Titel: |
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| Steve3 hat Folgendes geschrieben: | | p wäre dann |
Im zweiten Term muss ein Minus auftreten.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Steve3
Gast
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| Steve3 Verfasst am: 20. Nov 2018 21:04 Titel: |
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Ich versteh nicht ganz was du mit die Randbedingung steckt im rechten Integral meinst. Könntest du mir das erklären? Danke für die Hilfe |
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Steve3
Gast
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| Steve3 Verfasst am: 20. Nov 2018 21:06 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Steve3 hat Folgendes geschrieben: | | p wäre dann |
Im zweiten Term muss ein Minus auftreten. |
Ups mein Fehler. Aber ich hab den Vorzeichenfehler in der nächsten Zeile korriegiert. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2018 21:14 Titel: |
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Zunächst integrierst du links
Damit gilt
= \int_{x_0}^x dz \, \sqrt{z})
bzw.
 = \int_{x(t_0)}^{x(t)}dz \, \sqrt{z})
Das x aus der unteren (oberen) Grenze für das x-Integral entspricht dem x, das für den Zeitpunkt der unteren (oberen) Grenze für das t-Integral eingenommen wird.
Setzt du die untere Grenze links gleich Null - was einer Wahl des Zeitnullpunktes entspricht - so ist
 = x(0))
und es bleibt
}dz \, \sqrt{z})
D.h. du kannst für t = 0 ein beliebiges x_0 wählen und erhältst durch Integration aus der oberen Grenze das x(t) zum Zeitpunkt t.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 20. Nov 2018 21:16, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2018 21:15 Titel: |
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| Steve3 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Steve3 hat Folgendes geschrieben: | | p wäre dann |
Im zweiten Term muss ein Minus auftreten. |
Ups mein Fehler. Aber ich hab den Vorzeichenfehler in der nächsten Zeile korriegiert. |
Der Vorzeichenfehler steckt in der ersten Zeile.
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Steve3
Gast
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| Steve3 Verfasst am: 20. Nov 2018 21:24 Titel: |
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Wenn ich es Integriere erhalte ich ja ^{3/2}-x0^{3/2}) ) und das führt zu \sqrt{c}t+x0^{3/2}=x(t)^{3/2} ) und endlich zu \sqrt{c}t+x0^{3/2})^{2/3}=x(t) ) . Ist das richtig? Und falls ja was nun? Nochmal Danke. |
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Steve3
Gast
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| Steve3 Verfasst am: 20. Nov 2018 21:39 Titel: |
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| Steve3 hat Folgendes geschrieben: | | Und falls ja was nun? Nochmal Danke. |
Ich seh nicht wie ich jetzt die Randbedingungen Erfüllen kann. Das ist mein größtes Problem. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2018 22:02 Titel: |
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Für die Randbedingungen aus deinem ersten Post
 = x_0 = 0)
 = Q)
- sorry, hatte ich übersehen - setzt du
Aber dein p stimmt immer noch nicht; bei der Ableitung von L nach der Geschwindigkeit tritt ein Minus auf.
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Steve3
Gast
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| Steve3 Verfasst am: 20. Nov 2018 22:11 Titel: |
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Mir ist bewusst das p nicht richtig ist und es Minus sein müsste, es ist ein Tippfehler aber ich hab den Fehler bei der Berechnung von H nicht übernommen also ist die Rechnung ja immernoch richtig. Wenn ich jetzt die Integrale auswerte dann hab ich doch kein x mehr oder? Ich bin gerade etwas verwirrt. Wie erhalte ich dann x(t)? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2018 22:15 Titel: |
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na, steht doch da:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Du hast das Q genannt, nicht ich :-)
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Steve3
Gast
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| Steve3 Verfasst am: 20. Nov 2018 22:22 Titel: |
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Dann hab ich ja =\frac{2}{3} Q^{3/2} ) . Wie erhalte ich denn jetzt x(t) und wieso integriere ich nicht mehr von 0 bis t? Danke für die bisherige Hilfe. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2018 22:47 Titel: |
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Du hast doch ein x:
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Steve3
Gast
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| Steve3 Verfasst am: 20. Nov 2018 23:06 Titel: |
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Also wie ich es jetzt verstehe muss ich Q wieder durch ) ersetzen und stell dann um zu ^{2/3}=Q ) und sag dann das ) und erhalte somit ^{2/3}=x(t_{f})) jetzt ist es ja von t abhängig und wird bei ti gleich 0. Aber bei tf ist es jetzt ja nicht mehr Q. Oder versteh ich gerade alles Falsch? |
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