| Autor |
Nachricht |
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
 navix Verfasst am: 09. Jun 2022 14:22 Titel: Hamiltonfunktion bestimmen |
 |
|
Meine Frage:
Hey, ich habe folgende Lagrangefunktion:
 = \frac{1}{2}\left(M + \frac{m}{2}\right) R^2 \dot{\psi}^2 + \frac{3}{4} m(R-r)^2 \dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} mR(R-r) \dot{\varphi} \dot{\psi} + mg(R-r) \cos \varphi)
Ich will dazu die Hamiltonfunktion
)
bestimmen. Ich komme nicht drauf, wie man die  geeignet durch die Impulse ausdrücken kann.
Meine Ideen:
Die generalisierten Impulse lauten:
^2 \dot{\varphi} + \frac{1}{2} mR(R-r) \dot{\psi})
 \dot{\varphi} + \left(M + \frac{m}{2}\right) R^2 \dot{\psi})
Ich habe versucht diese Gleichungen nach den Geschwindigkeiten  umzustellen und gehofft, dass irgendwann eine magische Vereinfachung passiert, leider aber ohne Erfolg.
Die resultierenden Ausdrücke erscheinen viel zu kompliziert, wenn man diese dann in
für die  einsetzt.
Die Hamiltonfunktion lautet in den originalen Koordinaten
 R^2 \dot{\psi}^2 + \frac{3}{4} m(R-r)^2 \dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} mR(R-r) \dot{\varphi} \dot{\psi} - mg(R-r) \cos \varphi)
Nach langem Draufstarren fällt mir aber nicht ein, wie man das jetzt sauber hinkriegen könnte.
|
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
|
| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 14:50 Titel: |
|
|
Das ist doch nur ein lineares Gleichungssystem
mit Tupeln p,q und einer 2*2-Matrix S; dafür gibt es zig Lösungsmethoden.
Insbs. gilt hier
d.h. die verallgemeinerten Geschwindigkeiten sind Linearkombinationen der Impulse.
Beim Berechnen von H aus L solltest du sofort die verallgemeinerten Geschwindigkeiten durch die Impulse ausdrücken.
Von vorne, für symmetrisches S und ohne den Potentialterm
Damit folgt p wie oben.
Dann
^t S \left( S^{-1} p \right) = \frac{1}{2} p^t S^{-1} p )
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 09. Jun 2022 15:54, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
|
| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 15:59 Titel: |
|
|
Sieht komisch aus.
Insbs. stimmen die Einheiten nicht, du kannst sicher den Nenner rausziehen, und teilweise noch zusammenfassen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 09. Jun 2022 16:17 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Sieht komisch aus.
Insbs. stimmen die Einheiten nicht, du kannst sicher den Nenner rausziehen, und teilweise noch zusammenfassen. |
Stimmt. Es sollte so aussehen:
R(R-r)^2})
R^2 (R-r)})
Nach Umstellen:
} \frac{R(m + 2M) p_\varphi - m(R - r) p_\psi}{(3M + m) R (R-r)})
 p_\psi}{(3M + m)R (R-r)})
Scheint aber immer noch irgendwie unnötig komplex, insbesondere wenn man die dann zusammenmultipliziert und alles einsetzt.
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
|
| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 16:25 Titel: |
|
|
Kannst du das mal nur für S aufschreiben und prüfen, ob
erfüllt ist?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 09. Jun 2022 16:47 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Kannst du das mal nur für S aufschreiben und prüfen, ob
erfüllt ist? |
S ist doch (falls ich dich richtig verstanden habe)
m(R-r)^2 & (1/2)mR(R-r) \\ (1/2)mR(R-r) & (M + m/2) R^2 \end{pmatrix})
Ich kriege dann
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
|
| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 17:27 Titel: |
|
|
Dein S stimmt m.M.n. nicht.
Es gilt
 \dot{q}_1 \dot{q}_2 \right] = \\ = \frac{1}{2}\left(M + \frac{m}{2}\right) R^2 \dot{\psi}^2 + \frac{3}{4} m(R-r)^2 \dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} mR(R-r) \dot{\varphi} \dot{\psi})
sowie
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 09. Jun 2022 18:33 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Dein S stimmt m.M.n. nicht.
Es gilt
sowie
|
Achso okay. Ich hatte mich auf deinen ersten Post bezogen:
und das Gleichungssystem (aus meinem Originalpost) einfach in Matrixform geschrieben.
m(R-r)^2 & (1/2)mR(R-r) \\ (1/2)mR(R-r) & (M+m/2)R^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\varphi} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix})
Mit deinem Ansatz erhalte ich allerdings dasselbe:
 \dot{\varphi} \dot{\psi} + S_{22} \dot{\psi}^2 \right] \overset{!}{=} \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2}m(R-r)^2 \dot{\varphi}^2 + mr(R-r) \dot{\varphi} \dot{\psi} + \left(M+\frac{m}{2}\right) R^2 \dot{\psi}^2 \right])
^2, \; S_{12} = S_{21} = \frac{1}{2}mR(R-r), \; S_{22} = \left(M + \frac{m}{2}\right) R^2)
Also
m(R-r)^2 & (1/2)mR(R-r) \\ (1/2)mR(R-r) & (M+ m/2)R^2\end{pmatrix})
Die inverse Matrix ist
(R-r)^2} & -\frac{1}{(m+3M)R(R-r)} \\ -\frac{1}{(m+3M)R(R-r)} & \frac{3}{(m+3M)R^2} \end{pmatrix})
und
Zuletzt bearbeitet von navix am 09. Jun 2022 18:49, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 09. Jun 2022 18:43 Titel: |
|
|
| navix hat Folgendes geschrieben: |
|
Also das stimmt
|
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 09. Jun 2022 19:10 Titel: |
|
|
Nach langem Herumrechnen erhalte ich tatsächlich etwas "Ansehnlicheres":
 = \frac{(2M+m)R^2 p_\varphi^2 - 2mR(R-r) p_\varphi p_\psi + 3m(R-r)^2 p_\psi^2}{2m(3M + m) (R-r)^2 R^2} - mg(R-r) \cos \varphi)
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
|
| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 19:52 Titel: |
|
|
Sorry für meinen Einwand, ich war von der Reihenfolge der Terme verwirrt.
Die beiden Ansätze müssen natürlich das selbe S liefern.
Und das Ergebnis sieht - ohne es explizit nachgerechnet zu haben - doch vernünftig aus.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
|
| navix Verfasst am: 09. Jun 2022 21:34 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Sorry für meinen Einwand, ich war von der Reihenfolge der Terme verwirrt.
Die beiden Ansätze müssen natürlich das selbe S liefern.
Und das Ergebnis sieht - ohne es explizit nachgerechnet zu haben - doch vernünftig aus. |
Vielen Dank für deine Hilfe! (Danke @jmd auch fürs Überprüfen!)
Ich denke ich komme erstmal so weiter 
|
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 10. Jun 2022 19:44 Titel: |
|
|
| navix hat Folgendes geschrieben: |
|
Es wäre interessant zu wissen welcher Vorgang hier beschrieben wird
Die Masse M ändert ihre Lage offenbar nicht. denn sie kommt bei der potentiellen Energie nicht vor. Aber anscheinend rotiert M
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
