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Physicfoit
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 1
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 Physicfoit Verfasst am: 07. Nov 2018 09:46 Titel: Waagerechter Wurf mit Einberechnung des Luftwiderstandes |
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Meine Frage:
Hallo, Es geht um das Thema "Sprünge in der Alpinen Abfahrt. Dabei habe ich nur ein Problem. Bei den Sprüngen würde ich gerne die reale Flugbahn des Skifahrers berechnen. (Waagerechter Wurf)
Meine Ideen:
Soweit ich weiß ist es mit der Methode der kleinen Schritte möglich, die Werte anzunähern. Deshalb habe ich alle relevanten Formeln schon eingesetzt. Also für y=1/2 at^2 und die Beschleunigung mit Luftwiderstand schon berechnet, usw. Nun ist es mir aber ein Rätsel wie ich die Strecke in x Richtung berechnen kann. Ich bräuchte also nur noch die Formel für dieses x(v0×t wäre ja nicht möglich, da die Bewegung ja nicht gleichförmig ist). Ich hoffe mir kann jemand helfen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 07. Nov 2018 11:38 Titel: |
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Schau dir das zunächst mal ohne Luftwiderstand an - den ich für kurze Sprünge für vernachlässigbar halte
Dabei springt der Skifahrer aus einer Strecke mit Gefälle ab, d.h. es handelt sich nicht um den waagerechter Wurf
Daraus folgt
 = v_x \, t)
 = v_y \, t - \frac{g}{2}t^2)
All dies gilt während des Spungs bis zu Landung.
Nehmen wir an, dass das Gefälle im Bereich der Landung dem Gefälle am Ansprung entspricht.
Dann gilt für die Piste
 = v_x \, t)
 = v_y \, t - h)
Ich stelle die Piste formal wie die Kurve des Sprungs dar; dadurch erreiche ich u.a., dass der Absprungwinkel zum weiteren Gefälle der Piste passt.
Außerdem nehme ich an, dass der Skifahrer bei (x = y = 0) abspringt und dass dort eine Kante mit der Höhe h existiert.
D.h. dass X = x die gemeinsame x-Koordinate für den Skifahrer sowie die Piste ist, und dass sich Skifahrer bzw. Punkt der Piste unterhalb des Skifahrers zum Zeitpunkt t bei y bzw. Y befinden.
Aus der Gleichung für x folgt
Der Zeitpunkt T der Landung berechnet sich mittels Gleichsetzung
 = Y(T))
Und damit folgt
 = v_x \, T = v \cos\alpha \, \sqrt{\frac{2h}{g}} )
Wenn die Piste nach dem Absprung einen beliebigen Verlauf hat, dann müsstest du stattdessen Y(x) als Funktion ansetzen und wiederum diese Gleichung lösen:
 = Y(x))
^2 = Y(x))
Eine Vereinfachung erhältst du, wenn du die Abweichung vom geradlinigen Verlauf in der Höhe h(x) kodierst
 = \frac{v_y}{v_x}x - h(x) )
^2 = h(x))
Davon benötigst du die erste Nullstelle größer für x > 0.
Mit Luftwiderstand findest du zunächst eine (numerische) Lösung der Differentialgleichung für den Sprung:
, y(t) = y(x(t)))
Den Punkt der Landung sowie die Weite ermittelst du dann wieder mittels
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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[email protected]
Gast
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| [email protected] Verfasst am: 07. Nov 2018 14:08 Titel: |
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Danke für deine Antwort! Jedoch wäre ich davon ausgegangen, dass die Schanze einer Ebene entspricht, somit würde es sich schon um einen waagerechter Wurf handeln. Außerdem springen die Skifahrer bei Abfahrtssprüngen bis zu 70m weit, somit macht der Luftwiderstand einen Unterschied. Deshalb hätte ich gerne die reale Bahnkurve/Flugbahn des Springers angenähert. Dazu hätte ich das numerische Verfahren, "Die Methode der kleinen Schritte" verwendet. Dazu habe ich zuerst aus der Konstante, die sich aus cw-Wert, Luftdichte, Querschnittsfläche, dem Faktor 1/2 und der Masse errechnet (Fw=F). Diese Konstante k beträgt in meinem Fall 0,0012 1/m. Mit diesem Wert kann ich die Beschleunigung für jedes Zeitintervall berechnen (Es wird davon ausgegangen, dass die Beschleunigung immer für einen kurzen Moment konstant ist): 9,81-k*v². delta v errechnet sich aus dem Produkt zwischen der entsprechenden Beschleunigung und delta t (in meinem Fall 0,05s). Somit kann ich immer die Geschwindigkeit für jedes Zeitintervall durch Addition der Geschwindigkeit vorher mit delta v berechnen. Mit diesen Werten erhoffte ich mir dann die Werte für x und y berechnen zu können (für jedes Zeitintervall). Für y setzte ich dann die Formel 1/2*a*t² ein und für x zunächst v0*t. Da v0*t (Luftwiderstand ist dort nicht miteinberechnet) für mich keinen Sinn ergibt, frage ich deshalb nun nochmal: Welche Formel wäre sinnvoll für die Strecke in x-Richtung, damit ich den Weg für jedes Zeitintervall berechnen kann und somit ein x-y-Diagramm erstellen kann, in dem die reale Bahnkurve zu sehen ist. (x=y=0 ist der Startpunkt). Die weiteren Berechnungen verstehe ich. Also, dass ich dann, um den Landepunkt zu ermitteln die Gerade mit der Bahngleichung gleichsetzen muss. |
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[email protected]
Gast
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| [email protected] Verfasst am: 07. Nov 2018 14:10 Titel: |
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Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt ca. 30 ms^-1 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 07. Nov 2018 14:41 Titel: |
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| [email protected] hat Folgendes geschrieben: | | Jedoch wäre ich davon ausgegangen, dass die Schanze einer Ebene entspricht, somit würde es sich schon um einen waagerechter Wurf handeln. |
Eine schiefe Ebene.
Warum sollte der Sprung aus einer waagerechten Ebene erfolgen?
Schau dir mal das Hahnenkammrennen – waagerecht ist da nix.
| [email protected] hat Folgendes geschrieben: | | Außerdem springen die Skifahrer bei Abfahrtssprüngen bis zu 70m weit, somit macht der Luftwiderstand einen Unterschied. Deshalb hätte ich gerne die reale Bahnkurve/Flugbahn des Springers angenähert. |
Jetzt diskutieren wir doch erst mal den einfacheren Fall, den man analytisch lösen kann.
| [email protected] hat Folgendes geschrieben: | | Dazu hätte ich das numerische Verfahren, "Die Methode der kleinen Schritte" verwendet … |
Damit kannst du die o.g. analytische Lösung und deine numerische Lösung vergleichen und hast eine Kontrolle, ob dein Verfahren funktioniert.
Du musst insbs. beachten, dass du ein Differentialgleichungssystem hast. Die Gewichtskraft wirkt in y-Richtung, die Reibungskraft immer entgegengesetzt parallel zur der Bewegungsrichtung.
| [email protected] hat Folgendes geschrieben: | | ... und für x zunächst v0*t. Da v0*t für mich keinen Sinn ergibt ... |
Warum denn nicht??
| [email protected] hat Folgendes geschrieben: | | Welche Formel wäre sinnvoll für die Strecke in x-Richtung, damit ich den Weg für jedes Zeitintervall berechnen kann und somit ein x-y-Diagramm erstellen kann, in dem die reale Bahnkurve zu sehen ist. |
Willst du jetzt analytisch oder numerisch rechnen?
Wenn du numerisch arbeitest, dann brauchst bzw. hast du keine Formel.
Analytisch ist das ganz einfach – s.o.:
 = v_x \, t )
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 07. Nov 2018 22:21 Titel: |
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Noch ein Hinweis für die analytische Lösung mit Reibung.
Die Differentialgleichungen lauten
mit
Integration erfolgt mittels Trennung der Variablen.
Die Lösung für die Geschwindigkeiten lautet
} + g_i) \, e^{-\beta t})
Für x,y ist eine weitere Integration erforderlich.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 08. Nov 2018 23:06, insgesamt einmal bearbeitet |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 08. Nov 2018 12:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Warum sollte der Sprung aus einer waagerechten Ebene erfolgen? |
Weil laut Internet der Schanzentisch einer Skischanze eine Neigung von ca. 10° nach unten hat und der Skispringer beim Absprung versucht, sich etwas nach oben abzudrücken, sodass effektiv ein näherungsweise horizontaler Absprung entsteht.
| Zitat: | | Schau dir mal das Hahnenkammrennen – waagerecht ist da nix. |
Seit wann finden da Skispringen statt? Meines Wissens gibt es da nur Abfahrten und Slaloms. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 08. Nov 2018 13:54 Titel: |
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| [email protected] hat Folgendes geschrieben: | | Für y setzte ich dann die Formel 1/2*a*t² ein und für x zunächst v0*t. Da v0*t (Luftwiderstand ist dort nicht miteinberechnet) für mich keinen Sinn ergibt, frage ich deshalb nun nochmal: Welche Formel wäre sinnvoll für die Strecke in x-Richtung, damit ich den Weg für jedes Zeitintervall berechnen kann und somit ein x-y-Diagramm erstellen kann, in dem die reale Bahnkurve zu sehen ist. (x=y=0 ist der Startpunkt). |
Zunächst mal sollte man die Zeit  und Zeitintervalle  von der Notation her unterscheiden. Wenn man die Zeit mittels konstanter Zeitintervalle diskretisiert, hat man
Bequemerweise beginnt man mit  . Es sei nun
 \quad y_n=y(t_n))
 \quad \dot y_n=v_{y,n}=v_y(t_n))
 \quad \ddot y_n=a_{y,n}=a_y(t_n))
Dann kann man eine numerische Lösung erzeugen mit
Ohne Luftwiderstand hat man
Die numerische Lösung stimmt dann mit der exakten Lösung überein. Mit Luftwiderstand hat man
mit
Dabei ist ein zum Quadrat der Geschwindigkeit proportionaler Luftwiderstand angenommen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Nov 2018 20:51 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Warum sollte der Sprung aus einer waagerechten Ebene erfolgen? |
Weil laut Internet der Schanzentisch einer Skischanze ...
| Zitat: | | Schau dir mal das Hahnenkammrennen – waagerecht ist da nix. |
Seit wann finden da Skispringen statt? ... |
Hier steht:
| Physicfoit hat Folgendes geschrieben: | | Es geht um das Thema "Sprünge in der Alpinen Abfahrt". |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Nov 2018 23:21 Titel: |
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Man sollte wohl quadratische Reibung ansetzen.
Man kann die resultierende DGL wiederum integrieren.
Alternativ linearisiert man die DGL um die Anfangsgeschwindigkeit beim Sprung sowie den variablen Anteil u mit den Termen
^2 - g = -2\kappa\bar{v}u - \kappa\bar{v}^2 - g + \mathcal{O}(2) = - \Gamma u - G + \mathcal{O}(2) )
mit
und erhält so näherungsweise wieder eine DGL mit linearem Reibungsterm.
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 09. Nov 2018 08:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Hier steht:
| Physicfoit hat Folgendes geschrieben: | | Es geht um das Thema "Sprünge in der Alpinen Abfahrt". |
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Oh ja. Man sollte halt auch den Beginn eines Threads lesen. |
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