Schiefer Wurf mit minimaler Anfangsgeschwindigkeit

Mmaxscho · Anmeldungsdatum: 18.10.2018 Beiträge: 1

Meine Frage:
Wir haben die Aufgabe bekommen, de Winkel auszurechnen, den man benötigt, wenn man einen Stein mit minimaler Geschwindigkeit von einem 60m hohen Turm wirft, um ihn 400m weiter auf dem Boden aufkommen zu lassen. Ich habe zwar einen Ansatz, weiß jedoch nicht wie man damit weiterrechnen kann.

Meine Ideen:
F=m×a
-m×g×Einheitsvektor der z-Komponente=m×zweite Ableitung des Ortes
zweite Ableitung des Ortes=-g×Einheitsvektor der z-Komponente
Integrieren der zweiten Ableitung des Ortes nach t=-g×Einheitsvektor der z-Komponente×t+c0=v(t)
v(0)=c0=v0
Integrieren von v(t)=g/2×Einheitsvektor der z-Komponente×t^2+v0×t+c1=x(t)
x(0)=c1=h=[0,0,60]
Wenn man den Vektor v0 in seine Komponente zerlegt, bekommt man für v0= Betrag von v0×[cos(a),0,sin(a)]
Wenn man nun x abhängig vom Winkel a ableitet erhält man v abhängig von a. Dann die Ableitungsfunktion noch einmal nach dem Winkel a ableiten und gleich 0 setzen, doch dann bekomme ich für a keine Lösung. Was mache ich falsch?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Willkommen hier im Forum

Deine Gleichungen sind etwas schwierig zu lesen, wenn's geht bitte das nächste Mal das Ganze in Latex schreiben oder den Formeleditor des Forums verwenden.

Wenn h die Turmhöhe,

der Geschwindigkeitsbetrag beim Abwurf,

die Wurfweite und

die Zeit bis zum Erreichen von

ist, so gelten die Gleichungen, die Du, soweit ich sehe, auch hast:

Du kannst nun z.B. die erste Gleichung nach

auflösen und diesen Ausdruck in die 2. Gleichung einsetzen. Dann kannst Du nach

(oder noch einfacher

) auflösen. Man hat nun also eine Funktion

oder

, welche die Abwurfgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Winkels angibt. Durch Ableiten findet man den Winkel, bei dem die Geschwindigkeit ein Minimum annimmt.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5868 Wohnort: jwd

Nach Myon`s Ansatz lautet die Stammfunlktion:

und die 1. Ableitung wird = 0, wenn: (Ich hoffe mich nicht vertan zu haben)

mit

Dann kann man noch substituieren

Viel Spass bei der Lösung!

Wieviel Zeit hattest Du für die Aufgabe?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

@Mathefix: die 1. Gleichung kann nicht ganz stimmen, für grosse h oder kleine Winkel würde

negativ werden. Auch fehlt wahrscheinlich im 2. Faktor bzw. im Nenner ein

.

Die Nullstelle der Ableitung findet man, wenn man z.B. die ganze Gleichung durch

dividiert. Dann ergibt sich eine quadratische Gleichung in

.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5868 Wohnort: jwd